新高考数学二轮复习专题巩固练习专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题巩固练习专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结（讲义）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，关于圆的切线的几个重要结论等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc190270580" 01考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc190270580 \h 2
\l "_Tc190270581" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc190270581 \h 3
\l "_Tc190270582" 03 知识梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc190270582 \h 4
\l "_Tc190270583" 04 真题研析·精准预测 PAGEREF _Tc190270583 \h 6
\l "_Tc190270584" 05 核心精讲·题型突破 PAGEREF _Tc190270584 \h 15
\l "_Tc190270585" 题型一：直线的方程 PAGEREF _Tc190270585 \h 15
\l "_Tc190270586" 题型二：圆的方程 PAGEREF _Tc190270586 \h 19
\l "_Tc190270587" 题型三：直线、圆的位置关系 PAGEREF _Tc190270587 \h 23
\l "_Tc190270588" 题型四：圆的动点与距离问题 PAGEREF _Tc190270588 \h 27
\l "_Tc190270589" 题型五：阿氏圆 PAGEREF _Tc190270589 \h 30
\l "_Tc190270590" 题型六：米勒定理与角度问题 PAGEREF _Tc190270590 \h 35
\l "_Tc190270591" 题型七：圆的数形结合 PAGEREF _Tc190270591 \h 39
\l "_Tc190270592" 重难点突破：与距离问题有关的最值 PAGEREF _Tc190270592 \h 43
直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
2．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.
故选：C
4．（2024年天津高考数学真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【解析】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【解析】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率.
故选：C.
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
题型一：直线的方程
【典例1-1】已知，，若的平分线方程为，则所在直线的一般方程为 .
【答案】
【解析】直线的斜率，其方程为，即，
由，解得，令，
依题意，的平分线为直线，
由正弦定理得，
由于，由此整理得，
则，设，则，
整理得，解得，则，，
直线的方程为，即.
故答案为：
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】如图，入射角，设折射角为，，，
则，，
所以，则，，
所以，且.
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为，整理得.
故答案为：
1、已知直线，直线，则，且(或)，.
2、点到直线(A，B不同时为零)的距离.
3、两条平行直线，(A，B不同时为零)间的距离.
【变式1-1】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径
直线截圆所得弦长，则弦心距
当过原点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，不符合题意要求；
当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为，
由，可得，此时的方程为
综上，直线的方程为.
故答案为：.
【变式1-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，则解得
所以．又点，
所以，直线的方程为，
由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为．
故答案为：.
1.过定点A的直线与圆交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满足条件的一条直线的方程 ．
【答案】或
【解析】由直线，整理可得，当时，故直线过定点，
设，则，
由在圆，则，整理可得，
联立可得，消去可得：，解得或，
当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，
当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，
故答案为：或
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设该圆的半径为，如图，
由题意知：，，，
由勾股定理得：，即，解得：，
，即圆的圆心为，则圆的方程为.
故选：A.
【典例2-2】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】由，得，可得圆心，半径．
由，得，所以，
故，即，
解得或，则或，
根据，，故四点共圆，且为直径，
所以线段的中点为或，且，
所以过，，三点的圆的方程为或．
故选：C．
1、圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为，圆心坐标：，半径：
【变式2-1】已知直线l与抛物线交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线的准线与直线l的交点，F是抛物线G的焦点，若，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得抛物线的焦点为，焦准距，
设准线与x轴交与点D，设，
设的中点为，
过点作准线的垂线，垂足为，
设，由可得，
由抛物线定义得，
由于，故，则,
则直线AB的倾斜角为，
故，即，故，
设，则，
则，故，
则，即，
又由可知直线l过抛物线焦点，
故l方程为，将代入得，
即的中点，，
故以AB为直径的圆的方程为，
故选：D
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
1.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.
故选：C.
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由知直线过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数的取值范围为.
故选：B.
【典例3-2】在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，
所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域，
画出图象如下图所示，，两圆半径都是，
设两个圆相交于两点，则，
由于，，
所以是圆的切线，是圆的切线，
同理是圆的切线，是圆的切线，
，所以四边形是正方形，
所以区域面积为.
故选：D
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数（ ）
A．B．1C．21D．31
【答案】D
【解析】的圆心为，半径为
若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则圆心到直线的距离为
解得或，
由于直线不经过第三象限，则直线与轴的交点，
故，
故选：D
【变式3-2】已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得：，所以圆心，半径，
由两圆相交于、两点可知：，
所以的面积，
因为是半径为的圆，所以，
当时，，
又，
此时由，解得，，故可以取最大值，
所以当时，最大，且是锐角，
根据函数的单调性可知：当时，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，所以，
故选：C.
1.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆，其圆心为，半径为．
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点．
因为圆心距为，所以，解得．
故选：B
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
即的取值范围是.
故选：B.
【典例4-2】已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
【答案】
【解析】设点，则，而，
则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点在圆，即圆与圆有公共点，
而圆的圆心为，半径为1，
因此，即，解得或，
所以实数a的取值的范围是.
