辽宁省七校协作体2025-2026学年高一下学期6月练习数学试卷（含答案）含答案

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一、单选题
1． （ ）
A．B．C．D．
2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱
3．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．2
4．已知a,b,c分别为△ABC的三个内角的对边，若，则角B=（ ）
A．或B．C．D．
5．将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图扇形，圆心角，D为半径AB中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（ ）
A．1:2:2B．C．D．
7．已知函数，若方程的解为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（ ）
A．12B．C．10D．
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的值域为
C．在上单调递减
D．图象的对称轴为直线
三、填空题
12．已知A，，C三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______．
13．如图，在河岸上测量河对面A，两点间的距离，测得，，，，，则______.
14．在锐角三角形中，角的对边分别是a,b,c，若△ABC的面积S=a24，则tanAtanBtanC的最小值为________．
四、解答题
15．如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高.
(1)求四棱台的表面积；
(2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.
16．在△ABC中，内角A，，C所对的边分别为，b，，已知a=4，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)若，求和的值；
17．已知函数.
(1)若，求及的单调递增区间；
(2)已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期.
18．已知△ABC的内角的对边为a,b,c，且
(1)求;
(2)若△ABC的面积为
①已知为的中点，且，求△ABC底边上中线AE的长;
②求内角A的角平分线长的最大值.
19．由平面内夹角为60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示．设向量分别为数轴Ox，Oy正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”．
(1)已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由；
(2)已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数．
①若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围；
②若函数在区间内恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
《辽宁省七校协作体2025-2026学年高一下学期6月练习数学试卷》参考答案
11．ABC
12．
13．
14．
15．
【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
分别取中点，连接，
过点作，交ON于点.
则，
所以，
所以四棱台的表面积.
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高.
则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
高，则圆台的体积为．
又正四棱台的体积，
所以削去部分的体积，
所以削去部分与圆台的体积之比为；
16．
【详解】（1）已知a=4，，，由余弦定理得：
因为所以由同角三角函数关系得：
△ABC的面积
（2）由正弦定理，且，，
代入得，约去（），解得．
则．
由余弦定理，代入a=4，，
得：，
整理得，解得或c=4．
当c=4时，，则，，即，
此时，矛盾，舍去；
当时，，符合题意；
故．
17．
【详解】（1）因为
，
当时，，则.
令，解得，
所以fx的单调递增区间为；
（2）因为x∈0,π3，所以
因为fx在区间上单调递增，且，在区间上单调递增，
所以，解得.
又，fx在区间上单调递增，
所以曲线fx关于对称，且点在曲线的递增部分上，
则，
又在处单调递增，所以，解得，
又，所以，则，
所以fx的最小正周期为.
18．
【详解】（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为△ABC的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角A的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.
19．
【详解】（1）不正确
证明：
因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
因为，所以a⋅b=0，即，
则有，
所以“”的充要条件是“”，
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
（2）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（1）知，
所以
.
令，则
因为x∈0,π2，所以，则，
又，
即，
所以，.
已知恒成立，即对恒成立.
因为时，，所以对有解.
令，，gt单调递增，
当时，.
所以，即实数k的取值范围是.
②
，
令，则
因为，所以，则，
又，
即，
则，.
因为，
所以当或时，方程有1个根，当时，方程对应2个根，当时，方程对应1个根，当时，方程对应2个根，
令，可得，
因为，所以方程有2个不等实根，又，
不妨设，又因为u=0不满足方程，
所以可得，
令，则函数在和上单调递减，
如图，
由题意，可知
①与函数图象两支都相交，且交点横坐标分别在，，
所以，解得；
②，满足题意，此时；
③，满足题意，此时；
所以实数a的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
D
B
D
A
C
AC
BCD
题号
11









答案
ABC