江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图中,相关系数最大的是 ( )
【答案】A
【解析】 A 中点最接近一条直线.
2. 若向量 a=0,3,0 是直线 l 的方向向量，向量 n=2,2,1 是平面 α 的法向量，则直线 l 与平面 α 所成角的正弦值为( )
A. 223 B. 53 C. 23 D. 13
【答案】C
【解析】线面所成角的正弦值 =csa,n=a⋅na⋅n=233⋅4+4+1=23 .
3. 已知随机变量 X∼Nμ,σ2,Y∼B6,p ，且 PX≤4=12,EX=EY ，则 p= ( )
A. 13 B. 23 C. 14 D. 12
【答案】 B
【解析】根据正态分布的对称性可知 EX=4 ,而 EY=6p ,所以 p=23 .
4. x2+1x2+23 的展开式中含 x2 项的系数为( )
A. 1 B. 6 C. 15 D. 20
【答案】 C
【解析】因为 x2+1x2+23=x2+1x2+2x2+1x2+2x2+1x2+2 ,所以要想研究 x2 的系数必然是其中两个选 x2 ，一个选 1x2 或一个选 x2 ，两个选常数，故有 C32+C32⋅2⋅2=15 .
5. 某校人工智能社团有小李、小赵等 5 位同学, 他们计划对通义千间、DeepSeck、豆包这 3 种人工智能模型展开学习调研，要求:每种模型至少有 1 人负责，每人必须且只能选择 1 种模型。若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为( )
A. 144 B. 114 C. 94 D. 78
【答案】 B
【解析】要满足题意则 5 人必定分为 3/1/1 或 2/2/1 的人数分配情况,故总情况共有 C53C21C11A22+C52C32C11A22⋅A33=150 种。考虑正难则反，即两人去同一组，则 3/1/1 情况下有 3⋅A33=18 种, 2/2/1 情况下有 C32A33=18 种,故满足题意的有 150−36=114 种。
6. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中, ∠A1AB=∠A1AC=60∘,∠BAC=90∘,AB=AC=2A1A= 2,点 D 为棱 BC 的中点,点 E 为棱 AB 的中点,点 F 在棱 AC 上。若 A1D⊥EF ,则线段 AF 的长度为( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】 B
【解析】设 AF=xAC ,由已知可得 EF=AF−AE=xAC−12AB ,且 A1D=AD−AA1=12AB +12AC−AA1 ,因此由 A1D⊥EF 得 A1D⋅EF=0 ,即 12AB+12AC−AA1xAC−12AB=0 , 解得 x=12 ，所以 AF=12AC=1 .
7. 生活中常常会因为谐音闹出误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆。已知老师说 “复数”时，学生理解为“负数”的概率为 110 ；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为 120 。 假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是 “复数” 的概率为 ( )
A. 1921 B. 12 C. 120 D. 221
【答案】 D
【解析】设老师说复数的事件为 A ,学生理解为负数的事件为 B ,由已知得 PA=PA=12,P B∣A=110,PB∣A=120.PA∣B=PABPB=PABPAB+PAB,
其中 PAB=PB∣A⋅PA=120,PAB=PB∣A⋅PA=1−PB∣A⋅PA=1940 ,
所以 PA∣B=120120+1940=221 .
8. 若向量 n=A,B,C 是平面 α 的一个法向量，且平面 α 经过点 P0x0,y0,z0 ，则平面 α 的方程为 Ax−x0+By−y0+Cz−z0=0 . 已知球 M 经过点 3,4,−2 ，且与平面 2x+y−2z=2 相切，则球 M 的表面积的最小值为( )
A. 24π B. 21π C. 16π D. 12π
【答案】 C
【解析】因为球和平面相切,所以球心到平面的距离是球的半径 R ,又点 P3,4,−2 在球面上,故有 MP=R . 此时 P 到平面的距离可求得为 4 . 当直线 PM 垂直于该平面时球的半径最小,也即 2R=4 时球的表面积最小，故 4πR2=16π .
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 不选或有选错的得 0 分.
9. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查, 5 家商场的售价 x (元)和销售量 y (件)之间的数据如表所示:
用最小二乘法求得经验回归方程为 y=bx+440 ,相关系数 r=−0.9529 ,则( )
A. b=−36 B. 变量 x,y 相关性较强
C. 相对于点 9.5,100 的残差为 D. 当 x=8 时, y 的估计值为 152
【答案】 ABD
【解析】由已知得 x=9+9.5+10+10.5+115=10,y=120+100+70+60+505=80 ,所以 80=b . 10+440 ,即 b=−36 ,故 A 对;
因为 r=0.9529 接近 1,故 B 对;
x=9.5 时, y=−36⋅9.5+440=98 ,故 C 错;
x=8 时, y=−36⋅8+440=152 ,故 D 对.