故答案为：
解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点是圆上一点，则的范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以圆心，半径为1，
表示圆上的点到直线的距离的2倍，
因为圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为1，最大值为3，
所以的最小值为2，最大值为6，
所以的范围为，
故答案为：.
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，
则表示在圆上点到距离的平方，
而圆心到的距离为，
所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，
故的最大值为64，最小值为4；
又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，
所以的范围为.
故答案为：64，4，
1.已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】联想数量积公式，
得，
记，，则z为向量，的夹角余弦值的倍，
且由题意点B在以为圆心，1为半径的圆上，
如图所示，
若与的夹角余弦值要取得最小值，
则与的夹角需取得最大值，
由图像可知，当时，与的夹角最大，
代入上式可得，此时．
故答案为：1.
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】设，不妨取，使得，
则，
整理得，
此方程与相同，
所以有，解得，
所以，
所以，当且仅当在线段上时，取等号.
因为，所以在圆内；
，所以在圆外；
所以线段与圆必有交点（记为），
当重合时，，为其最小值，
故选：C.
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .
【答案】
【解析】设，则，
整理得（或）.
设，则，
故
.
令，则=.
故答案为：；
.
【变式5-2】已知实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以
，
则，
相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图，
因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求，
所以所求最小值为.
故答案为：.
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【答案】 或（）
【解析】设，由得，
化简得，
抛物线的焦点为，，
，
，
易知当四点共线时，取得最小值为，
所以的最小值是．
故答案为：；．
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点在圆：上，点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．点到直线的距离小于6B．点到直线的距离大于2
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】，，所以线段的中点为，，所以线段的垂直平分线为，即，因为圆：，圆心，半径，
又点恰在直线上，所以点到直线的距离最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由正弦定理可知，当的外接圆与圆相内切时，最小，此时最大，此时恰在与的一个交点上，由解得或，所以，所以，，所以且，当的外接圆与圆相外切时，最大，此时，故C、D正确；
故选：BCD
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点，，
所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为，，
则，解得，
又，
所以
所以的外接圆的方程是，
故选：A．
米勒定理：已知点，是的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形的外接圆与边相切于点时，最大．
【变式6-1】已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为（如图）.
由图可知，当与圆相切，且位于第一象限时最小，
此时，即，所以，
故的最小值为.
故答案为：.
【变式6-2】已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是 .
【答案】
【解析】设，则，在中，由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，
故，又，所以，故所在直线的方程为
，即.
故答案为：.
1.已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】设，则，其中.
因为，，所以.
由余弦定理得：，因为，所以.
所以.
记.
则
所以令，解得：，函数递增；令，解得：，函数递减；
所以.
故答案为：．
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由圆的圆心为，
由图知，当直线关于直线对称时，与直线垂直.
(理由：设直线切圆于点，易得平分，
又直线关于直线对称，故直线平分的邻补角，故可得)
故直线的方程为，即，
由解得：，即点的坐标为.
故选：B.
【典例7-2】已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
由直线上存在两点，使得成立，
得以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，
圆心到直线的距离，
所以.
故选：A
利用几何意义转化
【变式7-1】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直线的方程可化为，由可得，
所以，直线过定点，
直线的方程可化为，由可得，
所以，直线过定点，
对于直线、，因为，则，即，
设线段的中点为，设点，
由直角三角形的几何性质可得，
即，化简可得，
所以，点的轨迹为圆，
因为，所以，圆与圆外离，
所以，，，
因此，的取值范围是.
故选：B.
【变式7-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将圆化为标准方程为，
所以圆心为，半径为1，
根据题意及图形可知切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，
则有，整理可得，
则，
设两切线的斜率分别为、，
则、为关于的方程的两根，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，
由题意可知，所以，
由，解得．
故选：D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】由题意知直线与直线，满足，
故两直线垂直，
直线过定点，直线过定点，
故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点），
该圆方程为，设其圆心为，半径为3，
则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立，
故的最小值为，
故选：C
重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点为直线上的动点，
由，
则其几何意义为与的距离和与的距离之和，
设点，
则点关于直线的对称点为点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
【典例8-2】，，函数的最小值为 .
【答案】
【解析】设点，和直线，
，到的距离分别为，，易知，
如图，
显然.
故答案为：
利用几何意义转化
【变式8-1】已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由，得，
即，解得.
，
表示点与点的距离之和.
如图，点关于x轴的对称点为，连接，
则，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
相当于动点到的距离之和，
因为四边形为矩形，所以，
所以当为矩形对角线交点时，，
此时最小，最小为，
故答案为：.
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
直线与方程
掌握直线方程，运用数形结合解题
2024年北京卷第3题，4分
2023年I卷第6题，5分
2025年高考数学可能会涉及直线与圆的方程，包括直线方程的一般形式、圆方程的标准形式等。同时，可能会考察直线与圆的位置关系，如相交、相切、相离等，以及相关的计算和应用。
直线与圆的位置关系
理解位置关系，渗透数学思想方法
2024年甲卷（理）第12题，5分
2023年甲卷（理）第8题，5分
2023年II卷第15题，5分
2022年II卷第15题，5分
圆与圆的圆的位置关系
掌握判定方法及应用
2022年II卷第14题，5分
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0