浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一下学期期末统测模拟1数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一下学期期末统测模拟1数学试卷含解析（word版+pdf版）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】或，，.
2. 若复数满足，则的虚部为
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】由，解得，所以．所以的虚部为1.
3.已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是
A．若，则B．若，则m//β
C．若，则D．若，则
【答案】B
【解析】对于A，如下图，不一定平行，故A错误；
对于B，根据面面平行的性质，由，则m//β，故B正确；
对于C，由，则或相交，故C错误；
对于D，由，则或相交，故D错误 .
4.下列命题中，错误的是
A．函数 的最大值为
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“x=1 是方程 的一个实数根”的充要条件是“ ”
D．设，，，，，都不为0，不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，则“”是“ ”的充要条件
【答案】D
【解析】对于A，由题意得，
因为xx0时，
【答案】D
【解析】由题，假设当x=x1时，，作出示意图如图所示：
则时，， 当时，，则A选项错误；
因为，，，故C选项错误，
且，
则结合图像可知，当时，恒成立，故B选项错误；
对于D选项，时，由图可知，则D选项正确.
8.若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为
A．B．C．[3，5]D．
【答案】B
【解析】由题意可得：
，
即是上的“完整函数”，所以存在，
使得成立；
即存在，使得成立；
又因为，因此，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；
所以只需保证即可，解得，
综上可知.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和B，若，，则
A．
B．若 、B相互独立，则和B至少有一个发生的概率为
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确，
对于B，，
，故B正确，
对于C，，
即，故C错误，
对于D，，
由C知，则，即，故D正确.
10.在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则
A．是函数的一条对称轴B．函数是周期为的函数
C．D．若a=2b，则
【答案】BCD
【解析】由题意得在角的终边上，且，
所以，，
则，
，所以不是函数的一条对称轴，A错误；
，
因为为周期为的函数，故B正确；
，
令，
所以，
当t=2时，取到最大值为，所以，故C正确；
因为a=2b，则，
则
，D正确.
11.已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于AC和BD，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则
A．四边形的周长为定值
B．当时，四边形为正方形
C．当时，截球所得截面的周长为
D．四棱锥的体积的最大值为
【答案】ABD
【解析】平面，平面平面，平面平面
则 AC//EF，，则
又平面，平面平面，平面平面
则 ，，则
则四边形为平行四边形.
由，可得，则，
又正四面体的棱长为3，
则，
选项A：四边形的周长为.判断正确；
选项B：当时，，，则平行四边形为菱形
又正四面体中，对棱BD⊥AC，则，
则菱形为正方形. 判断正确；
分别取BD、BC、AC的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ ，
设DN、CM交于K ，连接AK，则AK为正四面体的高
正四面体的棱长为3，其外接球的球心为,则在AK上，连接CO
，，
设球半径为R，则，
即，解之得
由，可得
同理有，则为异面直线BD、AC之间的距离
，则点K到AC的距离为，球心到AC的距离为
选项C：当时，设与交于T，则，T到AC的距离为
球心到平面的距离为
则平面截球所得截面半径为
则平面截球所得截面的周长为.判断错误；
选项D：由，
可得点A到平面的距离为，又平行四边形为矩形，
则四棱锥的体积
令，则
由得，由，得
则在单调递增，在单调递减，在时取最大值，即的最大值为223
故四棱锥的体积的最大值为223.判断正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知是方程的两个实根,，则________.
【答案】2
【解析】是方程的两个实根，，
①，②，
①+②得：，
即，也即，所以，得 .
13.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】由于，即恒成立，
故的定义域为R，
又
，
故为R上的奇函数；
而在R上单调递增，
故在R上单调递增，
又不等式对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
而，当且仅当即时取等号，
故 .
14.若、、⋯、均为正实数，则的最小值为________.
【答案】4
【解析】原式
，
当且仅当时，
即当时，等号成立，
故的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数．
(1)求fx的单调递增区间；
(2)若函数的零点为x0，求 .
【解析】（1），
令，解得，
所以fx的单调递增区间为.
（2）由（1）得，
因为函数的零点为x0，所以.
.
16.高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差s2；
(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率.
【解析】（1）由图可得，众数为，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组所占的频率分别为，0.10，0.20，，，故平均数为
（2）由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，故.
设第二组中10人的分数分别为，第三组中20人的分数分别为，则由题意可得，，即，，故
（3）由题，第二组和第五组的人数比为，故在第二组和第五组分别抽1人和3人.记第二组中的1人为，第五组中的3人分别为，则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有,,,,,共6种情况，其中这两名学生代表都来自第五组的有,,3种情况.设“从这4人中随机抽取2人作为学生代表，这两名学生代表都来自第五组”的事件为，则 .
17.如图，点分别是矩形的边上的点，AB=2,AD=3．
(1)若，求的取值范围；
(2)若是的中点，依次为边的2025等分点．求的值．
【解析】
（1）在矩形中，，
，即，
所以.
（2）取的中点，连接PE，由依次为边的2025等分点，，
得，
所以 .
18.如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将沿DE翻折到，△BEF沿EF翻折到，
(1)求证：平面平面SFD；
(2)当F是边BC的中点时，二面角的大小；
(3)若，将沿DE翻折到，△BEF沿EF翻折到，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为，求的最大值.
【解析】（1）因为四边形是正方形，为的中点，
所以，，又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）当是边的中点时，由（1）可知，，
又∵，，
由勾股定理得，故，
∴，
又∵，平面，
∴SD⊥平面，
∵平面，
∴平面平面，
故二面角的大小为90°；
（3）设在平面AEF上的射影为，连接，则为直线SE与平面所成角，
设BF=x（1