新高考数学二轮复习专题巩固练--6.4　数列求和（含答案解析）

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五年高考
高考新风向
(2024全国甲理,18,12分,易)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
考点 数列求和
1.(多选)(2021新高考Ⅱ,12,5分,难)设正整数n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则( )
A.ω(2n)=ω(n)
B.ω(2n+3)=ω(n)+1
C.ω(8n+5)=ω(4n+3)
D.ω(2n-1)=n
2.(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么k=1nSk= dm2.
3.(2021新高考Ⅰ,17,10分,易)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
4.(2020新高考Ⅰ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
三年模拟
练速度
1.(2024浙江杭州二模,5)设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项的和,则S7=( )
A.110 B.120 C.288 D.306
2.(2024浙江金丽衢十二校第二次联考,15)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=2an+n2-1.
(1)求an;
(2)求数列1anan+1的前n项和Tn.
3.(2024江苏南通、徐州大联考,15)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1)2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an·a2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
练思维
1.(2024广东汕头一模,15)已知数列{an}和{bn},其中bn=2an,n∈N*,数列{an+bn}的前n项和为Sn.
(1)若an=2n,求Sn;
(2)若Sn=3n,求数列{an}和{bn}的通项公式.
2.(2024山东日照一模,16)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an,Sn,an2为等差数列.
(1)求a1及{an}的通项公式;
(2)记集合anan+4an≤2k,k∈N*的元素个数为bk,求数列{bk}的前50项和.
3.(2024山东聊城二模,17)已知数列{an},{bn}满足a2n-1=b2n-1+12m,a2n=mb2n,m为常数,若{an}为等差数列,且b4-b2=2(b3-b1)=2(a1+b1)=8.
(1)求m的值及{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前2n项和S2n.
练风向
(新定义理解)(2024湖南长沙雅礼中学一模,19)约数,又称因数.它的定义如下:若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,m为a的约数.设正整数a共有k个正约数,即为a1,a2,…,ak-1,ak(a10,得an-an-1=1,(6分)
所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.(7分)
(2)原式等价于12n+4n≤k,
因为12n+4n≥2,当且仅当n=2时“=”成立,
所以b1=0,b2=1,(9分)
当k≥3时,因为2k−12+22k−1=k-12+22k−1k,
所以能使n2+2n≤k成立的n的最大值为2k-1,
所以bk=2k-1(k≥3),(13分)
所以{bk}的前50项和为0+1+5+7+…+99=0+1+(5+99)×482=2 497.(15分)
3.(2024山东聊城二模,17)已知数列{an},{bn}满足a2n-1=b2n-1+12m,a2n=mb2n,m为常数,若{an}为等差数列,且b4-b2=2(b3-b1)=2(a1+b1)=8.
(1)求m的值及{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前2n项和S2n.
解析 (1)由题意知b4-b2=8,b3-b1=4,a1+b1=4,(1分)
因为a2n-1=b2n-1+12m,a2n=mb2n,所以a1=b1+12m,a2=mb2,a3=b3+12m,a4=mb4,a1+b1=2a1−12m,(2分)
设等差数列{an}的公差为d,
则a3−a1=b3−b1=4=2d,a4−a2=m(b4−b2)=8m=2d,a1+b1=2a1−12m=4,解得d=2,m=12,b1=−1,a1=5.(5分)
所以an=5+(n-1)×2=2n+3,
所以m的值为12,{an}的通项公式为an=2n+3.(7分)
(2)由(1)知,an=2n+3,b2n-1=a2n-1-6,b2n=2a2n,(8分)
所以S2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)
=(a1+a3+a5+…+a2n-1-6n)+2(a2+a4+a6+…+a2n)
=n(a1+a2n−1)2-6n+2×n(a2+a2n)2=n(5+4n+1)2-6n+n(7+4n+3)=6n2+7n.
所以{bn}的前2n项和S2n=6n2+7n.(15分)
练风向
(新定义理解)(2024湖南长沙雅礼中学一模,19)约数,又称因数.它的定义如下:若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,m为a的约数.设正整数a共有k个正约数,即为a1,a2,…,ak-1,ak(a1