江苏连云港市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份江苏连云港市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷（含答案），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合M=x,yy=−4x+6，N=x,yy=5x−3，则M∩N=( )
A. x=1，y=2B. 1,2C. 1,2D. 1,2
2.若复数z=11+i，则z的共轭复数z=( )
A. 1−i2B. 1+i2C. 1−iD. 1+i
3.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有( )
A. 43种B. 34种C. A43种D. C43种
4.已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，若经验回归方程为y=0.95x+2.6，则表格中的数据m的值为( )
A. 2.4B. 4.2C. 4.8D. 9.6
5.38被5除所得的余数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得χ2=m13，则m=( )
参考公式：χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
A. 240B. 280C. 300D. 320
7.已知(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)n=10+a1x+a2x2+⋯+anxn，则a3的值为( )
A. 220B. 450C. 455D. 715
8.五一期间，4名女生5名男生到花果山景区游玩．在景区门口，9人排成一队进入景区，则在男生中，男生甲最先进入景区的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设α，β，γ表示三个不同的平面，m表示一条直线，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，m//β，则α//βB. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
C. 若α//γ，β//γ，则α//βD. 若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
10.若口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同．下列说法正确的是( )
A. 采取放回抽样方式，先后两次各摸出一球，则两个球颜色不同的概率为2150
B. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则两次摸到的均为黑球的概率为115
C. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为140
D. 从中不放回地摸球，每次各摸一球，则第三次才摸到黑球的概率为740
11.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AB，BC的中点，M，N分别是线段FC，BC1上的动点．下列说法正确的是( )
A. 平面EFC1截正方体所得截面为四边形
B. 存在M，使得异面直线D1M与A1E所成的角为π6
C. 点D到平面A1EF的距离为1
D. A1C⊥平面BDN
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机事件A、B，P(A)=35，P(B|A)=12，则PAB ．
13.如果随机变量X∼N2,σ2，且P(X>0)=0.7，则P0≤X≤2= ．
14.已知球O为棱长为2的正方体的内切球，若在正方体内作一个小球O1，使它与球O外切，同时与正方体的三个面都相切，则小球O1的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在1，2，3，…，9这9个自然数中，
(1)若任取2个不同的数，求这2个数中恰有1个奇数的概率；
(2)若任取3个不同的数，设X为所取的3个数中奇数的个数，求X的分布列．
16.(本小题15分)
已知正项等比数列an的前n项和为Sn，a2=4a4，S5=3132．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若随机变量X满足PX=n=an，n=1,2,3，…，求EX．
17.(本小题15分)
已知函数fx=12ax2+a−1x−lnx，a∈R．
(1)当a=1时，求曲线fx在点1,f1处的切线方程；
(2)讨论函数fx的单调性；
(3)若fx>12ax2对∀x∈e2,+∞恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点M−4,2 2，N3,−1，直线l交C的右支于A，B两点，且线段AB的中点为G．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点G的坐标为4,2，求直线l的方程；
(3)若直线l经过C的右焦点F，以AB为直径的圆与直线x=2相交于P，Q两点，证明：PG⇀⋅QG⇀为定值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BC//AD，AB⊥AD，AD=4，AB=BC=2，AA1=B1C1=1．
(1)证明：A1B//平面CDD1C1；
(2)判断直线AB1与直线CC1是否垂直，并说明理由；
(3)设P为平面ABCD内一点，F为AB的中点，AF+AM=0，且PF+PM=4.若直线A1C与平面PC1D1的交点为G，求点G到平面B1C1CB距离的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】310
13.【答案】0.2/15
14.【答案】2− 3 /− 3+2
15.【答案】解：(1)1到9共包含5个奇数，4个偶数，任取2个不同的数的总基本事件数为C92，恰有一个奇数包含的基本事件数为C51C41，因此所求概率为：
P=C51C41C92=5×49×82×1=2036=59
(2)任取3个不同的数时，X的可能取值为0，1，2，3，总基本事件数为C93=84，分别计算各取值对应的概率：
PX=0=C43C93=484=121；PX=1=C51C42C93=5×684=3084=514；PX=2=C52C41C93=10×484=4084=1021；PX=3=C53C93=1084=542；
则分布列为：

16.【答案】解：(1)a2=4a4，则a4a2=q2=14，解得q=12(负值已舍)，
S5=a11−q51−q=2a11−132=3132，解得a1=12，
∴an=12n；
(2)设bn=nan=n2n，数列bn的前n项和为Tn，
Tn=12+2×122+3×123+⋯+n×12n
12Tn=122+2×123+3×124+⋯+n×12n+1，
12Tn=12+122+123+⋯+12n−n×12n+1=1−12n−n2n+1，
∴Tn=2−12n−1−n2n，n→+∞时，Tn→2，
又随机变量X满足PX=n=an，EX=12+2×122+3×123+⋯+n×12n+⋯，
所以EX=2．

