上海市浦东新区2025-2026学年高二下学期期末综合练习数学试题B（含解析）

这是一份上海市浦东新区2025-2026学年高二下学期期末综合练习数学试题B（含解析），共6页。
2．请在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅．
一、填空题（本大题满分34分）本大题共有10题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-10题每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1. 已知一个球的表面积为，则该球的半径为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用球的表面积公式，即可求出球的半径.
【详解】由题意，球的表面积为，设球的半径为，
则，解得.
故答案为：3.
2. 直线的斜率为____________.
【答案】2
【解析】
【分析】将一般式方程转化为斜截式方程可得斜率.
【详解】将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为.
故答案为：2
3. 已知空间向量，向量，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】由题设.
4. 在等比数列中，，公比，则的值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】解：，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
5. 若直线与圆相切，则实数的值为__________．
【答案】2或
【解析】
【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，化简得，即或.
6. 在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________．
【答案】
【解析】
【详解】在正方体中，平面，
则是直线与底面所成的角，
在中，，则，
即直线与底面所成角为.
7. 从2名男生和3名女生中随机选出2人参加某项活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别算出从2名男生和3名女生中随机选出2人和选出的2人中至少有1名女生的方法数，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】从2名男生和3名女生中随机选出2人有种，
选出的2人中至少有1名女生有种，
所以选出的2人中至少有1名女生的概率为.
8. 已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______．
【答案】
【解析】
【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得.
又双曲线的焦距为，，得.
又，可得.
故双曲线的方程为.
9. 已知曲线：，及有穷等差数列（，），且的公差．直线交曲线于点，若有互不相同的正整数i，j，k，l满足，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】将向量共线转化为下标关系且后，利用分子分母必须同奇同偶的限制，取最大奇数差作分子、最小正奇数差作分母即可求解.
【详解】由题意得，，
由得，，
即，即，
因为互不相同，所以，即，
若，则，与互不相同矛盾，故，
两边同时除以得，
所以，
整理得，
因为，所以，
由，得，
整理得，为了使取到最大值，
需要使尽可能大，尽可能小（且为正数），
由得，令，此时，
则，则必然一奇一偶， 因此它们的最小正差值为1，
联立，解得，
此时在范围内且互不相同，符合题意，
则.
10. 四面体中，，求的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设在平面上的投影为，问题转化为的最小值，因为平面上到三角形三顶点距离平方和最小的点是三角形重心，可得为的重心时，取得最小值，从而求解的最小值.
【详解】四面体体积公式为 ，其中是点到平面的距离，
已知，，代入得，得，
即点到平面的距离恒为 3；
设在平面上的投影为，则平面，且，
由勾股定理：，
三式相加得：
，
因为平面上到三角形三顶点距离平方和最小的点是三角形重心，
（证明如下：若是的重心，则，
对平面上任意一点，有：，
，，
，
将上述三式左右两边分别相加：
根据重心的向量性质，最后一项为，
因此 (1)
同样用向量展开三角形三边平方：
，
，
，
三式相加得：
(2)
对两边平方：
整理得：(3)
将 (3) 代入 (2)：
因此：(4)
将 (4) 代入 (1)，即得
当点P为G时，取得最小值.）
因此，当为的重心时，最小，
此时，；
因为，，设边上的高为，则得，
即点在与平行且距离为 2 的直线上，
建立空间直角坐标系： ，，设（），
则 ，
因此，
这是关于的二次函数，开口向上，最小值在时取得，
所以，
所以，
所以
二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，11-12题每题选对得3分，13-14题每题选对得4分，否则一律得零分．
11. 某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（ ）
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】B
【解析】
【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人.
12. 设，已知向量，，，若、、共面，则关于的值以下选项描述正确的是（ ）
A. 存在无数个符合题意B. 存在正整数符合题意
C. 不存在正整数符合题意D. 不存在实数符合题意
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量共面的充要条件，可设，通过坐标列方程求解即可.
【详解】因为、、共面，则存在实数，使得，
即，
所以，解得，所以存在唯一正整数符合题意.
13. 某颗卫星的运行轨道可以看作是以地球的地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，若椭圆近地点、远地点（距离地心最近、最远的一点）离地面的距离大约分别是、，则该运行轨道的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据近地点、远地点离地面距离可求得，进而得到离心率.
