新高考数学一轮复习考点讲练测第1章第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第1章第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了定义，从逻辑推理关系上看等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc166251764" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc166251764 \h 2
\l "_Tc166251765" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc166251765 \h 3
\l "_Tc166251766" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc166251766 \h 4
\l "_Tc166251767" 知识点1：充分条件、必要条件、充要条件 PAGEREF _Tc166251767 \h 4
\l "_Tc166251768" 知识点2：全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc166251768 \h 4
\l "_Tc166251769" 知识点3：含有一个量词的命题的否定 PAGEREF _Tc166251769 \h 5
\l "_Tc166251770" 解题方法总结 PAGEREF _Tc166251770 \h 5
\l "_Tc166251771" 题型一：充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc166251771 \h 6
\l "_Tc166251772" 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 PAGEREF _Tc166251772 \h 8
\l "_Tc166251773" 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 PAGEREF _Tc166251773 \h 10
\l "_Tc166251774" 题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 PAGEREF _Tc166251774 \h 11
\l "_Tc166251775" 题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 PAGEREF _Tc166251775 \h 13
\l "_Tc166251776" 04 真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc166251776 \h 15
\l "_Tc166251777" 05 课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc166251777 \h 17
\l "_Tc166251778" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc166251778 \h 19
\l "_Tc166251779" 易错点：混淆充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc166251779 \h 19
\l "_Tc166251780" 答题模板：充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc166251780 \h 19
知识点1：充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．
【诊断自测】（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立，
取，满足，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
知识点2：全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
【诊断自测】下列命题中的假命题是( )
A．RB．R
C．RD．R
【答案】C
【解析】因为，所以选项A、B均为真命题，选项C为假命题；
因为在R上的值域可知，所以D为真命题；
故选：C
知识点3：含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，全称量词命题的否定是存在量词命题，可得：
命题的否定为：为．
故选：C．
解题方法总结
1、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
简记：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．

题型一：充分条件与必要条件的判断
【典例1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由于，所以，
若 ，则，，故充分性成立，
若，，设，，
则存在直线使得，所以，由于，故，
同理存在直线使得，所以，由于，故，
由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，
故选：C
【典例1-2】（2024·湖南·二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】取，，满足，但是推不出，故排除A；
取，，满足，但是推不出，故排除B；
取，，满足，但是推不出，故排除D；
由，，可推出，即，即，故充分性成立.
故选：C.
【方法技巧】
1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
【变式1-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，即，
故，解得.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【变式1-2】（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，或，则，即充分性成立；
当时，，则，即必要性成立；
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
【变式1-3】（多选题）已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．r是q的充分条件B．p是q的充分条件
C．r是q的必要而不充分条件D．r是s的充分而不必要条件
【答案】AB
【解析】由已知得，，，，所以且，故A正确，C不正确；，B正确；且，D不正确．
故选:AB．
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【典例2-1】设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解不等式可得，由题意可知，，因此，.
故选：C.
【典例2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件.
【答案】②，③
【解析】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意；
②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意；
③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得；
当，需满足，，，解集为；
综上所述，实数的取值范围.
故答案为：②，③.
【方法技巧】
1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．
2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错．
【变式2-1】已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题，
时，，符合题意；
当时，，且，
则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当时，由，解得，
此时方程为符合题意；
由解得，此时，
则此时方程有两个负根，符合题意.
综上所述，为真命题时，的取值范围是.
若为真命题的一个必要不充分条件为，
则.
故答案为：
【变式2-2】已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得，，
若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，
则，且等号不能同时成立，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【变式2-3】已知命题，若是的充要条件，则 ．
【答案】-1
【解析】由题意得，，得，
设，，由是的充要条件，得，
即，得．
故答案为：-1
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例3-1】下列正确命题的个数为（ ）
①，；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，，①正确；当时，，②错误；
当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误，
所以正确命题的个数为2.
故选：B
【典例3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】对于A，因为指数函数的值域为，所以，，A对；
对于B，当时，，B对；
对于C，当时，，C错；
对于D，当时，，D对.
故选：C.
【方法技巧】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可．
【变式3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．
B．每个等腰三角形都有内切圆
C．
D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数
【答案】D
【解析】B与C均为全称量词命题，A与D均为存在量词命题，BC错误；
因为，则“”是假命题，A错误；
正整数2既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，D正确.
