福建省泉州四校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 21B. 84C. -21D. -84
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中的次数为2,求出对应的值，最后代入通项求出含项的系数.
【详解】展开式的通项为：，
令，则，系数为
故选:B.
2. 函数在处的瞬时变化率为（ ）
A. B. 1C. 6D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】求导计算即可.
【详解】因为，
所以在处的瞬时变化率为12.
故选：D
3. 随机变量与满足，若，则（ ）
A. 8B. 5C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】借助方差性质计算即可得.
【详解】.
故选：A.
4. 遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（ ）
A. 150种B. 180种C. 240种D. 300种
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出将5本不同的宣传册分成3组的情况，再计算分配方式即可求出.
【详解】第一步：分组
将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况：
①3－1－1型：分组数为（种）；
②2－2－1型：分组数为（种）
合计：（种）．
第二步：分配
将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）．
根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）．
故选：A．
5. 某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（ ）
A. 0.9B. 0.85C. 0.8D. 0.75
【答案】A
【解析】
【分析】据给定条件，由全概率公式列式，求解计算即可求出结果.
【详解】记A为事件“盆栽没有枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”，
由题意可得，
由对立事件的概率公式可得.
由全概率公式可得，
解得
故选：A
6. 已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由构造，得到其单调性，对不等式变形后得到，从而由单调性解不等式，求出答案.
【详解】令，则，因为对任意的都有，
所以，所以在上单调递减，
不等式等价于，
即，所以，解得，
故选：D．
7. 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设应用排列组合数求{数学不排第一节，物理不排最后一节}、{化学排第四节}的安排方法数，求出、，应用条件概率公式求目标概率.
【详解】事件：数学不排第一节，物理不排最后一节.
若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有种；
若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有种；
综上，事件A的安排数有种；
事件：化学排第四节.
若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有种；
若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，做全排有种；
综上，事件B的安排数有种；
5科任意排有种，所以，，
故满足条件的概率是.
故选：B
8. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的次方性质，逐项比较大小，即可判断.
【详解】因为，所以，
又，，所以，
所以，
设，则，
当时，，仅当时等号成立，
则在上单调递减，
而，故，即，所以，
综上所述，可得.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有种排列方式．B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式．
C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式．D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式．
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可.
【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确；
B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，
故共有种情况，B错误；
C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，
再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确；
D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，
再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确.
故选：ACD
10. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）
A. 第2026行的第1013个数最大
B. 第8行所有数之和为256
C.
D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项：先明确杨辉三角第2026行第个数对应组合数,再利用组合数对称性与最大值规律,得出最大,对应行数推得第1014个数为该行最大值,从而判定A错误.
B选项：依据杨辉三角第行所有二项式系数之和为的性质,直接代入行数,计算的值即可验证B正确.
C选项：运用组合数性质,给原式补充再整体消去1,逐项递推合并组合数,最后算出并作差得到结果,以此判断C正确.
D选项：先推出数列通项,对裂项变形,再利用裂项相消求和,消去中间项后化简式子,得到前项和的最简表达式,进而判定D正确.
【详解】A错，因为第行的第rr≤2027个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第行的第个数最大；
B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为；
C对，因为
；
D对，由题意知
，故D正确.
11. 已知函数，其导函数为，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 时，的单调递减区间为
C. 时，为的极值点
D. 时，无零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据条件，利用重要不等式，即可求解；对B，根据条件，直接求出的减区间，即可求解；对C，根据条件得恒成立，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；对D，根据条件，利用导数，求出的单调区间，进而得恒成立，即可求解.
【详解】易知的定义域为，，
对于A，因为，则，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，当时，，
由，解得，又在处有意义，
所以的单调递减区间为，故B正确；
对于C，当时，，
因为，所以恒成立，当且仅当时取等号，
故在区间上单调递增，则无极值点，故C错误；
对于D，因为，当时，易知在区间上单调递减，
又时，，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
令，则，
当时，，则在区间上单调递增，所以，
即，所以恒成立，无零点，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量X的分布列为
则的值为________________．
【答案】21.2
【解析】
【分析】根据表中数据，可求得，再由离散型随机变量分布列的均值的性质公式即可得解.
