新高考数学一轮复习易错题+专题提升练第4章易错易混05 三角函数与解三角形（复习讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习易错题+专题提升练第4章易错易混05 三角函数与解三角形（复习讲义）（2份，原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了任意角的三角函数，同角三角函数的基本关系，三角函数诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，三角函数的图像与性质等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11478" 01 错点扫描・易错建模夯基石 PAGEREF _Tc11478 \h 1
\l "_Tc1178" 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 PAGEREF _Tc1178 \h 7
\l "_Tc22425" 易错归纳01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论（★★★） PAGEREF _Tc22425 \h 7
\l "_Tc23337" 易错归纳02 没有精准识别诱导公式（★★★★） PAGEREF _Tc23337 \h 9
\l "_Tc30853" 易错归纳03 求值问题忽略角的范围（★★★★） PAGEREF _Tc30853 \h 11
\l "_Tc3898" 易错归纳04 ω与φ的符号和取值问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3898 \h 16
\l "_Tc2545" 易错归纳05 忽略三角函数的图像变换规律（★★★★） PAGEREF _Tc2545 \h 25
\l "_Tc31677" 易错归纳06 解三角形中解的个数问题（★★★★） PAGEREF _Tc31677 \h 29
\l "_Tc25908" 易错归纳07 直接将a、b、c=sinA、B、C（或者反过来）（★★★★★） PAGEREF _Tc25908 \h 31
\l "_Tc32299" 易错归纳08 忽略一些关键条件（例如锐角三角形）（★★★★★） PAGEREF _Tc32299 \h 35
\l "_Tc29001" 03 实战检测・易错通关验成效 PAGEREF _Tc29001 \h 40
一、任意角的三角函数
1、定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
2、推广：三角函数坐标法定义中，若取点是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
3、三角函数的性质
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
（1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
（2）已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
（3）已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。
二、同角三角函数的基本关系
1、平方关系：．
2、商数关系：；
三、三角函数诱导公式
注：利用诱导公式化简及其计算
（1）诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．
（2）学会诱导公式的逆用，如等，再如，能将中的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．
（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．
四、两角和差公式
①；
②；
③；
变形：；
五、二倍角公式
①；
②；
③；
变式：
六、降幂公式
七、辅助角公式
（其中）．
八、三角函数的图像与性质
九、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用
1、最小正周期：.
2、定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A].
3、最值（以下）
4、单调性
5、对称轴与对称中心
正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置.
6、平移与伸缩
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤
注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
十、解三角形多解情况
1、在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2、题设三角形中，已知一个角和两个边，判断三角形个数，遵循以下步骤
第一步：先画一个角并标上字母
第二步：标斜边（非对角边）
第三步：画角的高，然后观察（）
十一、解三角形相关公式
1、正弦定理
①正弦定理：
②变形：
③变形：
④变形：
⑤变形：
2、余弦定理
①余弦定理：
②变形：
3、三角形面积公式
①
②其中分别为内切圆半径及的周长
推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式
③（为外接圆的半径）
推导：将代入可得
将代入
可得
④
⑤海伦公式（其中）
推导：根据余弦定理的推论
令，整理得
注：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题


易错归纳01 应用三角函数定义忽略终边位置的讨论
【易错陷阱·避错攻略】
1．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】由余弦函数的定义计算可得.
【详解】由余弦函数定义可得，所以，解得.
故选：D
2．如果角的终边在直线上，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解．
【详解】方法一：
因为角的终边在直线上，所以设直线上一点，
可得．
所以
．
方法二：
直线过第一象限和第三象限．
若的终边在第一象限，可取终边上一点，
则，，
则．
若的终边在第三象限，可取终边上一点，
则，，
则
故选：B
3．已知角α的终边在直线上，则＝
【答案】
【分析】设在直线上任取点，根据三角函数的定义即可求解.
【详解】设在直线上任取点，所以，
所以，
故答案为：.

易错归纳02 没有精准识别诱导公式
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角之间的关系并根据诱导公式进行计算即可．
【详解】，
．
故选：A
2．（2025·陕西咸阳·一模）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为整体，利用倍角公式结合齐次式问题分析求解即可.