10. 已知 100 只灯泡中存在 n2≤n≤92 只不合格品,从中一次任取 10 只,记取出的灯泡中不合格品的个数为 X ，恰含有 2 只不合格品的概率为 fn ，则下列说法正确的是 ( )
A. X∼B10,n100 B. f2=1110
C. 若 EX=3 ,则 n=30 D. 当 n=20 时, fn 取到最大值
【答案】 BCD
【解析】 X 满足超几何分布的特征,故 A 错; f2=C22C988C10010=1110 ,故 B 对;
因为 EX=10n100=n10 ,所以 EX=3 时 n=30 ,故 C 对;
fn−fn−1=Cn2C100−n​8C100−Cn−1C101−nC100=n−12!⋅A100−n​78!C100n93−n−n−2101−n
= n−12!⋅A100−n8!C100010202−10n,
n≤20 时, fn>fn−1 ,即 fn 递增; n≥21 时, fn7.879 ,
答:有 99.5% 的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关。
16. (本小题满分 15 分)
已知在 x3−2xn 的展开式中,第 6 项系数与第 4 项系数之比为 4:1.
(1)求 n 的值；
(2)若展开式的第 k 项是有理项，求 k 的取值集合；
(3)记展开式中所有奇数项的系数之和为 a ，偶数项的系数之和为 b ，求 a2−b2 。
【解析】(1)展开式的第 r+1 项为 Cnr−2r⋅x3n−5r2 ，所以由题意得 Cn5−26Cn3−24=4 ，解得 n=8 ；
(2)由(1)得展开式的第 r+1 项为 C8r−2r⋅x24−5r2 ，所以由题意得 24−5r2∈ℤ ，解得 r=0,2,4,6,8 ， 所以 k 的取值集合为 {1,3,5,7,9} ;
(3)由(1)得 x3−2x8 ，
所以有 a=C80−20+C82−22+C84−24+C86−26+C88−28x12 ,
b=C81−21+C83−23+C85−25+C87−27,
设 x−28=i=08aixi ,则 a=a0+a2+a4+a6+a8,b=a1+a3+a5+a7 ,
所以 x=1 时有 1=a+b,x=−1 时有 38=a−b ,即 a2−b2=38 。
17. (本小题满分 15 分)
甲、乙两人进行“跳跳棋”游戏，游戏规则如下:每人制作一个质地均匀的正四面体骰子，每面上自己写一个非负整数，每个数字代表棋子前进的步数。游戏开始后，每人掷骰子，根据底面的点数移动棋子， 直至棋子到达或超过终点格后结束游戏，以最终掷骰子次数少的获胜。已知甲的骰子上写着“1、1、 2、2”，乙的骰子上写着“0、1、2、3”，游戏开始时，棋子的起点均在第 0 格，终点均设在第 4 格。
(1)记 X 表示甲在游戏结束时的抛掷次数，求 X 的概率分布列及数学期望；
(2)求在甲掷 3 次骰子结束游戏的条件下，乙获胜的概率.
【解析】(1) X 的可能取值为 2,3,4,则 PX=2=122=14,PX=4=123=18 (注: 前 3 步都走 1 , 则第 4 步走什么都能结束游戏 ),所以 PX=3=1−122−123=58 ,
因此 X 的分布列为, X 的期望 EX=238 ;
(2)要满足题意则乙必须两步完成游戏，且其中一步必抛到 3，另一步抛到 1 或 2 或 3 均可，设此事件为 A ,则 PA=C21⋅14⋅34=616=38 .
18. (本小题满分 17 分)
如图，在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，四边形 BCFE 是矩形，平面 ACFD⊥ 平面 ABC ， ∠DAC=90∘ .
