新高考数学二轮复习解答题专题训练专题03 空间向量与立体几何解答题讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习解答题专题训练专题03 空间向量与立体几何解答题讲义（2份，原卷版+解析版），共3页。
解题大招
【典例1】
（2025·广东汕尾·一模）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.
(1)若，求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
【典例2】
（2025·江苏·二模）如图，在三棱柱中，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【典例3】
（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在三棱锥和中，和均是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【典例4】
（2025·广东深圳·二模）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【典例5】
（24-25高三上·浙江杭州·期末）如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面
(1)证明：平面
(2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
【典例6】
（2025·福建漳州·模拟预测）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，，.
（i）当时，求证：平面；
（ii）当二面角的正弦值为时，求的值.
【典例7】
（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面底面，平面底面，是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)当时，
（i）证明：直线平面；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
【典例8】
（25-26高三上·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，.
(1)求证：平面PAD：
(2)设点G是的重心.
（i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值；
（ii）设平面，求.
【典例9】
（2025·广东广州·模拟预测）如图1，在正四棱锥中，所有棱长均为分别是棱和上的动点，满足.
(1)求证：平面；
(2)若异面直线与垂直，求的值；
(3)如图2，现将棱长为2的正四面体与正四棱锥进行拼接，使得顶点分别与重合，求证：四点共面.
【典例10】
（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面.

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的大小；
(3)如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值.
课后基础练
1．（2025·四川遂宁·二模）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
3．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面.
(1)证明：为的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求的长.
4．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．
(1)证明：与相交且交点在直线上．
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
5．（2025·全国·模拟预测）如图，直四棱柱的顶点都在球的球面上，是球的直径，且.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
课后能力练
6．（2026·四川绵阳·二模）在三棱锥中，，，为边的中点，，且平面.

(1)在直线上是否存在一点M，使得直线平面?若存在，指出M点的位置，若不存在，请说明理由.
(2)若平面平面.
①求证：；
②求二面角的大小.
7．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求线段的长（用表示）；
(3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
8．（2026·陕西西安·三模）如图，在三棱柱中，，为上的点，且.

(1)证明：平面；
(2)若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求二面角的正弦值.
9．（2026·吉林长春·一模）如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点.
(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面所成角的余弦值为.
（ⅰ）求异面直线与所成角的大小；
（ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
10．（2026·云南·模拟预测）如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2.
(1)求证：；
(2)当，且二面角的平面角为60°时，求二面角的正弦值.
课后压轴练
11．（2025·江苏·模拟预测）如图几何体中，四边形ABCD和AEFD都是梯形，.
(1)证明：B，E，F，C四点共面；
(2)若，求该几何体的体积；
(3)求平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值.
12．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，.

(1)证明：平面；
(2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积；
(3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
13．（2025·浙江温州·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，面ABCD，若点M满足，点E为PB中点，过EM的平面满足，且平面与棱PD，AD，AB分别交于点F，G，H.

(1)求证：；
(2)试判断P，E，M，F，G，H六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理由.
14．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，点在棱上，平面ACE.

(1)证明：平面ACE；
(2)在棱上是否存在一点，使得三棱锥的外接球表面积为，求AF的长；
(3)在第（2）问的条件下，求直线与平面CEF所成角的正弦值.
15．（2025·湖北武汉·二模）中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．