2025-2026学年下学期辽宁沈阳二中高一数学2026年6月月考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期辽宁沈阳二中高一数学2026年6月月考试卷含答案，共6页。试卷主要包含了测试时间， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 关于下列命题正确的是（ ）
①用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台；②有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台；③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积；④有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱
A. ①④B. ②③C. ③④D. ①③
2. 已知平面向量a=(1,−2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量为（ ）
A. −35,−45B. 35,45
C. −14,−13D. 14,13
3.在复平面内，O为坐标原点，复数(1+i)3对应的点为A，复数3+4i对应的点为B，复数−1+mi对应的点为C，若AB→⊥OC→，则m的值为（ ）
A. 12B. −12
C. 32D. −32
4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ）
A.556πB.900πC.732πD.588π
5. 如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上. 一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ，则tanθ= （ ）
A. 13B. 77
C. 37777D. 24
6. 在∆ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin(A−B)=3sin2B. 若C=π3，则ab=( )
A.3或12
B.3或14
C. 14
D. 12
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑. 如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，CC1=BC=2，D，E分别为棱AA1，B1C1的中点，则下列结论正确的是( )
A. 四面体C1−ABC不是鳖臑
B. DE与平面ABC1相交
C. 若AB=3，则AB与DE所成角的余弦值为64
D. 平面DEC截该三棱柱所得截面为梯形
8. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−6b·e+8e2=0，则|a−b|的最小值是( )
A. 323−1B. 3+1
C. 323+1D. 2−3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若z1,z2∈ℂ则|z1z2|=|z1||z2|
B. 若z1,z2∈ℂ，则z1z2¯=z1¯z2¯
C. 若z1,z2∈ℂ且|z1|=|z2|，则z12=z22
D. 若|a|=|b|，则a2=b2
10. 如图，三棱锥P−OAB中，PO⊥平面OAB，AB=20，则下列条件中可使三棱锥P−OAB体积唯一确定的是（ ）
A. ∠PAO=30°，∠PBO=45°，∠AOB=60°B. AO=203，∠AOB=30°，∠PBO=45°
C. AB⊥BO，∠PAO=30°，∠PAB=45°D. AO=106，BO=20，∠PAO=45°
11. 已知圆锥的顶点为O1，底面的圆心为O2，O1O2=2，该圆锥的侧面展开图是中心角为3π的扇形，点M，N，P是底面圆周上三个不同的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 该圆锥的侧面积为83π
B. 过顶点O1的该圆锥截面面积的最大值为43
C. 当MN=23时，二面角O1−MN−O2的正切值为23
D. 若PM⊥PN且PM=PN，E为线段MP上动点，则O1E+NE的最小值为40−815
第II卷（92分）
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 函数f(x)=tan2x−π3的对称中心为 ．
13. 若在斜二测画法得到的直观图中，m，n分别是x'，y'上的单位向量，定义：若OM→=xm+yn，则点M在直观图的坐标系x'O'y'中的坐标为(x,y)．已知在直观图的坐标系x'O'y'中的点A坐标为(3,2)，则|O'A|可以是 ．
14. 在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为3，侧棱长为4，M为平面A1D1C内一动点，且满足DM→·MB→=0，则所有满足条件的点M所围成平面区域的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分） 已知函数f(x)=3sin2x+2cs2x−1．
（1） 求函数f(x)的单调递增区间及在0,π2上的值域；
（2） 若θ为锐角且f(θ)=−25，求cs2θ的值．
16.（15分） 如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，四边形 ACEF 是矩形，M 是线段 EF 的中点.
（1）求证：AM∥ 平面 BDE；
（2）若平面 ADM∩ 平面 BDE=l，平面 ABM∩ 平面 BDE=m，试分析l 与 m 的位置关系，并证明你的结论.
17.（15分） 在∆ABC中，BC→=3BE→，若AB=1，AC=2，AE→·BC→=13
（1）求∠BAC的大小；
（2）若以∆ABC为底面的直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点均在半径为3的球的球面上，求直三棱柱ABC−A1B1C1的体积.