(1)证明: BE⊥ 平面 ABC ；
(2)已知二面角 A−BE−C 是 90∘,AC=AD=BE=2 ，点 B 到平面 ACE 的距离为 255 。
① 求 BC ；
②在棱 AD 上是否存在一点 M ，使得二面角 B−ME−C 的余弦值为 45 ？若存在，求出 AMAD 的值； 若不存在,说明理由。
【解析】
(1)在面 ABC 内,过点 B 作 AC 的垂线,设垂足为 H ，即有 BH⊥AC ，因为 BH⊥AC ， BH⊂ 面 ABC ,面 ACFD∩ 面 ABC=AC ,面 ACFD⊥ 面 ABC ,所以 BH⊥ 面 ACFD ,又因为 CF⊂ 面 ACFD ,所以 BH⊥CF ,因为四边形 BCFE 是矩形,所以 BE//CF,BE⊥BC ,因为 BE//CF,BH ⊥CF ,所以 BH⊥BE ,因为 BE⊥BC,BH⊥BE,BH∩BC=B,BH⊂ 面 ABC,BC⊂ 面 ABC , 所以 BE⊥ 面 ABC ;
(2)因为 BE⊥ 面 ABC ， AB⊂ 面 ABC ，所以 BE⊥AB ，又因为 BE⊥BC ，所以 ∠ABC 是二面角 A−BE−C 的平面角，即 AB⊥BC ，所以可以以 B 为原点， BE 所在直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴, BA 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,由已知得 B0,0,0,E2,0,0 ,设 A0,0,m,C 0,n,0 ,则 D2,0,m,F2,n,0 ,且由 AC=2 得 m2+n2=4 ,
① 设面 ACE 的法向量为 t=a,b,c ，则有 AC⋅t=0EC⋅t=0
即有 nb+mc=0−2a+nb=0
令 b=m ,则 c=−n,a=mn2 ,所以 t=mn2,m,−n ,
又 BE=2,0,0 ,所以点 B 到平面 ACE 的距离 d=BE⋅tt=mnm2n24+m2+n2=mnm2n24+4=255
即 mn=2 ,又因为 m2+n2=4 ,所以可解得 m=n=2 ,因此 BC=2 ;
② 设 AMAD=s∈0,1 ，则 M2s,0,2 ，即有 EM=2s−2,0,2 ，且 EC=−2,2,0 ，
设面 MEC 的法向量为 v=a′,b′,c′ ,则有 EM⋅v=0EC⋅v=0
即有 2s−1a′+2c′=0−2a′+2b′=0
令 a′=1 ,则 b′=2,c′=21−s ,即 v=1,2,21−s ,
由已知 BC=0,2,0 是面 BME 的一个法向量，所以 cs⟨v,BC⟩=v⋅BCv⋅BC=23+21−s2=45
解得 s=34 .
19. (本小题满分 17 分)
已知 n 个盒子排成一排,每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的 1 个黑球和 1 个白球,备用盒子中装有除颜色以外完全相同的 M 个黑球和 N 个白球。试验规则如下: 先从备用盒子中,随机摸出一球, 放入第 1 个盒子, 再从第 1 个盒子中随机摸出一球放入第 2 个盒子, 接着从第 2 个盒子中随机摸出一球放入第 3 个盒子,...,以此类推,直至从第 n 个盒子中随机摸出一球,第一轮试验结束。
(1)若 n=2,M=1,N=0 ，记第一轮试验结束时装有 1 个黑球和 1 个白球的盒子的数量为 X ，求 E X ；
(2)若 M=2N ，记从第 k 个盒子中摸出黑球的概率为 Pk ，其中 k=1,2,…,n 。
① 求 Pk ；
② 当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走，则试验结束，否则将备用盒的黑、白球数量复原，重复第一轮操作，以此类推，求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率。
【解析】(1)设 Xii=1,2 是第 i 个盒子中有一黑一白的情况的事件，
则第 1 个盒子:放入黑球后共 3 个球 (2 黑 1 白)，摸出 1 个球后剩余 2 个球:若摸出黑球(概率 23 )，剩余 1 黑 1 白; 若摸出白球 (概率 13 )，剩余 2 黑，即 PX1=23 ，所以 EX1=23 ；
第 2 个盒子:放入的球来自第 1 个盒子(黑概率 23 ，白概率 13 )，剩余 1 黑 1 白的条件是放入的球与摸出的球同色: 放入黑球时,盒子变为 2 黑 1 白,摸出黑球的概率为 23 ; 放入白球时,盒子变为 1 黑 2 白,摸出白球的概率为 13 ,即 PX2=23⋅23+13⋅13=59 ,所以 EX2=23 ,
因此 EX=23+23=43 ;
( 2 )① 由已知得 Pk=23Pk−1+131−Pk−1 ，即 Pk=13Pk−1+13 ，
所以有 Pk−12 =13Pk−1−12 ,解得 Pk=12+16⋅13k ;
②分析:每一轮操作中，每个盒子最终成为一黑一白的概率为 23 ，
因此经过三轮后仍是一黑一白的概率为 233=827 ，
即可以理解为三轮后剩余盒子数服从二项分布 Bn,827 ，
故只剩一个盒子的概率为 Cn1⋅827⋅1−827n−1=8n⋅19n−127n .x
9
9.5
10
10.5
11
y
120
100
70
60
50
猜测
实际
X
2→1→3
0
2→1→4
0
2→1→5
1
3→2→4
0
3→2→5
1
3→1→4
0
3→1→5
1
4→3→5
3
4→2→5
4→3→5
2
4→1→5
2
乐观
不乐观
合计
国内代表
国外代表
合计
乐观
不乐观
合计
国内代表
60
40
100
国外代表
40
60
100
合计
100
100
200
X
2
3
4
P
14
58
18