【详解】由题意可得：
.
故选：C.
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先对已知条件化简变形可得，然后由结合余弦的二倍角公式可求得结果.
【详解】由，得，
即，所以，
所以.
故选：C.
4．（2025·河南·二模）已知，则 .
【答案】
【分析】由，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】.
故答案为：.
5．已知 ，则 .
【答案】/
【分析】利用诱导公式，即可求出答案.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：.

易错归纳03 求值问题忽略角的范围
【易错陷阱·避错攻略】
1．（25-26高三上·重庆·月考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解.
【详解】因为，所以,
因为，所以，
所以，
所以.
故选：A.
2．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由所给角的象限结合同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的余弦公式计算即可得解.
【详解】由，，则，，
故，
，
故
.
故选：C.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案.
【详解】已知，
则，
所以，
联立，结合，解得，
则，
故.
故选：D.
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由两角和与差的正、余弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式可求出，两式联立即可得出答案.
【详解】因为，
所以，分子分母同时除以，得①，
由于，所以所以,
所以，所以，
即，分子分母同时除以得，
，
代入①得：，解得.
故选：D.
5．（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值.
【详解】因为，所以，且因为，
所以，则，
则，所以正确；
由可得，又因为，
利用不等式的性质可得，，
所以，
则，
又因为，所以，所以正确.
故选:
6．（24-25高三上·广东佛山·月考）已知，，，则 .
【答案】
【分析】先由角的范围和题设和的值，求出和的值，再利用拆角变换展开后代入求值即得.
【详解】因，，，
故，，
故，，
则
.
故答案为：
7．已知，，则 .
【答案】或/或
【分析】令，则，，.由同角三角函数的平方关系可得或，结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】令，则由可得，
则原题目变为：已知，，求.
∵，，
∴当时，；当时，.
由两角差的余弦公式可得，
∴当时，；
当时，，
即或.
故答案为：或.

易错归纳04 ω与φ的符号和取值问题
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，可得，或，结合即可求解.
【详解】函数为偶函数，需满足.
将函数化简：.
由偶函数性质得：
即
利用正弦函数的性质，可得：
（舍去，因为不恒成立），
或
解得：，即
结合，得.
故选：B.
2．（广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解可得，即可得结果.
【详解】因为，且，则，
若函数在区间上单调递增，
注意到，则，解得，
所以的最大值为1.
故选：C.
3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合正弦函数的图象可得答案.
【详解】因为，所以，
由函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
得，解得.
故选：C.
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值.
【详解】由题意，知，其中.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以为图象的一条对称轴，所以，.
又，所以，，解得，，，
所以.将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象.
由的图象关于轴对称，得，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：C.
5．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得：的最小正周期，
又对任意的恒成立，
所以为的一条对称轴，
所以，解得，
又，则，，
所以．
当时，，
若函数在区间上恰有3个零点，则，解得，
即的取值范围是.
故选：D．
6．（2025·江苏连云港·模拟预测）（多选题）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】AC
【分析】分析出关于中心对称，关于轴对称，根据单调性得到，设对称中心和对称轴的距离为，则，设的最小正周期为，分，，，和五种情况，结合函数的性质判断出答案.
【详解】，故关于中心对称，
，故关于轴对称，
，则，
在上是单调函数，所以，故，
设对称中心和对称轴的距离为，则，
设的最小正周期为，
若，则，故，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
此时在上单调递增，满足要求；
若，即，，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
故在上不单调，不合要求，
若，即，，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
此时在上单调递增，满足要求；
若，即，，此时，
，，，，
故，，，，
因为，故当，时，满足要求，此时，
此时，当时，，
故在上不单调，不合要求，
当时，，不合要求，
综上，所有可能取值为1或5.
故选：AC
7．函数，的单调减区间为 .
【答案】和
【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在上的减区间.
【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间，
已知得单调增区间为，
得，解得，
当时，增区间为，当时，增区间为，
所以在上的单调增区间为和，
即在上的单调减区间为和，
故答案为：和.
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数是偶函数，则的最小正值为 ．
【答案】/
【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值.