18.（17分） 如图，在∆ABC中，∠BAC=π2，AB=3，AC=1，点E、F是线段BC上（包括端点）的动点， （E在B，F之间），∠EAF=π6不变.
（1） 若∠BAE=π6，求EF的长；
（2） 求AE→·AF→的取值范围；
（3） 求EF的最小值.
19.（17分） 如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=2AB，∠ABC=π2，侧面A1ABB1为矩形，∠A1AC=2π3，将∆A1B1C1绕A1C1翻折至A1B2C1，使得B2在平面A1ACC1内.
（1） 求证：AB⊥ 平面CBB1C1；
（2） 试判断BC1与平面A1B2B1的位置关系并说明理由；
（3） 求直线A1C与平面A1ABB1所成角的余弦值.
沈阳二中28届2025−2026学年度下学期阶段能力测试
数学试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I卷（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 关于下列命题正确的是（C）
①用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台；②有两个面平行且相似，
其他各个面都是梯形的多面体是棱台；③直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧
面的面积；④有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互
相平行的多面体是棱柱
A. ①④B. ②③C. ③④D. ①③
【解】C
对于①，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，①错误；
对于②，根据棱台的定义，棱台的侧棱延伸后必须交于同一点，故②错；
对于③，因为直三棱柱的侧面都是矩形，则侧面积为底乘高，而高相等，
由于三棱柱的底面上任意两边的和大于第三边，
所以任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积，故③正确
对于④，由棱柱定义④正确. 故选：C；
2. 已知平面向量a=(1,−2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量为（ A ）
A. −35,−45B. 35,45
C. −14,−13D. 14,13
【解】A
由题意可得|b|=9+16=5，a·b=3−8=−5，
则a在b上的投影向量a·b|b|2b=−35,−45．故选：A.
3.在复平面内，O为坐标原点，复数(1+i)2对应的点为A，复数3+4i对应的点为B，复数−1+mi
对应的点为C，若AB→⊥OC→，则m的值为（C）
A. 12B. −12
C. 32D. −32
【解】C
复数(1+i)2=2i，则A(0,2)，复数3+4i，则B(3,4)，
故AB→=OB→−OA→=(3,2)，复数−1+mi对应的点为C，则OC→=(−1,m)，
因为AB→⊥OC→，所以−3+2m=0，解得m=32。故选：C。
4. 瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘。
通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化。某瓷器
可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为
(D)
A. 556πB. 900π
C. 732πD. 588π
【解】D
由题图可知，半球和圆柱的半径为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径
为6，高为9，所以该瓷器的体积为12×43π×63+π×62×8+π3(62+22+62×22)×9=588π，
故选：D
5. 如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上。一人在公路上向
东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走
80米到点C处，测得仰角为θ，则tanθ= （C）
A. 13B. 77
C. 37777D. 24
【解】C
由O为楼脚，OP长为楼高，则OP=60，易得OA=60，OB=603。
由OA2=AB2+OB2−2AB·OBcs∠ABO，OC2=BC2+OB2−2BC·OBcs∠OBC，
又AB=BC=80，cs∠ABO+cs∠OBC=0，两式相加得OA2+OC2=2(AB2+OB2)，
所以OC2=30800，则OC=2077，故tanθ=OPOC=602077=37777。故选：C
