2025-2026学年广东省广州市部分学校高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省广州市部分学校高二（下）期末数学试卷，共71页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x||x|＜3}，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B=（ ）
A. （-1，1）B. （-3，3）C. {-1，1}D. {-3，-1，1，3}
2.若z=i,则z•=（ ）
A. -2B. -C. D. 2
3.已知，则a2=（ ）
A. -10B. -40C. 10D. 40
4.函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 3是f（x）的极小值
B. f（x）的极值点有3个
C. f（x）在区间（-∞，3）上单调递减
D. 曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率小于零
5.已知数列{an}满足，，则an=（ ）
A. B. C. D.
6.已知，过点P作圆C：（x-a）2+（y-a-1）2=1（a为参数，且a∈R）的两条切线分别切圆C于点A、B，则sin∠APB的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
7.设函数f（x）=min{x2-1，x+1，-x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（ ）
A. （-1，0）B. [-2，0]
C. （-∞，-2）∪（-1，0）D. [-2，+∞）
8.已知a=，b=cs，c=4sin，则（ ）
A. c＞b＞aB. b＞a＞cC. a＞b＞cD. a＞c＞b
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则（ ）
A. 2π为f（x）的一个周期B. y=f（x）的图象关于直线对称
C. f（x+π）的一个零点为D. f（x）在区间上单调递减
10.下列命题中正确的是（ ）
A. 若回归方程为y=-0.45x+0.6，则变量y与x成负相关
B. 数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的上四分位数为17
C. 某校高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从N（170，52），随机选择一名该校高三年级的男生，则P（175＜X＜180）=0.2718（若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545）
D. 已知数据x1、x2、…、x10的平均数，方差为．设yi=2xi-1（i=1，2，…，10），数据y1、y2、…、y10的方差为，数据x1、x2、…、x10、y1、y2、…、y10的方差为，则
11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，E为棱A1B1的中点，O为侧面ADD1A1的中心.下列结论正确的是（ ）
A. OE⊥平面A1BC1
B. AB与平面A1BC1所成角的余弦值为
C. 若点P在各棱上，且到平面A1BC1的距离为，则满足条件的点P有9个
D. 若点P在侧面BCC1B1内运动，且满足|PE|=1，则存在P点，使得A1P与BC1所成角为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为 .
13.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有 种.
14.已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点.若PO=，则•的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c,，A的角平分线交BC于点D，且AD=1.
（1）求A的大小；
（2）若，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD=PA=PB=PC=PD=2.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求二面角P-BC-A的大小.
18.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px经过点A（1，2），B（x0，y0）是抛物线C上异于点A的动点，且x0≠1.
（1）求直线AB的斜率kAB（用y0表示）；
（2）设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之和为1.
①求证：直线l恒过定点Q；
②若向量，且，求△AMN的面积S的取值范围.
19.(本小题17分)
甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.设投掷n次后（n∈N*），球在乙手中的概率为Pn.
（1）求P2和P3；
（2）求数列{Pn}的通项；
（3）设，数列{bn}的前n项和为Sn，若，证明：.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】2
13.【答案】14
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
B∈（0，π），
则sinB＞0，所以，故，
A∈（0，π），
则；
（2）由题意可知S△ABD+S△ACD=S△ABC，
A的角平分线交BC于点D，
则，化简可得b+c=bc,
在△ABC中，由余弦定理得，
从而，解得bc=5或bc=-4（舍）
所以．
16.【答案】解：由题意，f（x）的定义域为（-∞，+∞），且f′（x）=ex-a．
（1）当a=1时，f′（x）=ex-1，令f′（x）=0，解得x=0，
∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（2）①当a≤0时，f′（x）=ex-a>0恒成立，
​​​​​​​f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，不合题意；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）=a-a（lna+2）=-a（1+lna），
又当x→-∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，
则1+lna＞0，可得a＞，
综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（，+∞）．
17.【答案】（1）证明：因为BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，
所以Rt△ABC≌Rt△ADC，所以AB=AD，

设AC∩BD=Q，连接PQ，则△QBC≌△QDC，
点Q为BD的中点，又PB=PD，所以PQ⊥BD，
又∠DQC=∠BQC，且∠DQC+∠BQC=180°，
所以AC⊥BD，又AC∩PQ=Q，AC，PQ⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC；
（2）解：由（1）可知，BD⊥平面PAC，BD⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面PAC，
取AC的中点为O，连接PO，则PO⊥AC，
又平面ABCD∩平面PAC=AC，PO⊂平面PAC，
所以PO⊥平面ABCD，
过点O作OH⊥BC，垂足为H，连接PH，
则PH⊥BC，所以∠PHO为二面角P-BC-A的平面角，

因为四棱锥P-ABCD的体积为：

==
=，
当且仅当，即时体积最大，
此时，
在Rt△POH中，，所以∠PHO=45°，
所以二面角P-BC-A的大小为45°．
18.【答案】 ①证明：设直线MN的方程为x=my+t，M（x1，y1），N（x2，y2）（y1，y2≠2），
因为M，N两点均在抛物线上，
所以，
联立，消去x并整理得y2-4my-4t=0，
此时Δ=（-4m）2-4（-4t）=16m2+16t＞0，
由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-4t，
所以，
即4（y2+2）+4（y1+2）=（y2+2）（y1+2），
所以2（y1+y2）-y1y2+12=0，
此时2m+t+3=0，
所以直线MN的方程为x=my-2m-3，
即x+3=m（y-2），
则直线MN过定点，该点坐标为Q（-3，2）；②（0，12]
19.【答案】解：（1）根据题目定义：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，
则甲将球传给乙，若点数不大于3，
则甲将球保留，当球在乙手中时，
若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，
若点数不大于4，则乙将球传给丙，
当球在丙手中时，若骰子点数大于3，
则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，
则丙将球传给乙．
当投掷2次骰子后，球在乙手中，共有1种情况：甲→甲→乙，其概率为，故，
当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况：
①：甲→乙→甲→乙，其概率为
②：甲→乙→丙→乙，其概率为
③：甲→甲→甲→乙，其概率为
所以投掷3次后，球在乙手中的概率为．
（2）根据题目定义：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，
则甲将球传给乙，若点数不大于3，
则甲将球保留，当球在乙手中时，
若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，
若点数不大于4，则乙将球传给丙，
当球在丙手中时，若骰子点数大于3，
则丙将球传给甲，
若骰子点数不大于3，
则丙将球传给乙．由于投掷n次骰子后球不在乙手中的概率为1-Pn，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有．
变形为．
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以．
所以数列{Pn}的通项公式．
（3）证明：，故，
故=，
所以，故，
记，其前n项和为Kn，
所以，
故，
相减可得，
故，
故，
故，
因此，得证．