重庆市顶级名校2025-2026学年高二下学期5月期中考试试卷 数学（含解析）

这是一份重庆市顶级名校2025-2026学年高二下学期5月期中考试试卷 数学（含解析），共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
合题目要求的）
1. 函数 在 处的切线与 轴平行，则实数 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】函数 的定义域为 ， .
由题意知， ，即 ，解得 .
2. 已知变量 与变量 正相关，样本数据 中 ， ，…， 和 ， ，…， 的均值分别是 ，
，将成对数据按照 平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（ ）
A. 大部分散点位于第一、四象限 B. 大部分散点位于第二、三象限
C. 大部分散点位于第一、三象限 D. 大部分散点位于第二、四象限
【答案】C
【解析】
【详解】因为变量 与变量 正相关，
所以 ，
设 ，
所以 ，
所以变量 与变量 正相关，因此大部分散点位于第一、三象限.
3. 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则实数 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】求出 ，根据 与 的关系求出数列通项， 满足数列通项即可解得实数 ，验证满足等比数列
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即可.
【详解】当 时， ，
当 时， .
依题意， 时也应该满足 ，则 ，解得 .
当 时， ， ，满足 为等比数列，所以 .
4. 随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布概率密度曲线关于均值对称的性质计算求解.
【详解】已知随机变量 服从正态分布 ，因此其概率密度曲线关于直线 对称，
可得 .
根据概率的基本性质，总概率为 1，因此 .
5. 双曲线 （ ， ）的左右焦点分别是 ， ， 是坐标原点， ， 两个点在双曲
线上满足 ， ，则该双曲线的离心率 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件 ，可推出 为直角三角形；再根据 ，结合双曲线
定义，表示出三角形各边的长，利用勾股定理建立等量关系，即可求出离心率.
【详解】解：由题意知， ， ， ，
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由 ， 为 中点，易知 为直角三角形，即 ，
因为 ，所以设 ，则 ， ，
根据双曲线定义可知， ， ，
所以， ， ，
在 中，由勾股定理可得 ，
即 ，化简整理得 ，
因为 ，所以 .
在 中，由勾股定理可得 ，即 ，
代入 得， ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
6. 若 在 上单调递增，则实数 最大值是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 分 析 可 知 ， 恒 成 立 ， 可 知 对 任 意 的 ，
，参变量分离得 ，构造函数 ，其中 ，利
用导数求出函数 的最小值，即可得出实数 的最大值.
【详解】因为 ，则 ，
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由题意可知对任意的 ， 恒成立，
因为 ，故只需对任意的 ， ，
参变量分离可得 ，构造函数 ，其中 ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
故函数 在 上为增函数，所以 ，即当 时， ，
由 可得 ，由 可得 .
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，故 的最大值为 .
7. 学校一楼到二楼共有 15 级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件 表示“用 13 步走完 15
级台阶”，事件 表示“走楼梯的过程没有连续 2 步走两级台阶”，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设 13 步中，有 x 步走两级台阶，有 y 步走一级台阶，
则 ，解得 ，即用 13 步走完 15 级台阶，需 13 步中选 2 步走两级台阶，11 步走一级台
阶，
走法数为 ，即得 ；
事件 表示用 13 步走完 15 级台阶且没有连续 2 步走两级台阶，
即选出的走 2 级台阶的 2 步不能相邻，即 11 步走的一级台阶先排好，产生 12 个空隙，
选 2 个空隙插入走 2 级台阶的 2 步，走法数为 ，即 ，
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故 .
8. 向量 ，其中 ，且 ， ， 均为正整数，则满足条件的 的个数是（ ）
A. 84 B. 56 C. 36 D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为计算正整数不定方程 （ 取 3 到 8 的整数）的解数之和，利用隔板法求
解.
【详解】已知 均为正整数，故 ，
因此 的最小取值为 ，符合约束 ，
所以 的取值范围为 ，
对于正整数不定方程 ，根据隔板法，其正整数解的个数为 ：
当 时，解的个数为 ；
当 时，解的个数为 ；
当 时，解的个数为 ；
当 时，解的个数为 ；
当 时，解的个数为 ；
当 时，解的个数为 ；
将所有解数求和得总个数为 ，即满足条件的向量 的个数为 56.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错误选项得 0 分）
9. 变量 与变量 有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是 ，则（ ）
1 2 3 4 5
2 4 5 6 8
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A. B. 变量 与变量 负相关
C. 当 时，预测值 D. 当 时，样本点对应的残差是
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查线性回归方程的性质、相关关系判断、残差计算，核心利用回归直线必过样本中心点求
解回归系数，再逐一验证选项即可.
