新高考数学一轮复习考点讲练测第6章第04讲 数列的通项公式（十八大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第6章第04讲 数列的通项公式（十八大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了数列的前4项为，已知数列满足，，则 ，已知数列，则数列的通项为等内容，欢迎下载使用。
题型一：观察法
1．（2024·高三·河北唐山·期中）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
3．数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为（ ）
A．2nB．C．D．
题型二：叠加法
5．已知数列满足，则 .
6．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙堆上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第10个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记数列的前项和为，则 ．

7．已知数列满足，，则 ．
题型三：叠乘法
8．已知数列，则数列的通项为
9．设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=
10．（2024·四川成都·二模）在数列中，，，则数列的前项和 ．
题型四：形如an+1=pan+q型的递推式
11．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：.
12．数列满足且，则数列的通项公式是 ．
13．已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式 .
14．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
题型五：形如an+1=pan+kn+b型的递推式
15．记数列的前项和为，若，且.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和的表达式.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
题型六：形如an+1=pan+rqn型的递推式
17．已知数列满足：，且.求；
18．（2024·高三·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．
求数列的通项公式；
题型七：形如an+1=panq(p>0,an>0)型的递推式
19．设正项数列满足，，求数列的通项公式．
题型八：形如an+1=manpan+q型的递推式
20．数列中，，，则 ．
21．已知数列满足，则数列的前8项和 ．
22．已知数列，则数列的通项公式 ．
题型九：形如an+2=pan+1+qan型的递推式
23．已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求．
24．已知数列满足，，，求
题型十：形如an+1=man+tpan+q型的递推式
25．已知，，则的通项公式为 ．
26．在数列中，，且，求其通项公式．
27．已知数列满足，，则 ．
题型十一：已知通项公式an与前n项的和Sn关系求通项问题
28．已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前11项和.
29．记数列的前项和，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
30．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
31．已知在数列中，，前项和.
(1)求、；
(2)求数列的通项公式；
(3)设数列的前项和为，求.
32．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
33．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)已知，集合中元素个数为，求．
题型十二：周期数列
34．（2024·内蒙古包头·一模）已知数列的前项和为，，，，则 ．
35．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知，且（为正整数），则 .
36．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为 ．
37．（2024·河北·模拟预测）若数列满足，，则 .
题型十三：前n项积型
38．（2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）为数列的前n项积，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式．
39．已知数列的前n项之积为，且．
求数列和的通项公式；
40．已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项为，求的最小值.
题型十四：“和”型求通项
41．（2024•南明区校级月考）若数列满足，则 ．
42．（2024·青海西宁·二模）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
43．已知数列的前项和为，若，且，，则的值为( )
A．－8B．6C．－5D．4
44．数列满足：，求通项.
题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型
45．已知数列满足：，求此数列的通项公式.
46．（2024·山东·校联考模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，求的最小值．
47．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
题型十六：因式分解型求通项
48．（2024•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和．
题型十七：双数列问题
49．已知数列和满足，，，.则＝_______.
50．（2024·上海奉贤·二模）数列，满足，，.
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
51．（2024·高三·辽宁·期中）已知数列、满足，且
（1）令证明：是等差数列，是等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）求数列和的前n项和公式．
题型十八：通过递推关系求通项
52．某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程.要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择.据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用，分别表示在第次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数.
(1)若，分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数，；
(2)①证明数列是等比数列，并用n表示；
②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m的取值范围.
53．某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响．
(1)用表示，并求使数列是等比数列的实数．
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．
54．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了．预计以后每年年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．
(1)用表示与，并写出与的关系式；
(2)求证：当时，数列为等比数列，并说明的现实意义；
(3)若公司希望经过年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的近似值（取整数）．
55．某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第次播放了余下的x条．
(1)设第次播放后余下条，这里，，求与的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
56．治理垃圾是地改善环境的重要举措．去年地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的.
(1)写出地的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量，证明数列为递减数列；
(3)通过至少几年的治理，地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？
1．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，则（ ）
A．190B．210C．380D．420
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（ ）
A．8B．9C．10D．11
5．已知数列满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列C．单调递增D．单调递增
7．（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（ ）
A．530B．531C．578D．579
9．（多选题）（2024·四川内江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为.则下列正确的有（ ）
A．
B．为等比数列
C．设第次传球后球在甲手中的概率为
D．
10．（多选题）（2024·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列中的最大项为
C．D．
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列的前三项依次为的前项和，则 ．
13．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
14．（2024·上海·模拟预测）已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有 个.
15．（2024·吉林·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
17．（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
19．（2024·福建泉州·模拟预测）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、第n块，将前块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为．
①比较与的大小；
②对于无穷数列，如果存在常数，对任意的正数，总存在正整数，使得，，则称数列收敛于，也称数列的极限为，记为；反之，则称不收敛．请根据数列收敛的定义判断是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．
1．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：
（Ⅰ）是数列中的第 项；
（Ⅱ） ．（用表示）
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
6．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s0,an>0)型的递推式 PAGEREF _Tc172531683 \h 5
\l "_Tc172531684" 题型八：形如an+1=manpan+q型的递推式 PAGEREF _Tc172531684 \h 5
\l "_Tc172531685" 题型九：形如an+2=pan+1+qan型的递推式 PAGEREF _Tc172531685 \h 5
\l "_Tc172531686" 题型十：形如an+1=man+tpan+q型的递推式 PAGEREF _Tc172531686 \h 6
\l "_Tc172531687" 题型十一：已知通项公式an与前n项的和Sn关系求通项问题 PAGEREF _Tc172531687 \h 6
\l "_Tc172531688" 题型十二：周期数列 PAGEREF _Tc172531688 \h 7
\l "_Tc172531689" 题型十三：前n项积型 PAGEREF _Tc172531689 \h 8
\l "_Tc172531690" 题型十四：“和”型求通项 PAGEREF _Tc172531690 \h 8
\l "_Tc172531691" 题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型 PAGEREF _Tc172531691 \h 9
\l "_Tc172531692" 题型十六：因式分解型求通项 PAGEREF _Tc172531692 \h 10
\l "_Tc172531693" 题型十七：双数列问题 PAGEREF _Tc172531693 \h 10
\l "_Tc172531694" 题型十八：通过递推关系求通项 PAGEREF _Tc172531694 \h 11
\l "_Tc172531695" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc172531695 \h 12
\l "_Tc172531696" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc172531696 \h 16