【详解】由于是偶函数，所以，，
故，，所以当时，取最小正值，最小正值为．
故答案为：.
9．（2025·北京大兴·三模）已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ．
【答案】 /1.5
【分析】根据两角和的正弦公式化简，求出，根据零点与极值点求出周期得出.
【详解】
，
所以，
因为，，且的最小值为，
所以，即，解得.
故答案为：；
10．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数（，），若，，且在区间上单调，则 ．
【答案】
【分析】根据函数在区间 内的单调得出周期，进而求得，通过极值点和零点条件建立关于 和 的方程，结合 的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果.
【详解】设函数 的周期为 ，由， ，
结合正弦函数图象的特征可知，
， .
故 .
又因为 在区间上单调，所以， ，故 ，
所以 .
由 ，得 ，即且，
所以，当 时， ， ，或，舍.
当 时， ， ， ，符合条件.
当 时， ， ，或，舍.
所以 ， .
故答案为：.

易错归纳05 忽略三角函数的图像变换规律
【易错陷阱·避错攻略】
1．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度
【答案】A
【分析】将变形为的形式，从而确定平移的方向和单位长度.
【详解】将变形为
对于函数，要得到的图象，根据“左加右减”的原则，需要将的图象上所有的点向右平行移动个单位长度。
只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，就可得到的图象.
故选：A.
2．（2025·山东济宁·一模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得.
【详解】函数周期，所以函数的图象向右平移个周期可得.
故选：D
3．（24-25高三上·陕西西安·期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合诱导公式，利用平移规律求平移后的函数解析式.
【详解】由题意得
故选：C
4．（2025·山西临汾·三模）为了得到函数的图象，只要把正弦函数上所有点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】利用函数图像的平移变换即可求解.
【详解】因为，所以将函数的图像向左平移个单位长度得，
故选：D.
5．要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及平移的性质可得，即可根据范围求解.
【详解】，故将其向左平移个单位得到，
故,进而，
故，解得，
结合，取，则，
故选：A
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数，要得到一个偶函数的图象，可以将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数，再结合函数图象变换求解判断.
【详解】依题意，，
对于A，，所得函数不是偶函数，A错误；
对于B，，所得函数不是偶函数，B错误；
对于C，，所得函数是偶函数，C正确；
对于D，，所得函数不是偶函数，D错误.
故选：C
7．（24-25高三下·湖北武汉·月考）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的平移变换求解即可.
【详解】函数向左平移个单位长度，
得到，
横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到，
向上平移1个单位长度，得到，
纵坐标变为原来的3倍，得到，
则，又，
解得，
则.
故选：A.

易错归纳06 解三角形中解的个数问题
【易错陷阱·避错攻略】
1．在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件：
①，， ； ②，，；
③，，； ④，，．
能判断三角形存在且有唯一解的是（ ）
A．①④B．②③
C．①②③D．②③④
【答案】B
【分析】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假．
【详解】①中，，，，
由正弦定理可得，即，可得，
因为角为锐角，所以角有两解，所以①不正确；
②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确；
③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确；
④中，由正弦定理可得，所以不存在这样的三角形，所以④不正确．
故选：B．
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果.
【详解】由正弦定理可得，则，
因为，且满足条件的有两个，
所以，且（当时，三角形只有一解），
此时，则.
故选：B
3．（23-24高三上·上海嘉定·期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由可求，对的取值进行讨论，求出使得B唯一时的取值范围，此时有唯一值.
【详解】由可得：，且，
若，则，由正弦定理可得,
则，所以B为锐角，
此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.
当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.
当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立.
故选：C
4．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，或，进而可得.
【详解】若满足条件的恰有一解，如图
则，或，
当时，，
当时，，
所以AC的取值范围是.
故选：D
5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】在中，，由有两解，得，
即，解得，
所以的取值范围为.
故选：D

易错归纳07 直接将a、b、c=sinA、B、C（或者反过来）
【易错陷阱·避错攻略】
1．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求；
(2)求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，化简计算即得.
（2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，根据三角形面积公式得到面积最大值.
【详解】（1）由题意得，，
由正弦定理，可得，
， ，
，.
