2026年上海市中考数学真题（word试卷+答案解析）

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（考试时间100分钟，满分150分）
（试卷共5页，答题纸共2页）
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列选项中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称．
解：选项A，是分数，属于有理数，
选项B，是整数，属于有理数，
选项C，是无限不循环小数，是无理数，
选项D，，是整数，属于有理数．
2. 下列选项中，与是同类项的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可．
解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
B、符合同类项的定义，故选项符合题意；
C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意．
3. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断．
解：对于一元二次方程，判别式为．
选项A：方程为，，
，方程有两个不相等的实数根．
选项B：方程为，，
，方程有两个不相等的实数根．
选项C：方程为，，
，方程有两个不相等的实数根．
选项D：方程为，，
，方程没有实数根．
4. 已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（ ）分钟．
A. 50，50B. 45，60C. 50，60D. 55，60
【答案】C
【解析】
根据平均数的定义，先求出7天需要的总运动时间，再减去前5天的总运动时间，得到周六周日的总运动时间，对比选项得到结果．
解：∵7天平均运动时间为40分钟，
∴7天总运动时间为分钟，
∵周一到周五的总运动时间为分钟，
∴周六和周日的总运动时间为分钟，
对比各选项，只有C选项中，符合题意．
5. 已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ）
A. 内含B. 相交C. 相切D. 相离
【答案】A
【解析】
本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含．
解：设的半径，的半径，两圆圆心距，
，
，
与的位置关系是内含．
6. 如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值；
下列说法中，正确的是( )
A. ①、②均正确B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确D. ①、②均错误
【答案】B
【解析】
设，则，根据题意以及正方形的性质分别求得，，进而求得四边形、的周长，即可求解．
解：依题意，，设，则，
是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，则
同理可得，，
∴四边形的周长
四边形的周长
故①正确，②错误
二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分）
【请将结果直接填入答题纸相应的空格内】
7. 计算的结果为________．
【答案】
【解析】
根据幂的乘方运算法则计算即可．
解：．
8. 在1，，，4，5这5个数中选一个数，选出的数是正数的概率为________．
【答案】
【解析】
先确定所有等可能的结果总数，再找出选出的数为正数的结果数，再根据概率公式计算即可．
解：根据题意，总共有个数，所有等可能的结果总数，其中正数为，，，满足条件的结果数．
根据概率公式，可得选出的数是正数的概率为．
9. 方程 的解为________．
【答案】
【解析】
解：
∴
解得：，经检验是原方程的解．
10. 在中，，，，则的值为________．
【答案】
【解析】
先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可．
解：在中，，，，
由勾股定理得，
根据正切的定义，．
11. 在等腰三角形（）中，，则的度数为________．
【答案】或
【解析】
本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解．
已知等腰中，，且．
若是顶角，则，所以，符合；
若是底角，当是顶角时，，所以，符合；
当是顶角时，，与矛盾，故舍去．
综上，的度数为或．
12. 已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围．
解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
，
反比例函数在第一象限内，随的增大而减小，
点在该反比例函数图象上，且，
当时，，
．
13. 如图，在正六边形中，，，用、表示的结果是________．
【答案】
【解析】
根据正六边形的性质得到，再结合平行四边形法则得到，进而求出用、表示的结果．
解：如图，设正六边形的中点为，连接，，
在正六边形中，、，且、，
四边形是平行四边形，
根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：，
．
14. 某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示）
【答案】
【解析】
用年进出口集装箱数量减去年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即可解答．
解：根据题意列算式计算得：．
15. 某区抽查300名学生每周做家务的次数，如图所示，据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于5次的有________人．
【答案】
【解析】
解：由题意知，300名学生每周做家务次数大于5次的有（人），
在300名学生中，每周做家务次数大于5次的学生占比为，
据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于5次的有（人），
16. 如图，梯形中，，是梯形的中位线，点是边上一点，联结、分别交于点、，若，，则梯形的面积为________．
【答案】
【解析】
设梯形的高为，用表示出的长度，利用三角形面积公式求出与的乘积，最后代入梯形面积公式计算即可求解．
解：设梯形的高为
是梯形的中位线
，，与之间的距离为
在中，为中点，
同理可得
梯形的面积为．
17. 如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________．
【答案】或
【解析】
根据等边三角形的性质得出，，结合求出，利用旋转的性质得到，，判定为等边三角形，从而得出，最后在中求出与的数量关系即可求解．
解：是等边三角形，是的中点，
，，，
，
在（设交于点）中，
由旋转的性质可知，
，，
在中，，，
是等边三角形
，
在中，，
，
．
