新高考数学一轮复习核心考点练习第10章§10.2二项式定理（2份，原卷版+解析版）

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【知识梳理】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)增减性与最大值：
①当kn＋12时，Cnk随k的增加而减小.
②当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cnn−12与Cnn＋12相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n.
【名师点拨】
(a＋b)n的展开式形式上的特点：
(1)项数为n＋1；
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；
(4)二项式系数从Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项.( )
(2)二项展开式中，二项式系数最大的项为中间一项.( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( )
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )
2.2x−13x8的展开式中的常数项为( )
A.112B.56
C.－56D.－112
3.若x＋3x2n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n等于( )
A.9B.10
C.11D.12
4.在二项式x2−2xn的展开式中二项式系数之和是32，则展开式中各项系数的和为 .
【必练核心题型】
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
【典例】1.(多选)关于x2−2x9的展开式中，下列结论错误的有( )
A.展开式中含1x3项的系数为－128
B.第5项和第6项的二项式系数相等
C.展开式中的常数项是第7项
D.展开式中的有理项共三项
【典例】2.已知二项式ax＋13x9(a>0)的展开式中x2项的系数为84，则a的值为( )
A.1B.14
C.2D.12
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题
【典例】1.(2x3－2)1x−28的展开式的常数项为( )
A.－288B.－312
C.480D.736
【典例】2.已知(ax－1)(2x＋1)6的展开式中x5的系数为48，则实数a等于( )
A.2B.1
C.－1D.－2
【变式训练】
变式1.(多选)已知x2−1xn的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是( )
A.n＝10
B.展开式中的常数项为45
C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
变式2.若x＋mxx−1x5的展开式中常数项是20，则m等于( )
A.－2B.－3
C.2D.3
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
【典例】1.(多选)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是( )
A.n＝8
B.a0＝1
C.a3＝－160
D.|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝36－1
【典例】2.(多选)已知(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024＋a2 025x2 025，则( )
A.展开式中二项式系数和为1
B.展开式中所有项的系数和为－1
C.a12＋a222＋a323＋…＋a2 02422 024＋a2 02522 025＝－1
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＋2 025a2 025＝－4 050
命题点2 系数与二项式系数的最值
【典例】1.(多选)关于2x−1x6的展开式，下列结论正确的是( )
A.二项式系数和为64
B.所有项的系数之和为2
C.第三项的二项式系数最大
D.系数的最大值为240
【变式训练】
变式1.(多选)(2025·临沂模拟)在1x−2x4的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项是24
B.所有项的系数的和为1
C.第3项的二项式系数最大
D.第4项的系数最大
变式2.(多选)已知(2x－5)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a9(x－2)9，则下列结论成立的是( )
A.a0＋a1＋…＋a9＝1
B.28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＝256
C.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝39
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18
题型三 二项式定理的综合应用
【典例】1.设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于( )
A.0B.1
C.11D.12
【典例】2.用二项式定理估算1.0110＝ .(精确到0.001)
【变式训练】(多选)下列说法正确的是( )
A.若(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝729
B.若3n＋3n－1Cn1＋3n－2Cn2＋…＋Cnn＝218，则Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝512
精确到0.01的近似值为0.85
D.22 024除以15的余数为3
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.二项式x−2x5的展开式中1x的系数是( )
A.－80B.80
C.－10D.10
2.若实数a＝2－2，则a12－2C121a11＋22C122a10－…＋212等于( )
A.－32B.32
C.－64D.64
3.(x－2y)(2x－y)5的展开式中的x3y3的系数为( )
A.－200B.－120
C.120D.200
4.(x2−x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.30B.－30
C.20D.－20
5.已知(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则a1＋a2＋3a322＋4a423＋5a524＋6a625＋7a726＋8a827等于( )
A.215B.216
C.217D.218
6.在x−1xn的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是( )
A.第4项B.第5项
C.第6项D.第3项
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知2x−1x2n展开式中各项二项式系数之和为128，则( )
A.n＝7
B.展开式的各项系数之和是－1
C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D.展开式中无常数项
8.已知f(x)＝(2x－m)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，若a0＋a12＋a222＋…＋a727＝128，则下列说法正确的是( )
A.m＝1
B.a3＝160
C.f(3)除以6所得余数为5
D.a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·榆林模拟)已知二项式x3＋1xn的展开式中存在常数项，则正整数n的一个可能的值为 .
10.(x＋2)(1－2x)5的展开式中x3的系数为 .(用数字作答)
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知ax2＋1xn的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1.
(1)求n和a的值；(3分)
(2)求展开式中x－4项的系数；(4分)
(3)求2x−1x2ax2＋1xn的展开式中的常数项.(6分)
12.(15分)已知x−axn(n∈N*).
(1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求n的值；(3分)
(2)当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，求a的值；(6分)
(3)当n＝6，a＝－2时，求二项式的展开式中系数最大的项.(6分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.已知(1＋x)x＋1x2n(n∈N*，nc>bB.c>b>a
C.c>a>bD.b>c>a
二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
Cnk(k＝0，1，…，n)