（2），
由余弦定理，
所以，当且仅当时取等号，
的面积的最大值为.
2．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，边AB上的高为，求的周长．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简，再应用二倍角正弦计算求出角；
（2）应用面积公式求出，再结合余弦定理求出边即可得出周长.
【详解】（1），
，
，
，即，
，
或；
（2），
，
边AB上的高为，
，则，
又由余弦定理得，
，
又，
或，
的周长.
3．已知三个内角A、B、C所对的边分别为.
(1)证明：；
(2)若的面积为6，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合三角恒等变换，即可证明；
（2）根据（1）的结果，以及面积公式求，再代入余弦定理，即可求解.
【详解】（1）由已知，得，
所以，
所以，
故，又，
所以.
（2）若，则，所以，解得，
又由余弦定理得：，
所以.
4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式、两角和的余弦公式变形，用正弦定理化角为边，再由余弦定理求得角；
（2）由面积公式和余弦定理（1）中结论列方程组求得后得周长.
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，又，
所以；
（2）因为，的面积为，
则，解得，所以的周长为.
5．设的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的值；
(2)若点在线段上，，，的面积为，求的长度.
【答案】(1)3
(2)1或2
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）根据题设，结和三角形的面积公式及余弦定理易得，设，再利用列方程即可求解.
【详解】（1）由，
根据正弦定理得：．
所以
则．
因为，所以.
（2）由题意，，则，
由余弦定理得，则，解得，
则，设，，
由，
则，
则，解得或2，即或2.

易错归纳08 忽略一些关键条件（例如锐角三角形）
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·山西·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)，，D为AC的中点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角及辅助角公式即可求解.
（2）根据余弦定理即可求得的长，再利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得.
因为，所以，所以，
整理得，即.
因为，所以，所以，即.
（2）
在中，由余弦定理得，
即，解得或.
若，则，则为钝角，舍去，
所以，，因为，根据正弦定理，角最大，所以为锐角三角形，符合题意.
因为为的中点，所以，
所以，在中，，
所以.
在中，.
2．（2025·浙江嘉兴·二模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，结合正弦定理可求得结果；
（2）由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）由及正弦定理可得，
即，
即，
即，
因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故.
（2）因为，则，故，
所以，
即，即①，
由余弦定理可得，即②，
联立①②可得，，故，
因此，.
3．（2024·重庆·一模）在梯形中，为钝角，，．
(1)求；
(2)设点为的中点，求的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出的长.
【详解】（1）在梯形中，由为钝角，得是锐角，
在中，，则，
由余弦定理得，即为等腰三角形，
所以.
（2）由，得，由点为的中点，得，
所以.
4．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的值；
(2)若b=2，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.
（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因为，所以．
（2）在锐角中，，记的面积为．
由正弦定理得，即．
所以
．
因为在锐角中，，所以，，
解得，则，所以，
所以，所以面积的．
5．（2025·山东临沂·三模）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理化简整理可得，即可求解.
（2）利用正弦定理、差角的正弦公式化简，再利用正切函数性质求出范围.
【详解】（1）在锐角中，由及余弦定理，
得，而，解得，
而，所以.
（2）由（1）知，，，由是锐角三角形，得，
解得，，由正弦定理得，
则，
所以的取值范围是.
6．（24-25高三上·重庆渝中·月考）设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，.
(1)若，求的周长;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，
则，即有，而为钝角，则为锐角，因此，
由，得，由，为锐角，得，
由正弦定理，得，
，
由余弦定理得，
于是，解得，
所以的周长为.
（2）由（1）知，
则
，又，即，
因此，所以的取值范围.

1．（24-25高三上·山东威海·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得.
【详解】函数，
因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象.
故选：C
2．（2025·福建莆田·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】.
故选：C.
3．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】结合诱导公式，直接求解三角函数图像平移即可.
【详解】因为，
即图像上所有的点向右平移个单位，
又，
即上述图像再次向右平移个单位，
综上，为了得到的图象，
只要把上所有的点向右平行移动个单位长度.
故选：C
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式可得，又，进而得到，即可求值.
