(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第39讲《空间点、直线、平面之间的位置关系》（讲）（解析版）

第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）

思维导图

知识梳理

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．空间直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；

②范围：．

(3)定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)空间中直线与平面的位置关系

(2)空间中两个平面的位置关系

题型归纳

题型1    平面的基本性质及应用

【例1-1】（2020春•海安市校级月考）如图，空间四边形中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．

（1）求证：、、、四点共面；

（2）设与交于点，求证：、、三点共线．

【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明、、、四点共面．

（2）由，，，从而平面，平面，推导出直线．由此能证明、、三点共线．

【解答】证明：（1）中，、为、中点，．

中，，

，（平行线公理），

、、、四点共面．

（2），，，

平面，平面，

又平面平面，

直线．

、、三点共线．

【跟踪训练1-1】（2020•汕头二模）如图，在正四棱柱中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则　　

A．、、、四点共面，且 

B．、、、四点共面，且 

C．、、、四点不共面，且 

D．、、、四点不共面，且

【分析】根据，确定平面即可判断四点共面，利用勾股定理计算、得出和是否相等．

【解答】解：连接，，

是正方形的中心，直线，

又平面，平面，

又直线，平面，

又平面，平面，

、、、四点共面．

取的中点，连接，，则，，

，

取的中点，连接，，则，，

．

．

故选：．

【跟踪训练1-2】（2019秋•乐山期末）如图所示，正方体中，与截面交于点，，交于点，求证：，，三点共线．

【分析】欲证，，三点共线，只须证它们都在平面与平面的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明，，三点是平面与平面的公共点即可．

【解答】证明：如图，因为平面，且平面，

是平面与平面的公共点，又因为，所以平面，

，平面，也是平面与平面的公共点，

是平面与平面交线，

是与平面的交点，平面，平面，

也是平面与平面的公共点，

直线，即，，三点共线．

【名师指导】

1．证明点或线共面问题的2种方法

(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；

(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

2．证明点共线问题的2种方法

(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．

3．证明线共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

题型2    空间两直线位置关系的判定

【例2-1】（2020•广元模拟）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，分别为棱，的中点，则　　

A．，且直线，是共面直线 

B．，且直线，是异面直线 

C．，且直线，是异面直线 

D．，且直线，是共面直线

【分析】可连接，根据条件即可说明四边形是平行四边形，从而得出，且直线，是共面直线．

【解答】解：如图，连接，

，分别为棱，的中点，，，，

，，

，且，

四边形是平行四边形，

，且，

，是共面直线．

故选：．

【跟踪训练2-1】（2020•泸州模拟）正方体，下列命题中正确的是　　

A．与相交直线且垂直 B．与是异面直线且垂直 

C．与是相交直线且垂直 D．与是异面直线且垂直

【分析】分别求出与、与、与所成角判断、、错误；证明与垂直判断正确．

【解答】解：如图，

连接，可得△为正三角形，可得与是相交直线且成角，故错误；

，与是异面直线且成角，故错误；

与是相交直线，所成角为，其正切值为，故错误；

连接，可知，则，可知与是异面直线且垂直，故正确．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2019秋•吉林期末）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有　  　条．

【分析】由异面直线的定义可以直接得到结果．

【解答】解：正方体的共有12条棱中，

成异面直线的有：

，，，，，，共6条．

故答案为：6．

【跟踪训练2-3】（2019秋•武邑县校级期末）在图中，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有　          　．（填上所有正确答案的序号）

【分析】图（1）中，直线，图（2）中面，图（3）中，图（4）中，面．

【解答】解析：如题干图（1）中，直线；

图（2）中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；

图（3）中，连接，，因此，与共面；

图（4）中，、、共面，但面，与异面．

所以图（2）、（4）中与异面．

故答案为：（2）、（4）

【名师指导】

异面直线的判定方法

题型3    求异面直线所成的角

【例3-1】（2020春•赤峰期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为　　

A． B． C． D．

【分析】连结，，由，得到是异面直线与所成角（或所成角的补角），再求出异面直线与所成角的正切值．

【解答】解：在正方体，中，为棱的中点，

连结，，，

是异面直线与所成角（或所成角的补角），

设正方体的棱长为2，

则，，

．

则异面直线与所成角的正切值为．

故选：．

【例3-2】（2020春•让胡路区校级期末）在空间四边形中，已知，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的大小为　　

A． B． C． D．

【分析】取中点，连结、、，则，，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线与所成角．

【解答】解：取中点，连结、、，

，，，分别是，的中点，，

，，

是异面直线与所成角（或所成角的补角），

，，

，

，

异面直线与所成角为：．

故选：．

【跟踪训练3-1】（2020春•保山期末）如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【分析】取中点，连接，，可得，则异面直线与所成角为，设三棱柱各棱长为2，求解三角形得答案．

【解答】解：取中点，连接，，

，分别为棱，的中点，

，．

且，则四边形为平行四边形，则．

异面直线与所成角为，连接．

设三棱柱各棱长为2，则，．

在三角形中，由余弦定理可得，

即异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

【跟踪训练3-2】（2020春•玉林期末）在四棱锥中，平面，，四边形是边长为2的正方形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　

A． B． C． D．

【分析】取的中点，连接，．推导出，得到为异面直线与的所成角（或补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值．

【解答】解：如图，取的中点，连接，．

是的中点，所以，

则为异面直线与的所成角（或补角）．

由题意可得，，．

在中，由余弦定理可得．

异面直线与所成角的余弦值是．

故选：．

【跟踪训练3-3】（2020春•尖山区校级期末）已知三棱锥，底面，，底面是等腰直角三角形，，是的中点．求

（1）三棱锥的体积；

（2）异面直线与所成角的大小．

【分析】（1）推导出是平面的高，由此能求出三棱锥的体积．

（2）取的中点，连接，．推导出，连接，则与成角即为与成角．由此能求出异面直线与成角．

【解答】解：（1）平面，是平面的高．

，

又为等腰直角三角形，，

，

又，．

（2）取的中点，连接，．

、是中点，是中位线，

，连接，

与成角即为与成角．

在中，，，，

，异面直线与成角．

【名师指导】

用平移法求异面直线所成的角的三步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．