江苏省南师附中、天一、海安、海门2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省南师附中、天一、海安、海门2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷含解析（word版+pdf版），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 得 ,由 得 ,故 .
2. 若随机变量 ,且 ,则 的值为
A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8
【答案】A
【解析】由正态分布的对称性可知 .
3.已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 不能推出 ; 由 也不能推出任意满足 的直线 ,故为既不充分也不必要条件 .
4.若命题“ ，使得 ”是假命题，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原命题是假命题,等价于 恒成立. 当 时成立; 当 时, 需 ,得 ,故 .
5.为研究空气相对湿度 和土壤含水量 之间的关系,某课题研究小组采集了 9 组数据, 绘制散点图如图所示,并对 进行线性回归分析. 若在此图中加上点 后,再次对 进行线性回归分析, 则下列说法正确的是
A. 不具有线性相关性 B. 线性相关性变强
C. 相关系数 变小 D. 负相关
【答案】C
【解析】原散点图中各点呈正相关趋势,加入点 后偏离原来的线性趋势,线性相关性变弱,相关系数 变小.
6.某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程, 小李, 小王, 小陈三名同学, 每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有 1 人选择，则不同的选择方法种数为
A. 72 B. 36 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】三名同学所选课程数只能为 2,1,1,先选出选两门课的同学有 3 种,再从四门课中选出两门给该同学有 种,剩余两门分给另外两人有 2 种,故共有 种.
7.某平台有 10% 的文章由 AI 生成, 为识别 AI 文章, 平台使用一款 AI 检测系统. 该系统对 AI 生成文章的识别率为 90%，但对人类撰写的文章会有 5%的概率误判为 AI 生成. 现从平台上随机抽取一篇文章, 如果被该系统判定为 AI 生成, 那么这篇文章实际是 AI 生成的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】所求概率为 .
8.已知平行六面体 的底面是边长为 2 的正方形， ， . 动点 满足 ，且 平面 ，则 的最小值为
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ,则 . 由 平面 得 ,故 ,所以 ,故最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设 ,且 ,则
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】由 得 ,且 . 由 得 错误, 正确;
令 ,则 ,所以 正确;
由凸函数性质及 可知 正确.
10.已知 ,则
A.
B.
C.
D. 今天是星期二, 天后是星期三
【答案】AC
【解析】令 ,则 ,故 , A 正确;
偶次项系数和为 , B 错误；
2026, 正确;
,且 ,星期二再过 天是星期四, 错误.
11.已知函数 ， ，则下列选项正确的是
A.
B. 函数 的最小值为
C. 若 有且仅有一个实根,则
D. 若 有三个实根 ,则
【答案】ABD
【解析】 , 正确;
,当 时等号成立,故 的最小值为 正确;
可化为 或 ,其中 恒有一个正根, 在 时有两个正根,在 时有一个正根,在 时无正根,故 错误;
若有三个实根,则 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中， 的系数为________.
【答案】9
【解析】 的通项中 的指数为 ,令 无整数解; 令其为 3,得 , 系数为 -9 , 故原式中 的系数为 .
13.已知 ，则 _______.
【答案】
【解析】 ,故 .
14.某同学进行一项摸球试验, 已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球, 分别标有数字 1, 2, 3. 某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球: 若连续摸出三次奇数编号的球, 则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败. 则该同学试验成功的概率为________.
【答案】
【解析】设从无连续记录开始成功的概率为 ,已连续摸出 1 次、 2 次奇数的成功概率分别为 ,已连续摸出 1 次偶数的成功概率为 . 由题意得 ，解得 ，故试验成功的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知集合 ，集合 或 .
(1)若 ， ，求实数 的取值范围；
(2)设 ， ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围 .
【解析】 (1)已知 或 ，
若 ， 则 的所有元素都不在 中,可得不等式组: ,
解得 ,即 的取值范围为 ;
(2)若p是q的充分条件，则 ，即 的所有元素都属于 ，
因此有两种情况:
① ，此时 ，解得 ；
② ，此时 ，解得 ，
综上, 的取值范围是 或 .
16.如图，在四棱锥 中， 为棱 的中点， 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离.
【解析】(1)因为 ，所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 平面 ,所以 平面 ;
(2)如图建立坐标系,则
设平面 PBC 法向量为 ,
则取 .
平面 BCD 的法向量为
因为二面角大小 ,所以 .
所以 到平面 的距离等于 .
17.某社团调研男女同学课余运动偏好, 统计数据如下列联表:
(1)依据小概率值 的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关；
(2)从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取 10 人，再从这 10 人中随机选 6 人，设 为 6 人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求 的分布列与数学期望.
附: ,其中 .
【解析】
(1)提出零假设 : 运动偏好与性别无关.
所以有 95%的把握认为运动偏好与性别有关. 6 分
(2)按分层抽样 10 名男生中中喜爱球类有 6 人，喜爱慢跑有 4 人.
X 的可能取值为 0,2,4,6 .
所以 的分布列为
所以
18.已知函数 .
(1)当 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 在(0， )单调递增，求 的取值范围；
(3)当 ，求证: .
【解析】(1)当 时， ，
对 求导:
代入 得切线斜率: 因此切线方程为 .
(2) ，则
令 ,则 在 恒成立,
求 在 的最小值即可。
对 求导:
当 时, ,故 ;
同时 , 因此 ,
所以 在 上单调递增,
在 的最小值为 .
因此 的取值范围是: .
(3) 当 时, . 由切线不等式,当 时,
且 ，所以只需 证 ，
令 ,求导得:
因此在 上 单调递增。
又因为 ,所以存在唯一的 ,
因此 在 上单调递减,在 上单调递增.
在 处取到最小值 .
所以 在 上恒成立.
因此,当 时,不等式成立.
19.某工厂生产某种商品的成本为每件 元 ,正常售价为每件 元. 该商品的市场需求量为随机变量 (单位:万件),当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压
的商品必须降价处理,按每件 元售出 (假设降价后所有积压商品均可售出). 根据一段时间的统计,得到该商品的市场需求量 的频率分布表如下:
以该商品需求量的频率代替其概率. 设计划产量为 万件时,该商品的总利润为随机变量 (单位: 万元).
(1)求 ；
(2)当 时，求 的分布列(用含 的式子表示)；
(3)证明: ，并求计划产量 的值，使总利润的数学期望 最大.
【解析】(1) ；
(2)已知 时，成本 (万元)；
当 时:商品全部售出，收入 ，利润 ；
当 时:正常售价的收入 ，降价销售的收入 ，总收入 ， 利润
所以 ,
,
即 的分布列为:
(3)设计划产量为 万件时,正常售出的件数为 ，降价售出的件数为 ,则 的分布列为:
总利润 ,所以 ;
注意到:


所以 ;
所以 an] ,
令 ,得 ,由频率分布表可知:
时, ,
时, ,所以 时, 时, ; 即 时 取得最大值 .
喜爱球类
喜爱慢跑
合计
男生
24
16
40
女生
12
28
40
合计
36
44
80
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
X
0
2
4
6
P
(万件)
1
2
3
4
5
6
7
频率
0.01
0.02
0.04
0.07
0.10
0.12
0.13
(万件)
8
9
10
11
12
13
14
频率
0.12
0.11
0.09
0.07
0.05
0.03
0.04
7a
10a
P
0.01
0.02
0.04
0.07
0.86
1
2
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