辽宁省七校协作体2025-2026学年高一年级下学期6月练习数学试题（含答案）

这是一份辽宁省七校协作体2025-2026学年高一年级下学期6月练习数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、单选题
3 + i 3 - i 1+ i 1- i
A ． B ． C ． D ．
2 2 2 2
2 ．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A ．四棱台 B ．四棱锥 C ．四棱柱 D ．三棱柱
3 ．已知向量 = (t +1, -2) ， = (4, t ) ，且 丄 ，则 t = ( )
2
A ．-3 B ． C ．-2 D ．2 3
4．已知a,b,c分别为 △ ABC的三个内角A, B, C 的对边，若a = 23, b = 22 , A = 60 ，则角B = ( )
A ．45 或135 B ．135 C ．60 D ．45
5 ．将函数f (x) = sin 3x + cs 3x 的图象向右平移φ (φ >0 ）个单位长度，得到函数g (x) = - 2 cs 3x 的图象，则φ 的最小值为( )
π π 3π 11π
A ． B ． C ． D ．
12 4 4 12
6 ．如图扇形ABC ，圆心角A = 90° , D 为半径AB中点，CB, CD 把扇形分成三部分，这三部
分绕 AC 旋转一周，所得三部分旋转体的体积V1 , V2 , V3 之比是( )
A ．1:2:2 B ．1: 2 : 3 C ．1: 3 : 3 D ．1: 3 : 4
7 ．已知函数f = sin ，若方程f 的解为x1 , x2 (0 < x1 < x2 < π )，则sin(x1 + x2) = ( )
A ． B ． C ． D ．-
8 ．已知 1 , 2 是单位向量，且 1 , 2 的夹角为θ ,若 ，则θ 的取值范围为( )
A ． B ． C ． , D ．
二、多选题
9 ．若z1 ，z2 为复数，则下列选项一定正确的是( )
2 2
A ．z1 + z2 = z1 + z2 B ．z1 = z1
C ．z1 . z1 = z1 . z1 D ． z1 + z2 = z 1 + z2
10 ．两个直三棱柱的高均为 2，底面边长都是 1 ，1 ， 2 ，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是( )
A ．12 B ．6 + 42 C ．10 D ．9 + 42
11 ．已知函数f (x) = sinx + csx + sinx - csx ，则下列说法正确的有( )
B ．f (x ) 的值域为 - 2 , 2
C ．f 上单调递减
D ．f (x ) 图象的对称轴为直线x
三、填空题
12 ．已知A ，B ，C三点在球O 的球面上，AB = 1 ，AC = 3 ，BC = 2 ，球心O 到平面ABC的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是 ．
13 ．如图，在河岸CD 上测量河对面A ，B 两点间的距离，测得 ÐACD = 60° , ÐADC = 75° , ÐBCD = 30° , ÐADB = 30° , CD = 4 ，则 AB =
14．在锐角三角形ABC 中，角A, B, C 的对边分别是a,b,c，若 △ ABC的面积S ，则tanAtan BtanC的最小值为 ．
四、解答题
15 ．如图是一个正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的铁料，上、下底面的边长分别为10cm和20cm ，高15cm .
(1)求四棱台ABCD - A1B1C1D1 的表面积；
(2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.
16 ．在 △ ABC中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，已知a = 4 ，b = 6 ．
(1)若c = 8 ，求 △ ABC的面积；
(2)若B = 2A ，求csB 和c 的值；
17 ．已知函数f = cs wxsin2 wx -1
若w ，求 f (0)及f (x ) 的单调递增区间；
(2)已知f (x )在区间 上单调递增，且f + f ，求 f (x ) 的最小正周期.
18 ．已知 △ ABC的内角A, B, C 的对边为a,b,C，且
(1)求sinA ;
(2)若 △ ABC的面积为
①已知E 为BC 的中点，且b + c = 8 ，求 △ ABC底边BC 上中线AE的长;
②求内角A的角平分线AD 长的最大值.
