第十三章 三角形 - 初中数学八年级上册 单元测试卷（人教版2024）

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第十三章 三角形（单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．用长度分别为4，m，7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（　　）A．12B．11C．4D．3【答案】C【解答】解：由题意得7﹣4＜m＜7+4，解得3＜m＜11，故m可能的值是4，故选：C．2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C．3．网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是（　　）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．三角形具有稳定性【答案】D【解答】解：支架采用了三角形结构，这样设计的原理是三角形具有稳定性，故选：D．4．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高，故选：D．5．满足下列条件的△ABC中，不可能是直角三角形的是（　　）A．∠A＝3∠C，∠B＝2∠CB．2∠A＝2∠B＝∠CC．∠A﹣∠B＝∠CD．∠A＝∠B＝2∠C【答案】D【解答】解：A．∵∠A＝3∠C，∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠C+2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝180°÷6＝30°，∴∠A＝3∠C＝3×30°＝90°，选项A不符合题意；B．∵2∠A＝2∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴12∠C+12∠C+∠C＝180°，∴∠C＝180°÷2＝90°，选项B不符合题意；C．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A＝180°，∴∠A＝180°÷2＝90°，选项C不符合题意；D．∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A+12∠A＝180°，∴∠A＝180°÷52=72°，选项D符合题意．故选：D．6．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝（　　）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝20°，∴∠BAC＝2∠DAC＝40°，∴∠B+∠ACD＝140°，∴∠EAC=12∠FAC=12（∠B+∠ACD）＝70°．故选：B．7．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　）A．30°B．15°C．60°D．25°【答案】B【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°，∴∠DAE＝45°，∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°，∴∠ABF＝15°，故选：B．8．一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　）A．α＝βB．α＞βC．α＜βD．无法比较α和β的大小【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，即α＝β，综上所述，只有选项A正确，符合题意，故选：A．9．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　）A．AB＝CDB．FG＝GCC．∠ABE＝2∠FCBD．∠BFH＝∠BHF【答案】B【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵AB＝BD，∴AB＝CD，故本选项结论正确，不符合题意；B、FG与GC的大小不能确定，故本选项结论不一定正确，符合题意；C、∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠BCE+∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠BCE，∵CF是△ABC的角平分线，∴∠BCE＝2∠FCA＝2∠FCB，∴∠ABE＝2∠FCB，故本选项结论正确，不符合题意；D、∵∠ABC＝90°，∴∠BFH＝90°﹣∠FCB，∵BE⊥AC，∴∠EHC＝90°﹣FCA，∴∠BFH＝∠EHC，∵∠BHF＝∠EHC，∴∠BFH＝∠BHF，故本选项结论正确，不符合题意；故选：B．10．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，SABC=12cm2，则阴影部分的面积为（　　）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．8cm2【答案】A【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE，∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE，∴S△CGE=S△AGE=13S△ACF，同理：S△BGF=S△BGD=13S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=12S△ABC=12×12=6，∴S△CGE=13S△ACF=13×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4(cm2)，故选：A．11．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　）A．30°B．35°C．25°D．40°【答案】A【解答】解：由条件可知∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故选：A．12．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（　　）A．∠2=150°−16∠1B．∠2=130°+12∠1C．∠2＝175°﹣∠1D．∠2＝115°+∠1【答案】A【解答】解：∵∠DCB是△ACD的外角，∴∠DCB＝∠D+∠DAC＝3∠DAC．在△BCE中，∠E＝2∠EBC，∴∠ECB＝180°﹣∠E﹣∠EBC＝180°﹣3∠EBC，∴∠1＝∠DCB﹣∠ECB＝3∠DAC﹣（180°﹣3∠EBC）＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°，∴∠DAC+∠EBC＝60°+13∠1．∵∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，∴∠PAB=12∠DAC，∠PBA=12∠EBC，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAC+∠EBC）=12（60°+13∠1），∴∠2＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°−12（60°+13∠1）＝150°−16∠1．故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　2＜m＜5　 ．【答案】2＜m＜5．【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜1+2m＜3+8，∴5＜2m+1＜11，∴2＜m＜5．故答案为：2＜m＜5．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　50°　 ．【答案】50°．【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，即∠B＝90°﹣∠A，∵∠A﹣∠B＝10°，∴∠A﹣（90°﹣∠A）＝10°．∴∠A＝50°．故答案为：50°．15．如图，CM是△ABC的中线，AC＝5，BC＝8，则△BCM的周长比△ACM的周长大　3　 ．【答案】3．【解答】解：∵CM是△ABC的中线，∴AM＝BM，∵AC＝5，BC＝8，∴△BCM的周长﹣△ACM的周长＝（BC+CM+BM）﹣（AC+CM+AM）＝BC﹣AC＝8﹣5＝3，则△BCM的周长比△ACM的周长大3，故答案为：3．16．如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　35　 °．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED，∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣325°＝35°．故答案为：35．17．如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝120°，∠BGC＝90°，则∠A的度数为　60°　 ．【答案】60°．【解答】解：连接BC，∵∠BDC＝120°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝60°，∵∠BGC＝90°，∴∠GBC+∠GCB＝90°，∴∠GBD+∠GCD＝∠GBC+∠GCB﹣（∠DBC+∠DCB）＝30°，∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠ABD＝2∠GBD，∠ACD＝2∠GCD，∴∠ABD+∠ACD＝2（∠GBD+∠GCD）＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB＝120°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°，故答案为：60°．18．在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为88°、22°、70°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝66°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°），当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC为　6°或18°或51°或82°　 ．【答案】6°或18°或51°或82°．【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝66°，∠OAB＝90°，∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣66°﹣90°＝24°．设∠OAC＝x，则∠BAC＝90°﹣x，∠ACB＝66°+x，当∠ACB＝3∠ABC时，66°+x＝3×24°，解得：x＝6°；当∠ACB＝3∠BAC时，66°+x＝3（90°﹣x），解得：x＝51°；当∠BAC＝3∠ABC时，90°﹣x＝3×24°，解得：x＝18°；当∠BAC＝3∠ACB时，90°﹣x＝3（66°+x），解得：x＝﹣27°（不符合题意，舍去）；当∠ABC＝3∠BAC时，24°＝3（90°﹣x），解得：x＝82°；当∠ABC＝3∠ACB时，24°＝3（66°+x），解得：x＝﹣58°（不符合题意，舍去）．综上所述，∠OAC的度数为6°或18°或51°或82°．故答案为：6°或18°或51°或82°．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）37．在△ABC中，（1）若∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A的度数；（2）若△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，求∠A的度数．