【详解】先计算样本中心点： ， .
经验回归直线过样本中心点 ，代入 得 ，解得 .
选项 A：由上述计算得 ，A 正确；
选项 B： ，说明变量 与 正相关，B 错误；
选项 C：当 时，代入回归方程得 ，即预测值为 11，C 正确；
选项 D：残差定义为实际值减预测值，当 时， ，对应实际 ，
故残差 ，D 正确.
10. 若 的二项展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 二项展开式中存在常数项
C. 二项系数之和与各项系数之和不相等 D. 二项展开式的第 9 项的系数最大
【答案】B
【解析】
【详解】对 A，因为 的二项展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，
所以展开式共有 项，所以 ，错误；
对 B，展开式的通项公式为 ，
令 得 ，即展开式中第 5 项为常数项，正确；
对 C，令 可得各项系数和为 ，二项式系数和为 ，错误；
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对 D，第 11 项的系数为 ，第 9 项的系数为 ，
所以第 11 项的系数大于第 9 项的系数，错误.
11. 随机变量 ， ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项分布的数学期望和方差运算公式，结合数学期望和方差的性质逐一判断即可.
【详解】因为随机变量 ， ，且 ，
所以 或 ，
当 时， ，
当 时， ，所以选项 A 不正确；
因为 ，
所以 ，所以选项 B 正确；
因为 ，
所以 ，所以选项 C 正确；
当 时， ，
因为 ，
所以 ；
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当 时， ，
因为 ，
所以 ，
综上所述： ，因此选项 D 正确.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 等差数列 的前 项和是 ，若 ，则 ______．
【答案】
42
【解析】
【分析】利用等差数列的性质求得 ，再根据等差数列的前 项和的性质求解.
【详解】因为等差数列 ， ，所以 ，故 ，解得 ，
所以 .
13. 现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学
只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量
是________．
【答案】100
【解析】
【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可.
【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有 和 两类情况，
当按照 分组时，有 种分组方法，
当按照 分组时，有 ，
所以总的分组方法有 种；
第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有 2 种方法；
第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有 种方法.
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又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有 种方法.
14. 抛物线 ： 的焦点是 ，不过原点的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，
直线 与抛物线 相交于 点，直线 与抛物线 相交于 点，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设 ，利用 得出 ，再利用
三点共线得出 ， 即可求出 ，代入计算即可.
【详解】由题意得， ，
设 ，其中 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，同理可得， ，
则 ，
故 .
四、解答题（本大题共 77 分，解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤）
15. 为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了 100 名学生，通过测验得到
了如下数据：甲校 50 名学生中有 10 名数学成绩优秀，乙校 50 名学生中有 15 名数学成绩优秀．
（1）请将 列联表补充完整；
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数学成绩
学校 合计
优秀 不优秀
甲校 10
乙校 15
合计 100
（2）依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异．
（3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的 3 名学生中恰好有两名学
生数学成绩优秀的概率．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）
数学成绩
学校 合计
优秀 不优秀
甲校 10 40 50
乙校 15 35 50
合计 25 75 100
（2）不能据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意完成列联表，
（2）结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可；
（3）利用二项分布求解即可.
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【小问 1 详解】
由已知，列联表如下：
单位：人
数学成绩
学校 合计
优秀 不优秀
甲校 10 40 50
乙校 15 35 50
合计 25 75 100
【小问 2 详解】
零假设为 ：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
.
根据小概率值 的 独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此不拒绝原假设 ，即不能认为两校学生的数学成绩优秀率有差异.
【小问 3 详解】
甲校数学成绩样本的优秀率为 ，作为甲校数学成绩总体的优秀率，
设甲校的 3 名学生中成绩优秀的人数为 ，则 ，
所求概率为 .
16. 数列 满足 ， ，且 ．
（1）证明 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式 ；
（3）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对给定递推式变形构造目标数列证明其为等比数列；
（2）利用(1)中等比数列结论构造等差数列求出通项即可；
（3）根据通项等差乘等比的结构用错位相减法求前 n 项和.
【小问 1 详解】
已知 ，
移项可得 ，
又 ， ，则 ，
因此 为常数，
故 是首项为 3，公比为 3 的等比数列.
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
两边同除以 得 ，
因此 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 ，即知 .
【小问 3 详解】
由（2）知 ，
所以 ，①
两边同乘 3 得 ，②
①-②得： ，
第 12页/共 18页
，
所以 ，
解得 .
