2024-2025学年重庆市渝西七校高二下学期5月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市渝西七校高二下学期5月联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量X的分布列为
则实数m的值为( )
A. 13B. 25C. 14D. 112
2.某地天气预报资料显示，近段时间中一天下雨的概率是0.8，连续两天都下雨的概率是0.6.已知某天下雨，则随后一天也下雨的概率是( )
A. 0.75B. 0.48C. 0.8D. 0.6
3.要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A. 720种B. 1800种C. 3600种D. 1200种
4.已知函数f(x)=x3−ax在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. a≥3B. a≥12C. a≤3D. a0时，f′(x)ef(3)B. f(4)>e2f(2)
C. f(−4)>e2f(−2)D. ef(−4)>f(−3)
8.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数fx在闭区间a,b上的图象连续不间断，在开区间a,b内的导数为f′x，那么在区间a,b内至少存在一点c，使得fb−fa=f′cb−a成立，其中c叫做fx在a,b上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数fx=x−2lnx在1,2上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 相关系数r用来衡量成对样本数据的线性相关程度，而决定系数R2用来比较两个模型的拟合效果
B. 若E(X)=2，D(X)=1，则E(2X+1)=5，D(2X+1)=2
C. 已知经验回归方程为y=bx+3，且样本点的中心为(1,2)，则x=2的预测值为1
D. 某校高二年级的男生身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52).若该校高二年级有1000名男生，则身高在[165,180]内的男生大约有819人
参考数据：P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545．
10.已知函数f(x)=4x+ax2，若曲线y=f(x)过点P(1,1)的切线有两条，则实数a的值不可能为( )
A. −4B. −3C. −2D. 1
11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是( )
A. C22+C32+C42+C52+⋯+C92+C102=165
B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等
C. 记杨辉三角中第n行的第i个数为ai，则i=1n+12i−1⋅ai=3n−1
D. 在杨辉三角中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从5名女生、2名男生中任选3人参加数学竞赛，且至多有1名男生入选，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
13.若函数f(x)=ex−ax2在区间(0,+∞)上有2个极值点，则实数a的取值范围是 ．
14.某病毒感染率为0.2.现对某地区进行抽样调查，若抽到感染者，则停止抽样，否则继续抽样直到抽到感
染者为止，但抽样次数不超过n次.记抽查次数为X，则P(X=k)= (k=1,2,3,⋯,n−1);要使抽查次数X的期望值不超过3，则n的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x−1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大．
(1)求n的值;
(2)设(2x−1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，求a1+a3+a5+⋯+an−1的值．
16.(本小题15分)
教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目.为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取100人进行调查，得到如下2×2列联表．
(1)请补充完整该2×2列联表，并判断能否在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
(2)现按性别从这100名教职工中分层抽样抽取5人参加抽奖活动，奖品共3份.如果是女职工获奖，那么奖品价值200元;如果是男职工获奖，那么奖品价值180元.求奖品总价值X的分布列及期望E(X)．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=13x3+a−12x2−ax．
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有三个零点，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
一个袋子中装有外观、材质完全相同的红、白两种球，其中红球4个，白球n个(n≥4,n∈N∗).现从袋中一次性摸出2个球，若2个球同色，记1分，否则记0分．
(1)求一次摸球得分为1的概率;
(2)若n=4，有放回地摸三次球，求得分X的分布列及期望、方差;
(3)有放回地摸四次球，记四次摸球后得分为3的概率为p，则当n为多少时，p最大?
19.(本小题17分)
若函数f(x)在区间D上有意义，且存在x0∈D，使得对任意的x∈D，当xx0时，f(x)单调递减，则称f(x)为D上的“抛物线型函数”，其中f(x0)为f(x)在D上的峰值．
(Ⅰ)若函数f1(x)=ln(x+1)−a x(a≥1)，试判断f1(x)是否是区间(1,+∞)上的“抛物线型函数”;
(Ⅱ)若f2(x)=ax3−3x2是区间(a−1,a)上的“抛物线型函数”，求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若函数f3(x)=x(1−ex+1)+lnx，求证：f3(x)是区间(0,+∞)上的“抛物线型函数”，并求f3(x)在区间(0,+∞)上的峰值．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.D
6.B
7.C
8.B
9.ACD
10.BC
11.ABD
12.30
13.a>e2
−1×0.2；4．
15.解：(1)只有第5项的二项式系数最大，即只有Cn4最大，则n2+1=5，解得n=8．
(2)已知(2x−1)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，
令x=1，得(2×1−1)8=a0+a1×1+a2×12+⋯+a8×18，
即a0+a1+a2+⋯+a8=1 ①，
令x=−1，得[2×(−1)−1]8=a0+a1×(−1)+a2×(−1)2+⋯+a8×(−1)8，
即a0−a1+a2−a3+⋯+a8=38=6561 ②。
由 ①− ②得：2(a1+a3+a5+a7)=1−6561=−6560，
∴ a1+a3+a5+a7=−3280
16.解：(1)补充完整列联表：
则χ2=100×(40×30−10×20)250×50×40×60≈16.67>10.828
所以能在犯错误不超过0.001的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关；
(2)由题意，抽取5人中男职工抽5100×60=3人、女男职工抽5−3=2人，
设获奖女职员数为k，则k=0,1,2，
总价值X=200k+180(3−k)=540+20k
计算概率：
P(X=540)=C33C53=110，
P(X=560)=C32×C21C53=610，
P(X=580)=C31×C22C53=310
则X的分布列为：
则E(X)=540×110+560×610+580×310=564
17.解：(1)已知f(x)=13x3+a−12x2−ax，则f′(x)=x2+(a−1)x−a=(x+1)(x−a)，
令f′(x)=0，即(x+1)(x−a)=0，解得x=−1或x=a，
①当a0，所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增。
②当a=−1时：f′(x)=(x+1)2≥0，且f′(x)不恒为0(仅当x=−1时f′(x)=0)，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，
③当a>−1时：当x∈(−∞,−1)时，x+10，x−a0，则f′(x)=(x+1)(x−a)>0，所以f(x)在(a,+∞)上单调递增。
(2)由(1)可知，当a≠−1时，f(x)有两个极值点x=−1和x=a，
f(−1)=13×(−1)3+a−12×(−1)2−a×(−1)=−13+a−12+a=−2+3a−3+6a6=9a−56，
f(a)=13a3+a−12a2−a×a=13a3+a3−a22−a2=2a3+3a3−3a2−6a26=5a3−9a26=a2(5a−9)6，
因为f(x)有三个零点，所以f(x)的极大值大于0，极小值小于0，
当a0，5a−90，解得a>59，
由f(a)=a2(5a−9)6