【详解】由，
由，
而，则，
所以，则，可得，
所以，则.
故选：B
5．在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角可得，再结合条件可得，最后由面积公式得解.
【详解】由及正弦定理，
可得，
因，所以，
又，则有，
若，则有，则，
所以.
选选：B.
6．的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】理由正弦定理，将问题转换为三角方程根的个数求参数问题即可.
【详解】由正弦定理有，即，即有两解，
因为，所以，从而，解得.
故选：C.
7．（2025·湖南·二模）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得的取值，结合角的范围以及平方和为1可计算，由两角和的余弦配凑角可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
故选：C
8．（2025·江西新余·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题干条件和正弦定理得，再由及余弦定理可得，联立化简得，结合角C的范围求得，代入求解即可.
【详解】由及正弦定理可得，，
由及余弦定理可得，
所以，所以，故，
又，故，所以，所以，
所以.
故选：D
9．（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将化简，即可得解.
【详解】，
，．
．
故选：A
10．（23-24高三上·北京·开学考试）中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】给定的边、和角，通过正弦定理来分析三角形解的情况，进而判断两个条件之间的逻辑关系
【详解】判断充分性，
由正弦定理可得.
已知，即（因为），由于，所以.
当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.
判断必要性，
若有且仅有一解，有两种情况：
情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以.
情况二：且或，当时，；当时，.
所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.
则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
11．已知函数，则下列命题中错误的是（ ）
A．若在上单调递增，则的取值范围是
B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是
C．若在上的值域为，则的取值范围是
D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是
【答案】B
【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到不等式，四个选项一一进行求解，求出的范围.
【详解】对于A，当时，，又在上单调递增，
所以，又，解得，故A正确；
对于B，当时，，若在上恰有3个零点，
则，解得，故B错误；
对于C，时，，
由题意得，解得，故C正确；
对于D，时，，
由题意得，解得，故D正确．
故选：B．
12．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化相位为整体变量，再结合正弦曲线，根据题意可得到不等式求范围.
【详解】因为，，所以．
画出的图象，如图．

由图，得或，解得或．
故选:C．
13．已知.若是函数的零点，直线是函数图象的对称轴，在区间上单调，则的最大值是（ ）.
A．14B．9C．10D．6
【答案】B
【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值.
【详解】解法1：由得，则.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.
当时，，这个区间不含中的任何一个，
故函数在上单调，符合题意.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.当时，，
这个区间含有，则函数在上不单调，不符合题意.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.
当时，，这个区间不含有中的任何一个，
函数在上单调，符合题意.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.当时，，
这个区间含有，则函数在上不单调，不符合题意.
综上，的最大值为9.
解法2：根据函数的图象特征知，它的一个零点和一条对称轴之间的最近距离为周期的四分之一，
所以，即，可得，其中.
所以函数的极值点为.
由于在上单调，所以对于任意的，
都有，
即.
当时，，存在，不合题意；
当时，，对任意的，符合题意.
解法3：从，入手来思考，要取最大值，
可以结合选项，从取值最大的选项开始，一一验证.
当时，，从单调区间的一个端点往前推算，
靠近的单调区间为，，容易看出，不合题意.
当时，，从单调区间的一个端点往前推算，
靠近的单调区间为，，容易看出，符合题意.
解法4：由得，则，
从而其中.
由，即，可知为正奇数.
由得
又由于，所以只能取.
当时，；当时，；当时，；
当时，.
因为是正奇数且不超过12，所以.
当时，，，
该区间含有，则在上不单调，不符合题意.
当时，，，
该区间不含有中的任何一个，则在上单调，符合题意.
综上，的最大值为9.
解法5：由题意知，得，即，从而①.
又由题意可得其中，则.
又因为，所以.
当时，，②.
由①②可得，的最大值为9.
故选：B.
14．（2024·辽宁·模拟预测）（多选题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项.
【详解】对于A：因为，，
所以,故A错误；
对于B：，则又，
所以，所以，故B正确；
对于C：由，可得，
，
又，所以，故C错误；
对于D：根据C选项知，
所以,故D正确.
故选：BD．
15．设角终边上一点，，则的值为 .
