2025-2026学年福建省泉州市四校联考高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省泉州市四校联考高二（下）期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若​​​​​​​,则=（ ）
A. 0B. 2C. -2D. -4
2.某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.设A，B是一个随机实验中的两个事件，若，，则=（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则a3=（ ）
A. -120B. -160C. -200D. -440
5.某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦.在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式.
A. 12B. 24C. 36D. 48
6.盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取2个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.若函数y=f（x）的导函数y=φ（x）=f′（x）图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. φ′（x）＜0的解集为（-∞，-3）
B. 函数y=f（x）有2个极值点
C. 函数y=f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）
D. -3是函数y=f（x）的极小值点
8.某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A. 1张B. 2张C. 3张D. 4张
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式正确的是（ ）
A. 已知，则x的取值为6或7
B.
C. （2-x）（1-x）4的展开式中x3的系数为-14
D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
10.下列说法正确的是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立
B. 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）=0.9，则P（0＜X＜2）=0.4
C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D. E（2X+3）=2E（X）+3，D（2X+3）=2D（X）+3
11.已知函数f（x）=x3+3x2+ax+b,∃b∈R，使得f（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法正确的是（ ）
A. a的取值范围为（-∞，3）
B. x2＜-1＜x3
C. 若f（2-x）+f（x-4）＞4，则b＞a
D. 函数f（x）在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.6名学生参加数学竞赛，决出第1名到第6名的名次（没有同分或者并列的情况）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说：“你和甲的名次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有 不同的情况.（用数字作答）
13.已知函数f（x）=m2lnx+x2-3mx在x=1处取得极大值，则实数m的值为 .
14.2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）.甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到.记第n次发出红包的人是乙的概率为an.则a4= ，an= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③C-C=10这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.
问题：已知在（）n的展开式中，_______.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含x2的项.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当x≥2时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.
17.(本小题15分)
2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元（含500元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球4个，黑球6个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元.
（1）若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率；
（2）若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
18.(本小题15分)
已知函数f（x）=lnx-mx2+（1-2m）x+1，.
（1）若m=1，求f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若0＜x1＜x2，且满足g（x1）=g（x2），证明：.
19.(本小题17分)
某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.
该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N（75.8，36）.若Y～N（μ，σ2），令，则η～N（0，1），请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P（ξ=k）取得最大值时k的值.
附：若η～N（0，1），则P（η≤0.8）≈0.788，P（η≤1.04）≈0.85.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】144
13.【答案】2．
14.【答案】
．

15.【答案】解：（1）若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3，
则：=14：3，求得n=10，
当二项式系数最大时，r=5，即第六项的二项式系数最大，
此项为；
若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，
则，∴n=10，
当二项式系数最大时， r=5，即第六项的二项式系数最大，
此项为；
若选③，，∴n=10，
当二项式系数最大时，r=5，即第六项的二项式系数最大，
此项为；
（2）该二项式的通项公式为，
令，求得r=2，故展开式中含x2的项为T3=45x2．
16.【答案】（e2-1）x-y-2（e2-1）=0 （-∞，e2]
17.【答案】 该顾客选择第二种抽奖方案更合算
18.【答案】极大值为，无极小值 当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 证明：由题意，记g（x1）=g（x2）=u，那么x1，x2是的两根，
，可转化为，是t（3-lnt）=u的两根，
令F（t）=t（3-lnt），求导得F′（t）=2-lnt，
令F′（t）=0，解得t=e2，
若F′（t）＞0，则t＜e2；若F′（t）＜0，则t＞e2，
因此F（t）在（0，e2）上单调递增，在（e2，+∞）上单调递减，
不妨设，要证，即证，
只需证①，
令G（t）=F（t）-F（2e2-t），求导得：
G′（t）=（2-lnt）-[2-ln（2e2-t）]•（-1）=4-ln（-t2+2e2t），
当t∈（0，e2）时，-t2+2e2t∈（0，e4），ln（-t2+2e2t）＜4，
因此此时G′（t）＞0，G（t）在（0，e2）上单调递增，
因此，即①式得证，故命题得证
19.【答案】解：（1）由题知:随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.
根据条件得;
;
;
.
则随机变量X的分布列为
数学期望.
（2）①设该划线分为m，
由Y～N（75.8，36）得μ=75.8，σ=6,
令,
则Y=6η+75.8.
依题意P（Y≥m）≈0.85,
即，
因为当η～N（0，1）时，P（η≤1.04）≈0.85，
所以P（η≥-1.04）≈0.85，
所以，
故m≈69.56.
∴取m=69．
②由①讨论及参考数据得P（Y≥71）=P（6η+75.8≥71）=P（η≥-0.8）=P（η≤0.8）≈0.788，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
故ξ～B（800，0.788），．
由
即
解得630.188≤k≤631.188，
又k∈N,所以k=631，
故当k=631时,P（ξ=k）取得最大值． 原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
X
0
1
2
3
P