新高考数学一轮复习高频考点讲与练第1章第03讲 基本不等式（知识点+真题+ 5大高频考点+1类典型易错） ( 精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点讲与练第1章第03讲 基本不等式（知识点+真题+ 5大高频考点+1类典型易错） ( 精讲）（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了基本不等式，两个重要的不等式，利用基本不等式求最值，常用技巧等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23831" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc23831 \h 1
\l "_Tc29109" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc29109 \h 2
\l "_Tc23165" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc23165 \h 2
\l "_Tc26737" 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 PAGEREF _Tc26737 \h 2
\l "_Tc28960" 高频考点二：利用基本不等式比较大小 PAGEREF _Tc28960 \h 3
\l "_Tc23838" 高频考点三：利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc23838 \h 4
\l "_Tc28142" 角度1：利用基本不等式求积最大值 PAGEREF _Tc28142 \h 4
\l "_Tc18515" 角度2：利用基本不等式求和最小值 PAGEREF _Tc18515 \h 4
\l "_Tc12566" 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 PAGEREF _Tc12566 \h 5
\l "_Tc29607" 角度4：“1”的妙用求最值 PAGEREF _Tc29607 \h 6
\l "_Tc18258" 角度5：条件等式求最值 PAGEREF _Tc18258 \h 7
\l "_Tc1132" 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 PAGEREF _Tc1132 \h 7
\l "_Tc17986" 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 PAGEREF _Tc17986 \h 8
\l "_Tc28934" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc28934 \h 10
第一部分：基础知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：基本不等式的内容及辨析
典型例题
例题1．（多选）（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）下列有关说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当，时，恒成立
C．当时，
D．当时，的最小值为
友情提醒：使用基本不等式时需注意①一正②二定③三相等；特别是“一正，三相等”很容易被忽略而造成错解，如本题A选项，当时，不满足“一正”这个前提；再如D选项，当且仅当，即等号成立，而。
例题2．（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．函数的最小值为2
C．函数的最小值为6
D．若，则的最大值为4
精练高频考点
1．（多选）（24-25高三上·安徽·期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高三上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是B．函数的最小值是2
C．函数的最小值是6D．若，则的最小值是8
高频考点二：利用基本不等式比较大小
典型例题
例题1．（多选）（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（多选）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若正数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（24-25高三上·陕西榆林·期中）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
高频考点三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求积最大值
典型例题
例题1．（24-25高三下·云南玉溪·开学考试）已知，，且，则的最大值为 ．
例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．1C．4D．16
2．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，，若，则的最大值为 .
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例题
例题1．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）若则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．6
精练高频考点
1．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．1
2．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 ．
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值
典型例题
例题1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）利用基本不等式求以下最值：
求在时的最小值．
例题2．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）的最大值为 .
方法总结：形如：或者解题时可以优先考虑换元法，换元时将低次式换元；令再带入二次式中，通过换元化繁为简。
精练高频考点
1．（24-25高三上·广东江门·期末）若，则的最小值是 .
2．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ．
3．（24-25高三上·全国·课后作业）求下列函数的最值．
已知，求的最小值．
4．（24-25高三上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值；
角度4：“1”的妙用求最值
典型例题
例题1．（2025届安徽省皖江名校高三下学期5月联考数学试题）若，则的最小值是 ．
例题2．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ．
精练高频考点
1．（24-25高三下·湖南长沙·期中）已知，且，则的最小值是 ．
2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 .
3．（24-25高三下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为
角度5：条件等式求最值
典型例题
例题1．（24-25高三上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．15B．18C．24D．36
例题2．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．1
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值是 ．
2．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
高频考点四：基本不等式的恒成立问题
典型例题
例题1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（23-24高三上·天津南开·期中）已知，若不等式恒成立，则的最大值是 .
精练高频考点
1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
3．（24-25高三上·四川成都·期中）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题
典型例题
例题1．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足.
该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数）
例题2．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
精练高频考点
1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25米B．0.5米C．0.75米D．1米
2．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200gB．大于200gC．小于200gD．以上都有可能
3．（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）．
第四部分：典型易错题型
备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等”
1．（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（24-25高三上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（ ）
A．函数的最小值为2B．函数的最小值为3
C．函数的最大值为1D．函数的最小值为2