【答案】或
【分析】由三角函数的定义即可得解.
【详解】当时，，；
当时，，.
故答案为：或.
16．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知，则 .
【答案】
【分析】以为整体，利用诱导公式可得，再根据倍角公式结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为
由
.
故答案为：.
17．函数的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间.
【详解】函数，即，
则，解得，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
18．（24-25高三上·江西·月考）已知函数的图象关于轴对称，则 .
【答案】
【分析】根据三角函数奇偶性的性质即可求解.
【详解】因为函数的图象关于轴对称，故为偶函数，
所以.又，所以.
故答案为：
19．（24-25高三上·山东泰安·月考）已知，，，则 .
【答案】
【分析】利用余弦的差角公式先求，从而可得，根据角的范围结合同角三角函数的基本关系确定，再利用正切的差角公式计算即可.
【详解】由题意可知，所以，
即，
又，所以，
则，
所以，
所以.
故答案为：
20．在中，角所对的边分别为，且，则 ，若，是角的内角平分线，，则 ．
【答案】 1
【分析】利用正弦定理边化角可得，利用三角形的面积公式和，以及二倍角公式可得，从而得解.
【详解】设外接圆的半径为，由，
根据正弦定理，设外接圆半径为，
则，则，即，
由三角形的面积公式得，
所以，
即，
，则，即，
所以．
故答案为：1；
21．（25-26高三上·河北衡水·月考）函数恒有，且在上单调递增，则 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值.
【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即，所以，所以；
已知在上单调递增，所以，即，解得.
当时，因为，所以，因为在上单调递增，所以，解得，
所以，解得，故.
当时，因为，所以.取，
则，因为，
所以，故在上单调递减，不满足题意.
同理可得不满足题意.
综上可得：.
故答案为：.
22．已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角的三角函数关系化简后，运用正余弦定理即可求得；
（2）先由条件求出角，利用正弦定理求出边的长，即得三角形的周长.
【详解】（1）由
可得，
即，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
，.
（2）在中，由（1）得，因，则，
，
由正弦定理可得：，
即，则，，
则的周长为.
23．（24-25高三下·江苏盐城·月考）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转换，结合两角差的正弦公式、正弦函数性质进行求解即可；
（2）根据锐角三角形的性质求出角的取值范围，结合正切的二倍角公式、对勾函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理有，则．
因为，，
所以，
所以，即．
（2）因为为锐角三角形，
所以，，，
解得，
则，
又，则，因为在上单调减，
所以，即．
24．（2025·江西·模拟预测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，.
(1)若，且，求面积的最大值；
(2)若，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出ac的最大值，再根据三角形面积公式求出面积最大值；（2）通过已知条件结合余弦定理和正弦定理进行化简推导，得出角之间的关系。
【详解】（1）因为，，
由余弦定理得，
所以，当且仅当时取等号，
又，
所以的面积，
即面积的最大值为.
（2）证明：由及余弦定理得，
，
因为在锐角中，，
所以，即，
由正弦定理得，
因为，都是锐角，所以，.
25．（23-24高三上·山西·月考）在钝角中，内角所对的边分别为，且有．
(1)求；
(2)若点在边上，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合内角和、和差公式和辅助角公式化简即可求解；
（2）利用列方程可得，然后结合已知可解.
【详解】（1）由正弦定理及，
有，
又由，有，
即，
又，
所以，
整理得，
又由钝角，有，上式可化为，
即，
所以，
所以，可得；
（2）由，有，

又由，可得，
则，
可得，
又由，可得，
所以．
26．（2025·安徽安庆·二模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若角为锐角，且的面积为，求边长的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据正弦定理边角转化可得，由此可得.
（2）根据条件结合边角转化可得，分析可得为等腰直角三角形，根据可得结果.
【详解】（1）证法1：由正弦定理得，.
∵
，
∴，即，
∵，∴，故，
∵，∴，
∴或，
∴或（舍），故.
证法2：由正弦定理得，，
由余弦定理得，，
∴，即，
∴，
∴.
∵，∴，即，
∵，∴，
∴或，
∴或（舍），故.