三、解答题（本大题共7小题，满分82分）
【请在答题纸相应位置写下相应步骤】
18. 计算：
【答案】
【解析】
本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识． 先分别化简每一项，再合并同类二次根式即可得到结果．
解：原式

．
19. 解方程组：．
【答案】，
【解析】
本题使用代入消元法求解，先将一次方程变形，用含的代数式表示，再代入二次方程得到一元二次方程，求解后再回代求的值．
解：
由②得
把③代入①得
整理得
因式分解得
解得，
把代入③得
把代入③得
∴原方程组的解是，．
20. 如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全．
（1）当米时，至少需要小于多少米？
（2）若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示）
【答案】（1）至少需要小于米
（2）
【解析】
（1）将代入中，解得，即可求解；
（2）过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，，在中，，，得到，，即可求解．
【小问1详解】
解：由题可知，当米时，，解得，
∴至少需要小于米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，，
在中，，，
∴，，
∴．
21. 某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，时第一位游客站上扶梯，时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为秒．
（1）设登上观景台的游客数为，时间为（从开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出关于的函数解析式；（不用写定义域）
表1
（2）①请你求出从整，一共有几位游客到达观景台；
②请你求出，一共有几位游客到达观景台．
【答案】（1）表格依次填入，；关于的函数解析式为
（2）①位；②位
【解析】
本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游客到达间隔推出表格数据，再推导得到关于的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时的范围，结合为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解．
【小问1详解】
解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51秒．
所以当时，．
每位游客到达间隔为秒，
当时，．
∵位游客，第一位用时51秒，剩余位每位间隔秒，
∴
【小问2详解】
解：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时秒．
令
解得为正整数，因此最大．
答：一共有位游客到达观景台．
②从8点10分0秒整到8点14分0秒整，总计时秒．
令
解得为正整数，
因此到8点14分0秒整最多有位游客到达．
该时间段游客数为．
答：一共有位游客到达观景台．
22. 如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且．
（1）如果，求证：；
（2）如果的角平分线交、于点、，求证：．
【答案】（1）证明：四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，即
故．
（2）证明：据（1）可知，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【解析】
（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出；
（2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式，用代换，变形得到乘积等式．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
23. 对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”．
（1）已知函数，求该函数的“派生直线”解析式；
（2）已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上．
【答案】（1）
（2），点在抛物线上
【解析】
（1）用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上．
【小问1详解】
解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为，
将向右平移1个单位得到，
的横坐标为，
根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即，
设派生直线解析式为，
代入得．
因此该函数的派生直线解析式为．
【小问2详解】
解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为，
将代入得，
解得，因此，
根据定义，横坐标为，因此横坐标为，
将代入得.
因此，
将代入得
，即，
将代入得，即，
∴，，
，
由定义，抛物线对称轴为，
纵坐标为，得
，
设抛物线解析式为，
∵在抛物线上，代入得，
解得，
∵抛物线解析式为，
∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等，
因此点在抛物线上．
24. 在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且．
（1）如图1，连接；
①求证：；
②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长；
（2）如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值．
【答案】（1）①证明：如图，作于，于，连接，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②；
（2）
【解析】
（1）①作于，于，连接，利用垂径定理结合，得出，证明，得出，再证明，即可求证；
②先证明，得出，可得，则，即可得出，，再求出，即可求解；
（2）证明，得出，设，，可得，，求出，连接，交于点，由（1）可得，，得出，证明为的重心，得出，设，在和中，利用勾股定理列式求出，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：①略；
②∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点，
由（1）①中可得（图1），
又∵（①已证），
∴，
∴，
又∵（①已证），
∴，
∴，
∵为边的中点，为边的中点，
∴为的重心，
∴，
设，则，
∵在和中，，
∴，
化简得（负值舍），
∴，
∴．