浙江省桐浦富兴教研联盟2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．样本数据、、、、、的中位数为（ ）
A．B．C．D．
2．某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，每次正面向上得分，反面向上得分，记总得分为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
8．已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点成中心对称
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点成中心对称
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C．由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、不独立，且该推断犯错误的概率不超过
D．两组数据、、、、和、、、、的方差分别为和，则
10．设函数，则（ ）
A．是的极大值点B．在上单调递增
C．是曲线的对称中心D．曲线存在平行于x轴的切线
11．已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为
B．第二次抽到号球的概率为
C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小
D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球
三、填空题
12．若，则______.
13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.
14．无人机送物成为人工智能时代的一种流行的物流方式.现在有部不同无人机可供调用给个街区送物（如图），若每部无人机只能给个区块或者两个相邻区块进行送物，所有区块均需配送，则不同分配方案种数为______.
四、解答题
15．已知的展开式中的所有二项式系数的和为32．
(1)求n的值；
(2)求展开式中各项系数的和；
(3)求展开式中所有的有理项．
16．在一次数学模拟测试中，多项选择题部分按如下规则给分：没有四个选项全对的，全部选对的得分，部分选对得部分分（没有选错选项但没选全时，若正确答案是‌两个选项‌：只选对个得‌分‌ ；若正确答案是‌三个选项‌：只选对个得‌分‌，选对个得‌分‌ ），有选错的得分.小马同学在一次考试中做第题多选题，他已经确保、选项正确以及选项错误，对较难的选项，根据对题目的分析和感觉，预估有的可能性这个选项是正确的.因此小马同学有两种方案可供选择，方案一：选择，方案二：选择.
(1)记小马同学的得分为，试写出上述两种方案下的分布列；
(2)小马同学在这道题中做何种选择更为合理？从期望的角度作出解释．
17．为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间．
(1)将该民宿每日所获利润表示为价格的函数；
(2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？
（参考数据：，，）
18．王同学每天午餐固定在A，B两家餐厅用餐，他第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果前一天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4；如果前1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，记为小王第n天去A餐厅的概率．
(1)求、；
(2)求；
(3)记前n天午餐王同学去A餐厅的次数为X，求．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)令，解不等式；
(3)若函数在上是单调函数，求实数a的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】这组数据的中位数为.
2．B
【详解】，
所以该物体在时的瞬时速度是.
3．C
【详解】，即.
故选：C.
4．C
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
5．B
【详解】令，其中，则，
所以函数为奇函数，排除D选项，
对任意的恒成立，故函数在上为增函数，排除C选项，
当时，，则，排除A选项.
6．D
【详解】设正面向上的次数为，则，所以反面向上的次数为，
由题意可得，
由二项分布的期望和方差公式可得，，
由期望和方差的性质可得，
，ABC错，D对.
7．A
【详解】由题设，则，
增加数据后，，，且回归直线为，
所以，则，
所以，有，故残差的绝对值为.
故选：A
8．D
【详解】由正态分布的性质可知，单调递增，所以没有对称轴，
因为正态分布密度曲线的对称轴是，
所以，
即，所以函数的图象关于点对称，
故ABC错误，D正确．
9．ABC
【详解】对于A选项，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好，A对；
对于B选项，若一组样本数据的对应样本点都在直线上，
则这组样本数据的相关系数为，B对；
对于C选项，由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，
依据的独立性检验，
可判断、不独立，且该推断犯错误的概率不超过，C对；
对于D选项，数据、、、、的平均数为，
得到，
数据、、、、的平均数为，
得到，所以，D错.
