新高考数学一轮复习考点讲义：第08章第5讲空间向量及其应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第08章第5讲空间向量及其应用（含解析），共9页。

一 空间向量的有关概念
二 空间向量的有关定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
3．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OP,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))＋zeq \(OC,\s\up16(→)).
三 数量积及坐标运算
1．数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
2．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
四 直线的方向向量和平面的法向量
1．直线的方向向量
就是指所在的直线和这条直线平行或重合的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
2．平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．
(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的．
3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．
若l1∥l2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
若l1⊥l2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．
若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
若l⊥α，则u∥n ⇔ u＝kn ⇔ (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
(3)平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．
若α1⊥α2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
若α1∥α2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
常/用/结/论
1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是eq \(OA,\s\up16(→))＝xeq \(OB,\s\up16(→))＋yeq \(OC,\s\up16(→))(其中x＋y＝1，x，y∈R)，O为平面内任意一点．
2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是eq \(OP,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))＋zeq \(OC,\s\up16(→))(其中x＋y＋z＝1，x，y，z∈R)，O为空间任意一点．
上面两个结论很相似，我们应学习这种由平面到空间，一些命题是如何演变的. 如下面的类比：在Rt△ABC中，eq \f(1,CH2)＝eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,BC2).
在三棱锥O­ABC中：OA，OB，OC两两垂直，OH⊥平面ABC，则有eq \f(1,OH2)＝eq \f(1,OA2)＋eq \f(1,OB2)＋eq \f(1,OC2).
1．判断下列结论是否正确．
(1)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(√)
(3)若a·b