（2）由，得，即，
∴，
∵，∴，故，
∵，∴，即，故，
∴，即，故，，
∴为等腰直角三角形，
∵，∴.
27．（2024·湖北·一模）在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)证明：.
(2)若点在边上，且，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；
（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为，所以，
整理得.
又，所以，从而，
整理得，则.
由，得，
即，结合锐角中，，
则，即.
（2）如图，由，可得，则.
在中，由正弦定理得，
整理得.
因为，且是锐角三角形，所以解得，
则，
从而，即的取值范围为.
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
对三角函数的定义的理解：
(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个坐标(或比值)的集合的对应．
(2)三角函数可以用比值来定义，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．
正确应用诱导公式的前提条件有两个：
一是弄清什么时候需要应用诱导公式，这时要学会观察所给角与特殊角或条件角与待求角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍；
二是要记牢诱导公式，做到这一点就需要平时多加练习，将公式牢记在心.
应用同角三角函数关系式的注意事项：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意根据角的范围判断符号，而求角的范围除去利用给出的范围，有时还需要根据三角函数值的符号深挖隐含范围.
1、φ的符号和取值
题型1．已知的部分图象求的方法：
（1）利用极值点的纵坐标求；（2）把某点的坐标代入求．
题型2．已知的部分图象求的方法：
由，即可求出．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为；（2）相邻两个零点之间的距离为（3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为．
题型3．已知的部分图象求的方法：
求的值时最好选用最值点求．
峰点：；谷点：．
也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．
升零点（图象上升时与轴的交点）：；
降零点（图象下降时与轴的交点）：（以上）．
2、ω的符号和取值
（1）求三角函数的单调区间时首先要对三角函数解析式进行变形，化为y＝sin(ωx＋φ)、y＝cs(ωx＋φ)、y＝tan (ωx＋φ)的形式，然后求出定义域，结合复合函数单调性的判断方法求解。
如对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
（2）与三角函数单调性有关的参数问题
如果解析式中含有参数，要求根据函数单调性求参数的取值范围，通常先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围.
【注意】由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或(k∈Z)列出不等式求解．另外，因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是eq \f(T,2)，所以具有单调性的区间长度必不超过eq \f(T,2)，根据这个性质有时也可求出ω的范围．
（3）与对称性有关的参数问题
一般来说,若函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定ω的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束ω的范围,最后对剩下的ω进行逐一检验,进而确定ω的准确范围.
【注意】①函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－eq \f(φ,ω)＋eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π,2ω)(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示，对称中心和对称轴的取值与参数ω有着紧密的联系．
②三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．
（4）与三角函数的最值存在有关的参数问题
一般考查形式是给出区间最值点的个数求参数范围，这种题目一种思路是求出所有的最值点根据区间内最值点的个数列出不等式求解，另一种思路利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
（5）与三角函数的零点有关的参数问题
解决此类问题，要先根据所给的单调区间判断ω的大致范围，再计算对称轴，依据函数在所给区间的极值点及对称轴缩小范围，从而求出ω的范围．
注：一般来说,已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某个区间上有k个零点、最值等,可将ωx+φ看作一个整体,再利用正弦函数y=sint的性质解题.
这类问题的基本解题思路是：先将函数的解析式化简为的形式；根据题设给出限制条件（如单调性、对称轴的个数、零点个数或最值个数等）判断周期满足的条件，求出的大致范围；在求出的取值范围，分析左（或右）端点的大致位置，再确定另一个端点位置；找出临界点，列出不等式求解。
在进行图像变换时要注意三点：
（1）化简解析式：即将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)（或y=Acs(ωx+φ)）形式；
（2）统一名称：即分析变换前后的三角函数是否同名，不同名时用诱导公式化为同名形式；
（3）变换：提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间内不单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解的个数。
什么情况下边化角?
（1）当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
（2）当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边
（3）当每一项都是边时，直接采用边处理问题
（4）当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
处理三角形中的三角函数问题时一定深挖三角形中的隐含条件，如三角形是锐角三角形时，则三角形的三个内角都是锐角，而三角形是钝角三角形时，只需要三角形最大的内角是钝角.