2025-2026学年高一下学期数学期中模拟试卷（人教A版必修第二册）

这是一份2025-2026学年高一下学期数学期中模拟试卷（人教A版必修第二册），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在中，角的对边分别为．若，，，则角（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ）
A．13B．14C．20D．25
8．在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在中，角的对边分别为，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，面积的最大值为1
D．当为锐角三角形时，的取值范围是
10．在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ）
A．
B．当点在上运动时，三棱锥的体积为
C．
D．周长的最小值为
11．下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量在方向上投影数量为
C．数量积的几何意义为的长度与在方向上的投影数量的乘积
D．在中，，则的形状是钝角三角形
三、填空题
12．已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________．
13．如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______．

14．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．
四、解答题
15．已知向量．
(1)求的夹角余弦；
(2)若，求实数k的值；
(3)若，求实数m的值．
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)证明：是的等差中项；
(2)若为的中点，，，求的周长和面积.
17．已知的内角所对的边分别为，向量，，且．
(1)求角的值；
(2)若为锐角三角形．
（ⅰ）求角的范围；
（ⅱ）已知，求的取值范围．
18．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且=3． 过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用分别表示;
(2)如果=，=，求λ+3μ的最小值．
19．如左图所示，在中，，，.

(1)将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积；
(2)如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积.
《人教A版必修二期中模拟卷》参考答案
1．D
【分析】先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值.
【详解】由，得．
2．C
【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可.
【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线.
对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误；
对于B， 假设与共线，则存在实数，使，
所以，无解，所以假设不成立.
所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误；
对于C，因为，
所以与共线，不能作为基底，所以C正确；
对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，无解，所以假设不成立，所以与不共线，
所以能作为基底，所以D错误.
3．A
【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】当时，向量，，则，即,故充分性成立；
当时，满足,即，解得：或,所以必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件
4．D
【详解】因为，，，
所以，解得，
又因为，，所以或.
5．C
【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则，即，
所以，即，
又因为，则，即,
所以是等腰三角形.
6．A
【详解】由，
又，则，故.
7．D
【分析】根据向量的线性运算、向量数量积的运算及三角形外接圆的性质求解即可.
【详解】因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，，
所以.
取边中点，连接，则，所以.
所以
.
同理可得，.
所以.
8．D
【详解】由，得，
由，得,
所以，
，
，
由，得，
所以，又，所以．
由，得，
所以
，
由为锐角三角形，得，所以，解得，
由，得，所以．
所以，即
9．AD
【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解；
【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径，
代入条件得，由余弦定理，，
又，故，故A正确；
对于B选项，将代入，得，
由余弦定理，，故，B错误；
对于C选项，若，由基本不等式可得
的面积，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误；
对于D选项，由，
得，
由，得，又为锐角三角形，所以，
所以，所以，故.D正确.
10．ABD
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的定义可以判断A；根据平行于平面可知，点到平面距离为高，结合体积公式求解可以判断B；结合空间中两点距离公式，建立关于长度的方程即可求解C；将周长最小转化为求解最小，结合对称性求解D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
选项A：，，，故，A正确；
选项B：连接，在中，易知为中位线，则，
因为平面,平面，所以平面.
故直线到平面的距离即为三棱锥的高.
，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，即，
所以直线到平面的距离.
因为，
，
，
所以，
可得，
所以
故，B正确；
选项C：设（满足，），，
当时，有最小值为，即，C错误；
选项D：，周长最小等价于最小，
作关于平面的对称点，，
故周长最小值为，且交点在四边形内，D正确.
11．ACD
【分析】利用垂直关系的向量表示判断A；利用向量数量积的几何意义判断BC；利用平面向量数量积的定义判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，向量在方向上投影数量为，B错误；
对于C，数量积的几何意义等于的长度与在方向上的投影数量的乘积，C正确；
对于D，在中，，
则，而，因此，为钝角三角形，D正确.
12．
【分析】法一：根据已知化简分子约分得出，即可求解共轭复数；法二：应用分母实数化结合复数的乘法得出，即可求解共轭复数.
【详解】法一，所以的共轭复数为．
法二，所以的共轭复数为．
故答案为：.
13．
【分析】根据条件，利用三点共线的条件，得到，再结合条件，利用基本不等式，可得，从而可得，利用数量积的几何意义，即可求解.
【详解】因为是腰上的两个动点，则，，
所以，又，
则，得到，所以，
当且仅当，即，所以，
则，
又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且，
所以，

故答案为：.
14．
【详解】已知，，，则，
由正弦定理得，则，
，
已知，，
，故．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，求得的坐标，结合共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解；
（3）根据题意，求得，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，
可得，且，
则
所以向量的夹角余弦值为.
（2）解：由向量，可得
因为，可得，
即，解得.
（3）解：由向量，
可得，
因为，可得，
即，解得.
16．(1)证明见解析(2)周长为，面积为
【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用余弦定理求得，进而得即可证明；
（2）由题知，再结合向量数量积的运算律得，再结合余弦定理得，再解方程得，最后求周长与面积即可.
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得，
又，所以，所以，即是的等差中项.
（2）解：因为为的中点，所以，
所以，即，将代入得，
所以，①
由余弦定理可得，即，
所以，②
由①②得，
所以的周长为，面积为
17．(1)或
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）根据向量垂直的性质得到等式，再利用正弦定理将边化角，最后结合三角函数的性质，即可求出角的值；
（2）（ⅰ）根据三角形内角和定理以及锐角三角形的性质，即可求出角的范围；
（ⅱ）利用正弦定理将表示为关于角的三角函数，再结合角的范围，即可求出的范围.
【详解】（1）由题意，向量，，且，
所以，即，
由正弦定理，可得，
即，
所以，
由于，则，，
代入得：，
因为中，，所以，
则，即，又是三角形内角，所以或．
（2）（ⅰ）因为为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，解不等式得，
所以的范围为；
（ⅱ）由正弦定理（为外接圆半径），
又，，则，，，
因为，，所以，则，
化简可得
，
所以
，
又由（ⅰ）得，，所以，
又根据正切函数的图象性质，在上单调递增，
所以，即．
所以，所以，所以，
即，即.
18．(1) (2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）由=，所以，
可得；
（2）因为，，所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4．
19．(1) (2)
【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可；
（2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积．
【详解】（1）由题知：在中，，，.
可得：，.
该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体,是一个以为底面半径，为高的圆锥，
设圆锥的侧面积为：，底面积为：.
旋转体的表面积为+
（2）该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，
由图知，则，所以圆锥的底面半径，高为，
球的半径为，，所以圆锥的体积：，
球的体积：，
阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：.
故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：.
题号
1
2
3
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
C
A
D
D
AD
ABD
题号
11








答案
ACD