浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一下学期周末练1数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 下列说法正确的为
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
【答案】D
【解析】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；
选项B：，不一定有，故B错误；
选项C：直线与可能共线，故C错误；
选项D：若向量，共线，则与可能平行，
此时A，B，C，D四点不共线，故D正确.
2. 已知向量，下列选项正确的为
A．若，则B．若，则
C．的最小值为6D．若与垂直，则
【答案】D
【解析】对于A选项，若，已知，
有，即，所以，A选项错误.
对于B选项，若，根据两向量垂直的性质，.
，则.
又因为，联立方程组，解得，B选项错误.
对于C选项，先求的坐标，.
则.
展开整理得.
其最小值为.所以的最小值为，C选项错误.
对于D选项，若与垂直，则，.
因，，则.
则，D选项正确.
3.如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，又，解得 .
4.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“”三斜求积术”，即在中，角、、所对的边分别为、、，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理可得，①
由余弦定理可得，因为，则，
又因为的外接圆的半径为，则，
由①可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
5.在中，若，则的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由，得，
由余弦定理得，化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
6.已知复数满足，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，设，则,∴，∴，解得，，∴.
7.已知三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以得，
又因为，所以，进而有，
因为，所以，由正弦定理得，
又，消，可得，所以.
8.边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，由，得，
即，取BC中点G，AB中点H，连接GH，
则，即，
取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点，
此时，
所以，，
∵点P满足，M为边上的点，
∴当M与A重合时，有最大值，为，
而，
∴的最大值为，D正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数，则
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．既是周期函数又是奇函数
D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】因为，所以的图象关于直线对称，A正确；
因为，所以的图象关于点对称，B正确；
，所以C错误；
令，
，
则当时，，当时，，时，，时，由勾形函数性质知，时取等号，再由不等式的性质知，当1时，取得最大值，D正确.
10.在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则
A．B．的最大值为1
C．的最大值为D．
【答案】AC
【解析】，即，
由正弦定理可得，
，，
即，
由正弦定理可得，故A正确；
，，,
所以小于1，故B错误；
由余弦定理得，，
，其中，则可得的最大值为，故C正确；
由，联立可得，故D错误.
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是
A．若为锐角三角形，则
B．若，，则是等边三角形
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为
【答案】AB
【解析】对于A，若为锐角三角形，则，
所以，所以即，故A正确；
对于B，若，，
则，所以，
所以，所以，所以即，
所以，即是等边三角形，故B正确；
对于C，若，由正弦定理得，
即，又，
则或，即或，
所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为为钝角三角形，且，，，
所以，
所以由余弦定理得即，
整理得，解得或，
当时，，故A为钝角，满足题意；
当时，，故B为钝角，满足题意，
的面积为或.故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知，其中，，则的值为________.
【答案】0
【解析】由，得，即，解得 .
13.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，
由三线合一得到，取的中点，
因为，故，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为 .
14.在锐角三角形ABC中，已知，则的最小值为________.
【答案】
【解析】因为，由正弦定理得，从而，
则，
所以，
即有，即.
，
则
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知非零向量，满足，且，.
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)设与的夹角为，求及的值 .
【解析】（1）因为，所以，故，又，所以，
（2）因为，所以，又，所以，所以，所以；
（3）因为，所以，
因为，又，，，所以 .
16.在复平面内，复数，对应的点分别为，.
（1）求的值；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【解析】（1）复数，对应的点分别为，，
，，，
．
（2）是关于的方程的一个根
易知也为方程的一个根，
，，
， .
17.的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【解析】
（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故 .
18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求C；
(2)若D为AB的中点，且，，求的面积；
(3)若O为的内心，，求周长的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
即，即，
且，所以.
（2）因为D为AB的中点，则，
可得，即，
由（1）可得：，即，
可得，可得，
所以的面积.
（3）由题意可知：分别为的角平分线，且，
设，则，
在中，由正弦定理可得，
即，
则，
可得周长为
，
因为，则，可得，
则，
所以周长的取值范围为.
19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值.
【解析】（1）方法一：直接法
可得，
则，即，
注意到，于是，
展开可得，则，
又，.
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为，
即，
而，所以；
方法三：导数同构法
根据可知，，
设，，
则在上单调递减，，
故，结合，解得.
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性，，则，
结合，解得.
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以由正弦定理得
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为 .