湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，故.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 8B. －8C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量数量积直接求解.
【详解】由题意得，解得．
故选：C
3. 已知，则 的最小值为（ ）
A. 3B. 4
C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3．
4. 已知为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】由条件得到的位置关系，即可判断A；由条件得到的位置关系，即可判断B；由条件得到的位置关系，即可判断C；利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，由条件证明，即可判断D.
【详解】对于A，若，，则、相交或异面，故A错误；
对于B，若，，则或相交；故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，如图所示，因为，经过直线和平面内一点可作平面，
设，则，因为，所以，
又，故，故D正确．
5. 甲乙两人投球命中率分别为，，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】恰有一人命中有两种情形：甲中乙不中和甲不中乙中
【详解】甲命中的概率为，不命中的概率为；
乙命中的概率为，不命中的概率为；
设恰好有一人命中的概率为，则
.
故选：C
【点睛】此题为基本概念题，考查独立事件发生的概率算法.
6. 记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得角正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积.
【详解】在中，由正弦定理得，即，解得，
而，故，，
，
所以．
则．
故选：C.
7. （ ）
A. 1B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数的商数关系，逆用差角的正弦公式及二倍角的正弦公式化简计算即可得解.
【详解】原式
．
8. 已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA₁的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先作出过点D₁，M，E的平面截四棱柱的截面多边形，然后分别求截面多边形的边长，即得截面多边形的周长.
【详解】连接并延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，，，
所以过点，，的平面截直四棱柱的截面为五边形．
因为为的中点，，
由平行线分线段成比例可知：，，
故点为中点，故，又，
故，．
因为四棱柱为直棱柱，
故，
，
，，
，所以五边形的周长为．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为
B.
C. 的共轭复数为
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对复数进行化简计算，再结合复数的概念与运算，逐项判断即可.
【详解】，
对于A：的虚部为，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：的共轭复数为，故C正确；
对于D：，故D正确．
10. 连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（ ）
A. A 与B 相互独立B. A与C 相互独立
C. A 与D 相互独立D. C与D 相互独立
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据古典概型的概率计算公式及独立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意得，，，，．
选项A：，，，A正确；
选项B：，，，B正确；
选项C：，，，C正确；
选项D．，，，D错误．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则在上单调递增
B. 若，则的最小值为
C. 若在内无零点，则的取值范围为
D. 若在内单调递减，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由的范围求出的范围，进而判断函数单调性进而判断A；根据条件计算参数的最小值和范围判断B，C；根据已知的单调性求得参数的范围判断D.
【详解】对于A选项，函数，当时，，符合题意，故A正确；
对于B选项，由于，，所以，
即或，所以或，
又，所以的最小值为1，故B正确；
对于C选项，由已知得整理得，
无零点等价于
当时，，当时，，故的取值范围并非只有，故C错误；
对于D选项，由于在内单调递减，
由于函数在内单调递减，则满足
解得，当时，．
当时，，解得，而，解得，二者无交集；
当时，，与题设矛盾，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】根据给定条件，利用奇函数性质求出函数值即可.
【分析】由定义在上的奇函数，得，又当时，，
则，所以.
故答案为：
13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________
【答案】220
【解析】
【分析】先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解.
【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为，
其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，
则样本的平均数，
样本的方差，
用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220．
14. 已知平面向量满足，则的最大值为__________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据向量加减法的几何意义作出图形，观察和以及两个向量夹角的变化，判断取最大值的位置.
【详解】设，则
由，则，B点在以A为圆心2为半径的圆周上，C点在以A为圆心1为半径的圆周上，如图所示，
，由图可知，当三点共线，在如图所示的位置，
有最大值4，有最大值3，此时取最大值1，
所以的最大值为12.
故答案为：12.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且，
（1）求证: 平面
（2）求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值.
【答案】（1）连接交于，因为为劣弧的中点，
故是中点，又是中点，所以，
平面，平面，因此平面．
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解；
（2）利用线面垂直的判定定理得到平面，故是直线与平面所成的角．计算的值，从而得解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
依题意，平面，平面，故，
又为半圆弧的中点，因此，平面，
因此平面，故是直线与平面所成的角．
因为，所以，
因为，所以，
故直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值为．
16. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛(满分100分)，共有100名教职工参加，其成绩均落在区间[50，100]内，将竞赛成绩数据分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求a的值，并估计竞赛成绩的第75 百分位数；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]内的两组教职工中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在[90，100]内的概率.
【答案】（1），86
（2）．
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，可得出关于的等式，解之即可.先判定第75 百分位数位于哪个区间，然后根据第75 百分位数前的频率之和等于0.75求解.
（2）分析可知竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为，，，，，竞赛成绩在内的教职工人数为3人，分别记为，，，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得事件的概率.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，解得．
因为前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，所以第75百分位数在内．
设这次竞赛成绩的第75百分位数为，则，解得．
【小问2详解】
采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8人，
竞赛成绩在内的有人，记为，，，，，
所以竞赛成绩在内的有人，记为，，．
所有选法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种，
其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
故所求概率为．
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A的值;
（2）若的面积为，，求的周长.
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式、辅助角公式求解即可.
（2）根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
在中，可得，
由正弦定理得，
即，
整理得，又，所以，
故，整理得，
又，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，则，则，
由正弦定理及，
则，所以，
则．
由余弦定理得，即，所以，
则，所以.
则的周长为．
18. 如图，在四棱锥中， 是正三角形，.
（1）求证:平面平面;
（2）设 求二面角的余弦值.
（3）若P，A，B，C，D五个点均在球O的球面上，且O在平面内，若四棱锥的体积与球O 的体积分别为，求的值.
【答案】（1）依题意，，，则是线段的中垂线，即，
又，，平面，因此平面，
而平面，所以平面平面.
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）根据给定条件，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解.
（3）根据给定条件，确定球心的位置，再利用球半径表示出锥体及球的体积即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
记与交于点，连接，如图，作出符合题意的图形，
由，而为的中点，得，
由（1）知，平面平面，平面平面，平面，
则平面，取的中点，由，得，
同理，因此为二面角的平面角，
由，，得，
于是，，，，
又，在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为．
【小问3详解】
由题意得，，，，五点同在球上，且在平面内，
则为四边形的外心，且、、、四点共圆，
由对称性知，为的中点，且为正的中心，
设球的半径为，则，，，又，于是，
因此，，所以．
19. 已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数.已知 分别为函数的相伴向量，
（1）若，
（i）求
（ii）若，且在处取到最大值，求的值.
（2）若的最大值为2026，求 的最大值.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）2026
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）利用和差角的正余弦公式化简，再利用定义求出及模；
（ii）设，利用向量垂直的坐标表示及给定定义，结合三角恒等变换求解.
（2）设出的坐标并求出，利用二倍角公式及辅助角公式化简并求出函数最大值，再利用数量积的性质求出最大值.
【小问1详解】
（ⅰ）依题意，，
所以的相伴向量，.
（ⅱ）设，由，得，即，解得，
则，其中，
依题意，，即，由在处取到最大值，得，
即，因此，
而，所以.
【小问2详解】
设，则，，
，
因此的最大值为，
而，
则，又，
因此，即，
取，则，
且的最大值为2026，符合题意，
所以的最大值为2026.