17.【答案】解：(1)当a=1时，fx=12x2−lnx，函数定义域为0,+∞，
所以f(1)=12，f′x=x−1x，切线斜率k=f′(1)=0，
则曲线fx在点1,12处的切线方程为y=12．
(2)因为函数fx=12ax2+a−1x−lnx，函数定义域为0,+∞，
所以f′x=ax+a−1−1x=ax−1x+1x(x>0)，
因为x>0，故x+1>0，导数符号由ax−1决定，分情况讨论：
若a≤0时，ax−10时，f(x)在(0,1a)上单调递减，在1a,+∞上单调递增．
(3)由不等式f(x)>12ax2化简得：(a−1)x−lnx>0，因x>0，变形得：a>lnxx+1．
所以对∀x∈e2,+∞，不等式a>lnxx+1恒成立．
令g(x)=lnxx+1x≥e2，求导得g′(x)=1−lnxx2，
当x∈e2,+∞时，lnx≥2，1−lnx0，
且x1+x2=8>0,x1⋅x2=443>，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件．
因此直线l的方程为y=2x−6．
(3)由双曲线x2−y2=8得c2=a2+b2=16，右焦点F(4,0)，
①当直线l的斜率存在时，设直线l:y=k(x−4)，A(x1,y1),B(x2,y2)，中点Gx0,y0．
联立y=k(x−4)x2−y2=8，整理得(1−k2)x2+8k2x−(16k2+8)=0，
由韦达定理得：x1+x2=8k2k2−1,x1x2=16k2+8k2−1，
因此：x0=x1+x22=4k2k2−1,y0=k(x0−4)=4kk2−1，
因为圆以AB为直径，圆心为G，半径r=∣AB∣2，所以AB= 1+k2x1−x2=4 2(k2+1)k2−1,r2=8(k2+1)2(k2−1)2，
设P(2,y3),Q(2,y4)，将x=2代入圆G方程(x−x0)2+(y−y0)2=r2，
得y2−2y0y+(2−x0)2+y02−r2=0，故y3+y4=2y0,y3y4=(2−x0)2+y02−r2，
所以PG⋅QG=2−x0,y3−y0⋅2−x0,y4−y0=2−x02+y3−y0y4−y0
=2−x02+y3y4−y0y3+y4+y02=22−x02−r2，
因为x0=4k2k2−1，所以2−x0=−2(k2+1)k2−1，且r2=8(k2+1)2(k2−1)2，代入上式，
所以PG⋅QG=2−2(k2+1)k2−12−8(k2+1)2(k2−1)2=8k2+12k2−12−8k2+12k2−12=0．
②当直线l斜率不存在时，l:x=4，易得P(2,2),Q(2,−2),G(4,0)，
所以PG⋅QG=(−2,2)⋅(−2,−2)=4−4=0，仍成立．
综上，PG⋅QG为定值0．

19.【答案】解：(1)连接CD1，
在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1D1//AD，
又B1C1=1,BC=2，AD=4，所以A1D1=2，
又BC//AD，则A1D1//BC,A1D1=BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，
故A1B//CD1，又A1B⊄平面C1D1DC，CD1⊂平面C1D1DC，
所以A1B//平面CDD1C1；
(2)直线AB1与CC1垂直，理由如下：
因为AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系，如图，
则A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，D0,4,0，A10,0,1，B11,0,1，C11,1,1，D10,2,1，
所以AB1=1,0,1，CC1=−1,−1,1，AB1⋅CC1=−1+1=0，
所以AB1⊥CC1；
(3)在上述坐标系中，设P的坐标为x,y,0，
因为F为AB的中点，且AF+AM=0，则F1,0,0,M−1,0,0，即FM=2，
又因PF+PM=4>2=FM，所以P的轨迹是以F,M为两焦点的椭圆，
由a=2,c=1，得b= 3，故P的轨迹方程为x24+y23=1．
因为直线A1C与平面PC1D1的交点为G，所以G在直线A1C上，
则存在λ∈R，使A1G=λA1C，
得AG=AA1+A1G=AA1+λA1C=0,0,1+λ2,2,−1=2λ,2λ,1−λ，
又G在平面PC1D1内，得PG=mPC1+nC1D1，
即AG=AP+PG=AP+mPC1+nC1D1，得AG=m1−x,1−y,1+n−1,1,0+x,y,0
=m1−x−n+x,m1−y+n+y,m，
所以{λ=m−mx+x−n2λ=m−my+y+n1−λ=m，得λ=26−x−y，
因为x24+y23=1，令x=2csθ,y= 3sinθ，
则6−x−y=6−2csθ− 3sinθ=6− 7sinθ+φ∈6− 7,6+ 7
∴26+ 7≤λ≤26− 7，即26− 729≤λ≤26+ 729
因为AB1⋅BC=1,0,1⋅0,2,0=0，所以AB1⊥BC，
又AB1⊥CC1，BC∩CC1=C,BC,CC1⊂平面B1C1CB，
所以AB1⊥平面B1C1CB，则平面B1C1CB的一个法向量为AB1=1,0,1，
GB1=A1B1−A1G=1,0,0−2λ,2λ,−λ=1−2λ,−2λ,λ，
点G到平面B1C1CB的距离d=GB1⋅AB1AB1=−λ+1 2，因26− 729≤λ≤26+ 729
所以当λ=26+ 729时，d取最小值，即dmin=1−26− 7 2=17 2−2 1458，
所以点G到平面B1C1CB距离的最小值为17 2−2 1458．
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
m
6.7
主动预习
不太主动预习
合计
学习兴趣高
36
14
50
学习兴趣一般
12
38
50
合计
48
52
100
X
0
1
2
3
P
121
514
1021
542