6. 在\(\triangle ABC\)中，角\(A，B，C\)所对应的边分别为\(a，b，c\)，\(\sinC+ \sin(A−B)=3\sin 2B\)。若\(C= \frac{\pi}{3}\)，则\(\fracab=(\)A \（ ）\)
A. 3或12
B. 3或14
C. 14
D. 12
【解】A
由sinC+sin(A−B)=3sin2B得
sin(A+B)+sin(A−B)=6sinBcsB，2sinAcsB=6sinBcsB。
当csB=0时，B=π2，由于C=π3，所以A=π6，所以ab=sinAsinB=12。
当csB≠0时，sinA=3sinB，所以a=3b，ab=3。综上所述，本小题选A。
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图在堑堵\(ABC−A1B1C1\)中，\(AB \perp AC\)，\(CC1=BC=2\)，\(D\)，\(E\)分别为棱\(AA1\)，\(B1C1\)的中点，则下列结论正确的是(\(C\))
A. 四面体C1−ABC不是鳖臑
B. DE与平面ABC1相交
C. 若AB=3，则AB与DE所成角的余弦值为64
D. 平面DEC截该三棱柱所得截面为梯形
【解】C
对于A，在堑堵ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC、BC、AB⊂平面ABC，
所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，CC1⊥AB，所以∆C1AC、∆C1CB均为直角三角形，
因为AB⊥AC，所以∆ABC为直角三角形，且CC1∩AC=C，CC1、AC⊂平面ACC1，所以AB⊥平面ACC1，AC1⊂平面ACC1，所以AB⊥AC1，所以∆ABC1为直角三角形，所以四面体C1−ABC为鳖臑，故A错误；
对于B，如图，连接B1C、C1B相交于点O，所以点O为C1B的中点，连接EO、AO所以EO∥B1B，EO=12B1B，因为AD∥B1B，AD=12B1B，所以AD∥EO，AD=EO所以四边形ADEO为平行四边形，所以DE∥AO，因为DE⊄平面ABC1，AO⊂平面ABC1，所以DE∥平面ABC1，故B错误；
对于C，AB=3，由B选项知，DE∥AO，所以AB与DE所成角即AB与AO所成角∠BAC或其补角，因为CC1=BC=2，所以BO=12BC1=2，连接A1E，所以A1E=12B1C1=1，所以DE=A1E2+A1D2=2，所以AO=DE=2，在∆ABO中，由余弦定理得cs∠BAO=AO2+AB2−BO22AO×AB=2+3−22×2×3=64，故C正确；
对于D，一般四边形不是梯形。故选：C
8. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−6b·e+8=0，则|a−b|的最小值是（A）
A. 323−1B. 3+1
C. 323+1D. 2−3
【解】A
设a，b共起点，由b2−6b·e+8=0，可得(b−4e)·(b−2e)=0，所以b−4e与b−2e垂直，如图，由向量减法的几何意义可知，向量b的终点落在图中的圆上，由题意可知a的终点在图中所示的射线上，所以a−b是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求|a−b|的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故|a−b|的最小值为3sinπ3−1=323−1． 故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9．下列说法正确的是（ABD）
A．若z1,z2∈ℂ则|z1z2|=|z1||z2|
B．若z1,z2∈ℂ，z1·z2=0，则z1=0或z2=0
C．若z1,z2∈ℂ且|z1|=|z2|，则z12=z22
D．若|a|=|b|，则a2=b2
【解】ABD
10. 如图，三棱锥P−OAB中，PO⊥平面OAB，AB=20，则下列条件中可使三棱锥P−OAB体积唯一确定的是（ACD）
A．∠PAO=30°，∠PBO=45°，∠AOB=60°B．AO=203，∠AOB=30°，∠PBO=45°
C．AB⊥BO，∠PAO=30°，∠PAB=45°D．AO=106，BO=20，∠PAO=45°
【解】ACD
设PO=h，
对于A，由∠PAO=30°，∠PBO=45°可得AO=3h，BO=h，
在∆OAB中，由余弦定理得cs∠AOB=(3h)2+h2−2022×3h×h=12，解得h2=400(4+3)13，
所以h唯一确定，故三棱锥P−OAB的体积唯一确定，A正确；