【详解】由表中数据可知，，
根据离散型随机变量分布列的均值公式可知，
故答案为：21.2
本题考查了离散型随机变量均值的求法，加减乘法变化后均值求法，属于基础题.
13. 已知，，，则________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及互斥事件、对立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解.
【详解】由，即，解得，
又，即，解得，而，
则，所以.
故答案为：
14. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性并求导，利用基本不等式得出导数大于0，进而得出函数单调递增，将不等式化简为，分离参数后构造新函数，分析函数单调性并求出最小值，利用恒成立条件构造不等式，进而求出实数a的取值范围．
【详解】函数的定义域为，
是奇函数，
求导得，
由基本不等式得：，当且仅当时取等号且，
，
在上严格单调递增，
由，
得，
，
分离参数得：，在上恒成立，
令，利用，化简得，
设，求导得，
在上严格单调递增，
的取值范围为：，
令， 求导得，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
在处取得最小值：
，即在上的最小值为，
要使恒成立，只需，即的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值.
【小问1详解】
由题意知，
则
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
的定义域为，由（1）知，
令，得或；
令，得或，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和．
易知的极大值为，极小值为．
16. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出；
（2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解.
【小问1详解】
从甲箱中任取2个小球的事件数为，
这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为．
【小问2详解】
设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，
则事件，，彼此互斥．
，，，
，，，
所以
，
所以取出的这个小球是白球的概率为．
17. 已知函数存在两个极值点、，记、．
（1）若，求的值；
（2）若曲线上存在点，使得，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数有极值点可求出的取值范围，求出、，进而可得出点、的坐标，再根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，即可解得实数的值；
（2）分析可知点在线段的中垂线上，于是可知方程存在正数解，则函数存在正零点，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，则，
因为函数有两个不等的极值点、，则，可得，
令，解得，，
因为，，
此时、，
所以，
整理可得，解得.
【小问2详解】
因为、，则，
所以点在线段的中垂线上.
又在曲线上，则方程存在正数解，
即在存在零点.
可知，
由可得，由可得，
故在上单调递增，在上单调递减.
因为，由零点存在定理可知，只需即可，
可得，又因为，解得，
所以的取值范围为.
18. 某种比赛采用“局胜”制（即累计先赢局者获得本场比赛胜利）．在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为（每局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局）．
（1）当时，若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）如果选择以下方案中的一种：
方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为．
方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为．
比较和的大小；
（3）记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为，记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为，证明：．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，所有可能值为2，3，进而求出对应的概率，再根据期望的公式求解即可；
（2）结合二项分布的概率公式分别求出、，即可比较大小；
（3）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，由题意，，可得，再结合全概率公式求得，进而求证即可.
【小问1详解】
由题意，，，即采用3局2胜制，所有可能值为2，3，
则.
则的分布列如下，
所以.
【小问2详解】
由题意，采用“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜，
则；
在甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利，
设甲赢的局数为，那么服从二项分布，即，
则，
所以.
【小问3详解】
设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则，
“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为：
若第2局甲输，则后续最多局比赛，甲至少胜局，
若第2局甲胜，则后续最多局比赛，甲至少胜局，
由全概率公式得
，
故.
19. 已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数a的取值范围；
（3）若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，再利用导数分类求出单调区间.
（2）利用导数求出函数的单调区间，再将给定不等式等价转化并分离参数，构造函数并利用导数求出最值即可.
（3）由给定等式可得，令，将表示为的函数，再利用导数求出的范围，结合函数的单调性即可求出范围.
【小问1详解】
函数中，当时，；当时，
当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，
求导得，令，解得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
函数，求导得，当时，；当时，，
函数在单调递增，在单调递减，而，
，则，
而，因此当时，恒成立，
令函数，求导得，当时，；
当时，，函数在上递减，在上递增，
，令函数，求导得，
函数在上单调递增，当时，，则，
所以a的取值范围为.
【小问3详解】
由，得，则，即，
令，则，，
令函数，求导得，
令函数，求导得，
函数在上单调递增，，
因此，函数在上单调递增，则，
由函数的单调性可知，其在上单调递减，则，
即，所以的取值范围是.X
1
2
3
P
2
3