10．ACD
【详解】，，
令，解得或，
时，，单调递增；
，，单调递减；
时，，单调递增；
则是的极大值点，故A正确；
在上单调递减，故B错误；
，
则是曲线的对称中心，故C正确；
，，
斜率为零的切线有或，平行于x轴的切线有和，故D正确；
11．AC
【详解】记第一次取得号球为事件，则，
对于A选项，若第一次抽到号球，则接下来将号球放入号盒子，
此时号盒子中共有个球，其中有个号球，
故在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为，A对；
对于B选项，记第二次取到号球为事件，
由题意可得，，
由全概率公式可得
，B错；
对于C选项，由条件概率公式可得，
，
，
所以，
故如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小，C对；
对于D选项，假设可以达到目标状态，要使1号盒子内的球全部为1号球，需要将原在1号盒子的2号、3号球移出，并从2号、3号盒子移入1号球；
当1号盒子内的球全部变为1号球后，若下一次操作是从1号盒子抽球，则必抽到1号球，该球被放回1号盒子，之后的操作将永远在1号盒子内进行，无法再改变2号和3号盒子的状态；
此时若2号或3号盒子尚未达到目标状态，则永远无法达到；因此，不可能使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球，选项D错误.
12．
【详解】因为，则，所以.
13．
【详解】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为，
所求切线方程为，即，
设直线与曲线切于点，
对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为，
且点在直线上，所以有，解得.
14．
【详解】分以下几种情况讨论：
（1）若有部无人机只负责配送区域，则其余部无人机分别负责个区域，
则剩余部无人机分别负责区域与区域、区域与区域、区域与区域，
或区域与区域、区域与区域、区域与区域，
或区域与区域、区域与区域、区域与区域，
此时不同的分配方案种数为种；
（2）若有部无人机负责配送区域与区域，则剩余部无人机有部负责个区域，有部无人机只负责个区域，
则剩余部无人机分别负责区域、区域与区域、区域与区域，
或区域、区域与区域、区域与区域，
或区域、区域与区域、区域与区域，
此时不同的分配方案种数为种.
综上所述，不同的分配方案种数为种.
15．(1)5
(2)
(3)，，
【详解】（1）由题意有，解得；
（2）时，，
则展开式中各项系数的和为；
（3）二项式展开式的通项为
，当时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为，，
．
16．(1)方案一，的分布列为
方案二，的分布列为
(2)选择更为合理
【详解】（1）方案一：选择，由题意可知的可能取值有、，
若，则选项为其中一个正确选项，则，
若，则选项为错误选项，则，
小马最终得分为随机变量的分布列为
方案二：选择，由题意可知的可能取值有、，
若，则选项为错误选项，则，
若，则选项为其中一个正确选项，则，
小马最终得分为随机变量的分布列为
（2）若小马同学选择方案一，则其得分的期望为，
若小马同学选择方案二，则其得分的期望为，
因为，因此小马在这道题中选择更为合理.
17．(1)
(2)当销售单价为（千元）时，利润最大；当销售单价为（千元）时，利润最小
【详解】（1）由题意：.
（2）因为，
设，
则，
因为，所以，所以函数在上单调递增.
又，
，又，
当时，，所以，所以在上单调递减；
当时，，所以，所以在上单调递增.
又，，
.
所以当销售单价（千元）时，利润最大；当销售单价（千元）时，利润最小．
18．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）记小王第i天去A餐厅为，第i天去B餐厅为，
则， ， ，
由全概率公式可知： ，
由对立事件可知，
同理， ，
即：，；
（2）由全概率公式可知：
，
即 ，
从而，，而，，
可知；
（3）令，则，
从而
而，
可知．
19．(1)函数在R上为增函数
(2)
(3)
【详解】（1）由得，即，
当且仅当时，即当时，，
所以函数在R上为增函数．
（2）因为，所以，
所以，则为偶函数，
令，则，
令，则，
所以函数在上为增函数，
当时，，故函数在上为增函数，
由可得，所以，即或，
解得或，故不等式的解集为.
（3）由题意可知或对任意的恒成立．
因为，
则，
令，，其中，
由题意可知或对任意的恒成立，且，
当时，，由可得；由可得，不符合题意；
当时，即当时，函数的图象开口向下，当时，，不符合题意；
当时，即当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，
①当时，即当时，函数在上为增函数，
此时，符合题意；
②当时，即当时，
只需，
令，其中，则，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
可知对任意的，，
由可得，即.