19 ．由平面内夹角为 60°的两条数轴 Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量 1 , 2 分别为数轴 Ox ，Oy 正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若 = x1 + y2 ，则实数对 [x, y]称为向量 的“完美坐标”．
(1)已知向量 ， 的“完美坐标”分别为[x1 ,y1] ，[x2 ,y2]，判断命题“ 丄 的充要条件是
x1x2 + y1y2 = 0 ”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由；
(2)已知向量 ， 的“完美坐标”分别为[2sinx,1] ，[2csx,1]，设函数 f (x) = . ．
①若存在x ，使不等式kf (x)≤ sin2x 成立，求实数 k 的取值范围；
②若函数F(x) = f (x) + a (sinx + csx)在区间 内恰有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围．
《辽宁省七校协作体 2025-2026 学年高一下学期 6 月练习数学试卷》参考答案
11 ．ABC
16π
12 ． 3
13 ．22
14 ．8
15．
【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取B1C1,BC中点M , N ，连接O1M , ON, MN ，
过点M作MH 丄 ON ，交0N于点H .
则O1O = MH = 15cm, O1M = 5cm, ON = 10cm, HN = 5cm ，所以MN cm ，
所以四棱台的表面积S
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台OO1 的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.
则圆台OO1 上底面圆半径为O1Q = 5cm ，下底面圆半径为OP = 10cm ，
高O1O = 15cm ，则圆台OO1 的体积为Vcm3 ．又正四棱台的体积V
所以削去部分的体积V2 = 3500 - 875π
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
B
D
A
C
AC
BCD
题号
11
答案
ABC
所以削去部分与圆台的体积之比为
16．
【详解】（1）已知a = 4 ，b = 6 ，c = 8 ，由余弦定理得：
因为A∈(0, π )所以由同角三角函数关系得： sin A △ ABC的面积S bc sin A
（2）由正弦定理 ，且 B = 2A ，sin B = sin 2A = 2sin A cs A ，代入得 ，约去 sin A （ sinA ≠ 0 ），解得cs A 则csB = cs2A = 2cs2 A
3
由余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc cs A，代入a = 4 ，b = 6 ，cs A =
4得：16 = 36 + c2 - 2× 6 × c
整理得c2 - 9c + 20 = 0 ，解得c = 5 或C = 4．
当C = 4时，a = c = 4 ，则 A = C ，B = 2A = A + C ，即 B ，此时cs B，矛盾，舍去；
当c = 5 时，cs B ，符合题意；
故 c = 5 ．
17．
【详解】（1）因为 f = cs sin2 wx -1 = cs cs 2wx + sin sin 2wx - cs 2wx sin 2wx cs 2wx = sin
当w = 时，f = sin 则f = sin
令 kπ ≤ x k ∈ Z ，解得 kπ ≤ x k ∈ Z ，所以f(x)的单调递增区间为 k ∈ Z ；
（2）因为x ∈ 0, ，所以2wx
因为f(x)在区间 上单调递增，且 w > 0 ，y = sint在区间 上单调递增，所以 ，解得 0 < w ≤ 1 .
又f + f f(x)在区间 上单调递增，
所以曲线f(x)关于 æ|è , 0EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(ö),ø)l对称，且点在曲线的递增部分上，则f sin
又f (x) 在x = 处单调递增，所以 ，解得 w = 1+12k, k ∈ Z ，又0 < w ≤ 1，所以 w = 1 ，则 f = sin
所以f(x)的最小正周期为 .
18．
【详解】（1）由正弦定理得 即c2 + b2 - abc ，故cs A ，因为 cs A > 0 ，所以 A ∈(0, ) ，所以sin A
（2）①由（1）知 sin A = ，因为 △ ABC的面积为 ，
所以 bc sin A ，解得bc = 16 ，
且b + c = 8 ，解得b=c = 4 ，由于 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),A)—→ = EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),A)—B—→ + EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),A)— ，
所以 c2 + bbc = æ|è 16+16+ ´ 16EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 5(ö),ø)l = ´ ´ 16 = ，所以 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(—),A)—→ 2 = ，即 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(—),A)—→ = .