17. 椭圆 ： （ ）的焦点分别为 ， ，上顶点是 ， 是面积为 的等边
三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 且 ，求实数 的取值
范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解；
（2）设 ，根据 得出坐标关系，代入椭圆方程中求出 ，根
据 求解.
【小问 1 详解】
由题意得， ， ， ，
得 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
设 ，
第 13页/共 18页
由 且 可知 ，
则 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，得 ，
即 ，
即 ，即 ，得 ，
因为 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 .
18. 函数 ， 存在两个不同的零点 ， （ ）（其中 是自然对数的底数）．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题干两个零点条件，可知函数的极小值需小于 0 才能满足条件，利用导数求出极小值，
列出不等关系，求解即可；
（2）根据 ， 为 两个不同的零点，建立 ， 等量关系；再根据两个不等式构造相应的两个函
第 14页/共 18页
数，利用导数研究函数的单调性，即可得出证明.
【小问 1 详解】
解：由题意知，函数 的定义域为 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
因此 最多存在一个零点，不合题意；
当 时，令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，所以 在 处取极小值，即
，
又因为 存在两个不同的零点，所以当 时，才能符合题意，
即 ，又 ，所以 ，解得 ，
因此，当 存在两个不同的零点时，实数 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
证明：由 ， 为 两个不同的零点，则 ，
即 ， ，则 ， ，
所以 ，化简得 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
因此 ，两边取对数得 ，所以 ，则 ，
所以 .
要证 ，需证 ，即 ，
令 ，则 ，
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，所以 单调递增，即 ，
因此 单调递增，所以 ，即 ，所以 ；
要证 ，需证 ，
由（1）知 在 处取极小值，且 ，所以 ，则 ，
又 在 上单调递增，所以只需证明 ，
因为 ，只需证 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，
又因为 ， 都在 的单调递增区间 上，所以 ，
即 ，因此原不等式得证.
19. 现有两个不透明的 ， 箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中 箱子中装有 2 个
红球，1 个白球， 箱子中装有 3 个红球，3 个白球．先从 箱子采取不放回的方式依次取球，当 箱子内
的小球颜色只剩一种时，停止从 箱子取球，并将 箱子剩余的球混入 箱子后再从 箱中采取不放回的
方式依次取球，当 箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从 箱子取球，记 为停止从 箱子取球时， 箱
子内剩余的白球个数．
（1）停止从 箱子取球时 箱子恰好剩一个球的概率；
（2）停止从 箱子取球时 箱子不剩红球的概率；
（3）求 的分布列．
【答案】（1）
（2）
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（3）见解析
【解析】
【分析】（1）按取球规则，需第一次取红球，则可以发生停止从 箱子取球时 箱子恰好剩一个球；
（2）利用全概率公式求解；
（3）先列出 箱球的情况，再对应求 箱子内剩余的白球个数对应的概率，最后列分布列.
【小问 1 详解】
A 箱原有 2 红 1 白共 3 个球：若第一次取出白球，A 箱剩余 2 个红球，
只剩同色，停止取球，剩余 2 个球；
若第一次取出红球（概率为 ），A 箱剩余 1 红 1 白，两种颜色都存在，需继续取球，
取 1 次后剩余 1 个球，停止，因此恰好剩 1 个球的概率为 ；
【小问 2 详解】
先分析 A 箱停止后的所有可能结果，概率分别为：
剩 2 个红球时：此时概率 ，混入 B 箱后，B 箱有 5 红球 3 白球；
剩 1 个红球：此时概率 ，混入 B 箱后，B 箱有 4 红球 3 白球；
剩 1 个白球：此时概率 ，混入 B 箱后，B 箱有 3 红球 4 白球；
B 箱不剩红球等价于红球先被全部取完，剩余全为白球，
由排列的等可能性，该事件概率等于最后一个球是白球的概率，即白球数除以总球数，
即对 R 个红球 W 个白球，红球先取完（停止后不剩红球）等价于所有排列最后一个是白球，每个球等可能
在最后一位，概率为 ；
由全概率公式可得停止从 箱子取球时 箱子不剩红球的概率
；
【小问 3 详解】
A 箱三种情况
剩 2 红： ，并入 B：5 红 3 白
剩 1 红： ，并入 B：4 红 3 白
剩 1 白： ，并入 B：3 红 4 白
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B 箱条件概率
5 红 3 白： ， ， ， ，
4 红 3 白： ， ， ， ，
3 红 4 白： ， ， ， ，
，
综上所述， 的可能取值是 0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以 的分布列是
0 1 2 3 4