【答案】（1）60°；（2）30°或75°或120°．【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∵∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，∴∠A＝20°+∠B，∴20°+∠B+∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝40°，∴∠A＝20°+∠B＝60°；（2）∵△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，∴有以下两种情况：（ⅰ）当∠A为该等腰三角形的底角时，又有以下两种情况：①当∠B＝30°是该等腰三角形的底角时，则∠A＝∠B＝30°；②当∠B＝30°是该等腰三角形的顶角时，则∠A＝∠C，∴∠A+∠C+∠B＝180°，∴2∠A+30°＝180°，∴∠A＝75°，（ⅱ）当∠A为顶角时，则∠B＝∠C＝30°是该等腰三角形的底角，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠A+30°+30°＝180°，∴∠A＝120°，综上所述：∠A的度数是30°或75°或120°．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F．（1）如果∠CFE＝70°，求∠B的度数；（2）试说明：∠CEF＝∠CFE．【答案】（1）50°；（2）证明见解析．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CFE＝70°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵AF平分∠CAB交CD于E，∴∠CAB＝2∠CAF＝40°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠CFE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB交CD于E，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠CFE＝∠AED，∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE．21．（8分）如图，AD和BF分别是△ABC的高和角平分线，AE是边BC的中线．（1）若△ABE的面积为6，则△ABC的面积为 　12　 ；（2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC和∠AFB的度数．【答案】（1）12；（2）∠DAC＝20°，∠AFB＝95°．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的边BC的中线，∴BE＝CE，∴S△ACE＝S△ABE＝6，∴S△ABC＝12，故答案为：12；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝90°﹣70°＝20°，∵∠C＝70°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，∵BF是△ABC的角平分线，∴∠CBF=12∠ABC=25°，∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝25°+70°＝95°．22．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边．（1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|；（2）若a和b满足方程组a+2b=122a−b=−1，且c为偶数，求这个三角形的周长．【答案】（1）2c；（2）11或13．【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，∴a+c＞b，b+c＞a，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c；（2）解方程组a+2b=122a−b=−1，解得a=2b=5，根据三角形的三边关系得5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7，∵c为偶数，∴c＝4或6，当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形；当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形，∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13．23．（10分）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【答案】（1）∠DAE＝15°；（2）∠DFE=12(β−α)．【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=12×80°＝40°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝35°+40°＝75°．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°，即∠DAE的度数为15°；（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=90°−12(α+β)，∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°−12(α+β)，∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE=90°−∠ADE=12(β−α)．24．（10分）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC．（1）∠1、∠2、∠A的大小关系是：　∠1　 ＞　∠2　 ＞　∠A　 ；（2）若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解．【答案】（1）∠1，∠2，∠A；（2）∠1＝132°．【解答】解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BPC是△CDP的外角，∴∠2＝∠3+∠A，∠1＝∠2+∠4，又∵∠3＞0，∠4＞0，∴∠1＞∠2＞∠A．故答案为：∠1，∠2，∠A；（2）（思路一）在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠A﹣∠3﹣∠4＝180°﹣67°﹣25°﹣40°＝48°．在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠1＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣48°＝132°；（思路二）∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠2＝∠3+∠A＝25°+67°＝92°，∵∠BPC是△CDP的外角，∴∠1＝∠2+∠4＝92°+40°＝132°．25．（10分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）；②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明．【答案】（1）证明见解析过程；（2）①26°；②∠P=∠D+∠B2，证明见解析过程．【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB．同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）①解：由（1）知，∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D，∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P．又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD，即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P，∴∠P=∠D+∠B2．又∵∠B＝36°，∠D＝16°，∴∠P=36°+16°2=26°．②∠P=∠D+∠B2，证明如下：由（1）知，∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D，∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P．又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD，即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P，∴∠P=∠D+∠B2．26．（10分）综合与实践在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．【问题初探】（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 　100　 °；【问题再探】（2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系．【答案】（1）100；（2）∠1+∠2＝40°+∠α；（3）∠1﹣∠2＝40°+∠α；（4）∠1+∠2＝400°﹣∠a．【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C＝180°：∠C＝40°，∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°，∠α＝60°，∴∠APD+∠BPE＝120°，∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°，故答案为：100；（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°，∴∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α，∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°，∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，即∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣180°+∠α＝40°+∠α，∴∠1+∠2＝40°+∠α；（3）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°，∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，∵∠3+∠2+∠α＝180°，∴∠3＝∠4＝180°﹣∠2﹣∠α，∵∠A+∠ABC+∠1+∠4＝360°，∴140°+∠1+180°﹣∠2﹣∠α＝360°，∴∠1﹣∠2＝40°+∠α；（4）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°，∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°，∵五边形ABEPD的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α＝540°，∴∠1+∠2＝540°﹣140°﹣∠α，∴∠1+∠2＝400°﹣∠α．思路一先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数．思路二先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数．