【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，
由题意可知：，解得：，
该运行轨道的离心率.
故选：A.
14. 已知数列{an}满足，an+1＝an+1，a1＝a，则一定存在a，使数列中（ ）
A. 存在n∈N*，有an+1an+2＜0
B. 存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0
C. 存在n∈N*，有
D. 存在n∈N*，有
【答案】C
【解析】
【分析】由函数与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），对a分类判断A，B错误；由a1＞1时，a2一定小于，则之后均小于，判断D错误；举例说明C正确.
【详解】因为an+1＝an+1，
所以在函数图象上，
因为与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），
如图所示：
可知当a1＜0时，数列递减，∴an＜0；
当0＜a1＜1时，数列递增，并且an趋向1；
当a1＞1时，数列递减，并且an趋向1，则可知A，B错误；
又当x＞1时，，
则当a1＞1时，a2一定小于，则之后均小于，∴D错误；
对于C，可取，得，，
所以，满足要求.
故选：C.
【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，数列的函数特性，还考查了推理论证的能力，属于难题.
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
15. 已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上．
（1）求数列的最小项；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出的通项公式，然后利用二次函数的性质求出最小值即可.
（2）利用求解的通项公式.
【小问1详解】
由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为
因为，所以当或时，取得最小值.
，.
故的最小项为.
【小问2详解】
当时，.
当时，.
验证时，，故通项公式为：
16. 已知直线：与直线：，.
（1）若，求m的值；
（2）若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程.
【答案】（1）或0；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值；
（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解.
【小问1详解】
由题意得：，解得：或0，
经检验，均满足要求，所以或0；
【小问2详解】
将点代入中，，解得：，
因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，
当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得，
此时直线l为；
当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得，
故此时直线l为；
综上：直线l的方程为或.
17. 已知圆经过原点和点，圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程.
【小问1详解】
因为圆心在直线上，设圆心，
由得，
化简得，解得，
故圆心，半径，
圆的标准方程为
【小问2详解】
圆心到直线的距离为，由弦长公式 ，
得，解得，
当直线斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离为，符合条件；
当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，
整理得，
由点到直线距离公式可得，解得 ，
直线的方程为；
综上直线的方程为或.
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，PD＝BC＝CD＝3，AB＝4．过点D作四棱锥P﹣ABCD的截面DEFG，分别交PA，PB，PC于点E，F，G，已知AEAP，CG．
（1）求直线CP与平面DEFG所成的角；
（2）求证：F为线段PB的中点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DEFG的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
（2）在PB上取点H，且满足BH，连接EH，HC，利用比例关系证明CDEH是平行四边形，即可证明DE∥平面PBC，由线面垂直的性质定理可证明DE∥GF，从而证明F为线段PB的中点．
【详解】（1）解：过点D作与BC平行的射线l，以l为x轴，以DC为y轴，DP为z轴，
建立如图空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，
则有D（0，0，0），A（3，﹣1，0），B（3，3，0），C（0，3，0），P（0，0，3），，G（0，2，1），
设平面DEFG的法向量为，因为，
则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝﹣2，故，
又，设直线CP与平面DEFG所成的角的大小为θ，
则
所以，即直线CP与平面DEFG所成的角的大小为；
（2）证明：在PB上取点H，且满足BH，
连接EH，HC，则EH∥AB，且EH，
因为AB∥CD，所以CD∥EH，且CD＝EH，
所以CDEH是平行四边形，
所以DE∥CH，
又因为CH⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，所以DE∥平面PBC，
因为平面DEFG∩平面PBC＝GF，所以DE∥GF，
所以GF∥CH，因为CGCP，所以HFHP，即F为线段PB中点，
所以F为线段PB的中点．
19. 学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远．
（1）P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由；
（2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）．
【答案】（1）P、Q分别在圆弧的中点，理由见解析
（2）36.8
【解析】
【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大；
（2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解.
【小问1详解】
由题意可得
，
当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大，
此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米．
【小问2详解】
如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，
则，．
根据题意可得，
则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即．
设双曲线方程为，则，
解得，
所以，即．
因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点．