对于B，在∆OAB中，由正弦定理得AOsin∠OBA=ABsin∠AOB，即203sin∠OBA=2012，
解得sin∠OBA=32，所以∠OBA=60°或120°，故B错误；
对于C，因为PO⊥平面OAB，所以PO⊥AB，又AB⊥BO，PO∩BO=O，
所以AB⊥平面POB，则AB⊥PB。设PO=h，则AB=PB=2h=20，h=102，
故三棱锥P−OAB的体积唯一确定，C正确；
对于D，由∆OAB的三边已知，故三棱锥的底面积确定，
又∠PAO=45°，所以PO=106，所以三棱锥P−OAB体积唯一确定，D正确。
故选：ACD。
11. 已知圆锥的顶点为O1，底面的圆心为O2，O1O2=2，该圆锥的侧面展开图是中心角为3π的扇形，点M，N，P是底面圆周上三个不同的动点，则下列结论正确的是（AC ）
A. 该圆锥的侧面积为83π
B. 过顶点O1的该圆锥截面面积的最大值为43
C. 当MN=23时，二面角O1−MN−O2的正切值为23
D. 若PM⊥PN且PM=PN，E为线段MP上动点，则O1E+NE的最小为40−33
【解】AC
第II卷（92分）
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 函数f(x)=tan2x−π3的对称中心为 。
【解】kπ4+π6,0(k∈Z)
令2x−π3=kπ2(k∈Z)，解得x=kπ4+π6(k∈Z)，
所以函数y=f(x)的对称中心为kπ4+π6,0(k∈Z)。故答案为：kπ4+π6,0(k∈Z)。
13. 若在斜二测画法得到的直观图中，m，n分别是x'，y'上的单位向量，定义：若OM→=xm+yn，则点M在直观图的坐标系x'O'y'中的坐标为(x,y)。已知在直观图的坐标系x'O'y'中的点A坐标为(3,2)，则|O'A→|可以是 。
【解】5（或17）任意写一个都算对。
如下图所示，根据斜二测画法得到直观图，
当坐标轴夹角为45°时，运用余弦定理可知|O'A|=32+(2)2−2×3×2cs135°=17。
当坐标轴夹角为135°时，运用余弦定理可知|O'A|=32+(2)2+2×3×2cs135°=5。
故答案为：\（5（或\（17），任意写一个都算对。
14. 在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为3，侧棱长为4，M为平面A1D1C内一动点，
且满足DM→·MB→=0，则所有满足条件的点M所围成平面区域的面积是 。
【解】15350π
四、解答题：本题共\（5\）小题，共\（77\）分。
15.（13分）已知函数f(x)=3sin2x+2cs2x−1。
（1） 求函数f(x)的单调递增区间及在[0,π2]上的值域；
（2） 若θ为锐角且f(θ)=−25，求cs2θ的值。
【解】（1）[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)，[−1,2]；（2）−62+110。
（1）依题意，函数f(x)=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)
由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)； （3分）
由0≤x，将\(∆A1B1C1 绕 A1C1 翻折至 A1B2C1
（1） 求证：AB⊥ 平面 CBB1C1
（2） 试判断 BC1 与平面 A1B2B1 的位置关系并说明理由；
（3） 求直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成角的余弦值。
【解】（1） AB⊥BC，AB⊥BB1，得 AB⊥ 面 CBB1C1。
---------（4分）
（2） BC1∥ 面 A1B2B1 ---------（5分）
连接 AC1，∠B2A1C1=∠A1C1A=60° 知 A1B2∥AC1
又 AB∥A1B1，平面 ABC1∥ 平面 A1B2B1。
因为 BC⊂ 平面 ABC1，BC1∥ 平面 A1B2B1。
（3） 设 AB=1，A1C=23，设 C 到平面 ABB1A1 的距离
BC1=3，S∆CBB1=122·2=2。
VC−A1B1B=VA1−CB1B，13·h·1=13·1·2，
h=2，\( \sin\theta= >\frac{\sqrt{6}}{6}>，\( \cs\theta= >\frac{\sqrt{30}}{6}>。
2AB，∠ABC=π2， 侧面 A1ABB1
，使得 B2 在平面 A1ACC1 内.
____________ （7分）
____________ （9分）
____________ （10分）
为h，____________ （12分）
____________ （13分）
____________ （15分）
____________ （17分）