②因为AD 为角A的角平分线，所以sin ÐBAD = sin ÐCAD = sin 由于SVADB + SVADC = SVABC ，
得到 AD c sinAD b sinbc sin A = bc sin cs
由于sin ≠ 0 ，所以 AD (c + b) = 2bc cs ，
由二倍角公式得cs A = 2 cs 则2cs ，解得 cs 又bc = 16 ，所以 AD = 2bc cs
由于b + c ≥ 2bc = 8 ，当且仅当b = c = 4 时，等号取得到，故 = AD(c + b) ≥ 2bc AD = 8 AD ，故 AD
19．
【详解】（1）不正确证明：
—→ ——→
因为e1 ，e2 分别为 Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且夹角为60° ,所以| e |=| e— |= 1 ，e . e— = ee— cs
因为 丄 ，所以a . b = 0，即 (x1 + y1 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),e)) . (x2 + y2 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(—),e)) = 0 ，
则有x1x y1y x1y x2y x1x2 + y1y x1y x2y1 = 0 ，所以“ 丄 ”的充要条件是“ x1x2 + y1y x1y x2y1 = 0 ”，
所以“ 丄 ”的充要条件是“ x1x2 + y1y2 = 0 ”是不正确的.
（2）因为向量 ， 的“完美坐标”分别为[2sin x,1] ，[2cs x,1] ，
由 x1x2 + y1y
所以f (x) = . = 4sin x cs x +1+ 1 (2sin x + 2cs x)
2
= 2sin2x + sinx + csx +1 .
令t = sinx + csx ，则t = sinx + csx sin 因为x ，所以 x ，则 t ∈(1,2 ，
又t2 = (sinx + csx)2 = sin2x + 2sinxcsx + cs2x = 1+ sin2x ，
即sin2x = t2 -1 ，
所以f (x ) = 2 (t2 -1)+ t +1 = 2t2 + t -1 ，t ∈(1,2 .
已知kf (x) ≤ sin2x 恒成立，即k(2t2 + t -1) ≤ t2 -1对t ∈(1,2 恒成立.
2
因为t ∈(1,2 时，2t2 + t -1 > 0，所以k 对t 有解.
令g 单调递增，当t = ·丶2 时，g max
所以k ，即实数k的取值范围是
② F (x) = f (x) + a (sinx + csx) = 2sin2x + sinx + csx +1+ a(sinx + csx)
= 2 sin 2x + (a +1)(sinx + csx) +1，
æ π ö
令u = sinx + csx ，则 u = sinx + csx = 2sin |èx + 4 ø|
因为x ，所以 x ，则 u ∈ - 2 , 2 ，又u2 = (sinx + csx)2 = sin2x + 2sinxcsx + cs2x = 1+ sin2x ，
即sin2x = u2 -1，
则G (u ) = 2 (u2 -1)+ (a +1)u +1 = 2u2 + (a +1)u -1 ，u ∈ - 2 , 2 .
因为u = sinx + csx sin
所以当u = s2 或-v2 时，方程u = sinx + csx有 1 个根，当u ∈(- 2 , -1 时，方程u = sinx + csx对应 2 个根，当u ∈(-1,1)时，方程u = sinx + csx对应 1 个根，当u 时，方程
u = sinx + csx对应 2 个根，
令G(u ) = 0 ，可得2u2 + (a +1)u -1 = 0 ，
因为 Δ = (a +1)2 + 8 > 0 ，所以方程有 2 个不等实根，又u1 . u
不妨设u1 0, u2 0 ，又因为u = 0不满足方程，所以可得a
令m = -2u ，则函数在 - 2 , 0)和(0,2 上单调递减，如图，
由题意，可知
① y = a +1 与函数y = m (u ) 图象两支都相交，且交点横坐标分别在u1 ∈ (-1, 0) ，u2 ∈ (0,1) ，所以-1 < a +1 < 1 ，解得 -2 < a < 0 ；
② u ，满足题意，此时 a → a
③ u ，满足题意，此时 a → a 所以实数 a 的取值范围为