故选：D
【变式3-2】（2024·广东东莞·三模）已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】由图可知，且，非空，
则根据子集的定义可得：
对于，，不正确，
对于，，正确，
对于，，不正确，
对于，，不正确，
故选：．
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知集合M，N满足，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，根据集合交集的定义可知，，故C正确，
对于D，取，满足，但，不成立，D错误，
故选：C
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】对于，，
当时，对于，，则可取任意负数，如；
故答案为：.
【典例4-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若命题“，”是真命题，可得即可；
易知在上单调递增，
所以，可得；
又因为该命题是假命题，所以可得，
即实数的取值范围是.
故答案为：
【方法技巧】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题的补集即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到．
【变式4-1】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为命题“，”是真命题，
当，即时，不等式为，显然不满足题意，；
当，即时，所以，解得．
故答案为：．
【变式4-2】（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为“，使”是假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而，
得，
故答案为：
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“，，”的否定形式是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“，，”的否定形式是“，，”.
故选：C
【典例5-2】（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在B．存在
C．存在D．对任意的
【答案】C
【解析】“对任意的”的否定是：存在.
故选：C．
【方法技巧】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式5-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为命题，
则其否定为.
故选:B
【变式5-2】已知命题，则（ ）
A．，，且是真命题
B．，，且是假命题
C．，，且是假命题
D．，，且是真命题
【答案】D
【解析】由，，
则，，
由，则有，
等价于
等价于，
令，则，
则时，恒成立，
故在上单调递增，
又，
故，
即，
故原命题错误，则是真命题.
故选：D.
【变式5-3】（2024·贵州遵义·一模）已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由命题，可知，
为，，故D正确；ABC错误；
故选：D
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
1．设集合满足条件p，满足条件q.
（1）如果，那么p是q的什么条件？
（2）如果，那么p是q的什么条件？
（3）如果，那么p是q的什么条件？
试举例说明.
【解析】（1）若，则有，即每个使p成立的元素也使q成立，
即，所以p是q的充分条件.如，，
，是的充分条件.
（2）若，则有，即每个使q成立的元素也使p成立，
即，所以p是q的必要条件.如，，则，
是的必要条件.
（3）若，则，，所以p是q的充要条件.如，
是的充要条件.
2．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，有实数根，;
(3);
(4);
(5).
【解析】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,
故p是q的必要不充分条件.
(2) 一元二次方程有实数根则判别式.
故p是q的充要条件.
(3)因为,故且；当时不一定成立.
故p是q的充分不必要条件.
(4) 因为,故或,所以不一定成立；
当时一定成立.
故p是q的必要不充分条件.
(5) 当时,满足但不成立.
当时,满足但不成立.
故p是q的既不充分又不必要条件.
3．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
【解析】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是.
证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1).
显然
,即.
充分性:在中,,不是直角.
假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D.
则
.
即,与“”矛盾.
故为锐角,即为锐角三角形.
(2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是.
证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然:
.即.
充分性:在中,,
不是直角,假设为锐角,如图(1),
则
.即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.
4．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1)，一元二次方程有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3)；
(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于.
【解析】(1),一元二次方程没有实根,假命题，因为，方程恒有根；
(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题，因为任何正方形都是平行四边形；
(3)，假命题，因为时，；
(4)任意四边形ABCD,其内角和等于,真命题.
易错点：混淆充分条件与必要条件
易错分析： 对于条件p，q，如果，则是的充分条件，是的必要条件，如果，则是的充要条件．解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明．
答题模板：充分条件与必要条件的判断
1、模板解决思路
解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关系．
2、模板解决步骤
第一步：确定题中的条件和结论．
第二步：判断“”的真假．
第三步：判断“”的真假．
第四步：得出结论．
【易错题1】（2024·江西·模拟预测）“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
[解法一]
方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是,
显然“，”是“”既不充分也不必要条件，
故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
当时，满足“，”，此时题中方程可化为：,表示的曲线是圆而不是椭圆，当时，不满足“，”，只是题中方程可化为：,表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为的椭圆，
故：“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
故选：
【易错题2】（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为二次函数在区间上单调递增，
所以解得．因为只有C是其真子集，
故选：C考点要求
考题统计
考情分析
（1）必要条件、充分条件、充要条件；
（2）全称量词与存在量词；
（3）全称量词命题与存在量词命题的否定．
2024年新高考II卷第2题，5分
2023年新高考I卷第7题，5分
2023年天津卷第2题，5分
2023年全国甲卷第7题，5分
2022年天津卷第2题，5分
2021年全国甲卷第7题，5分
从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点：
（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；
（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题．
复习目标：
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有