新高考数学二轮专题重难点突破训练20 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离 （九大题型）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc174917267" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc174917267 \h 2
\l "_Tc174917268" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc174917268 \h 4
\l "_Tc174917269" 题型一：平移法求异面直线所成角 PAGEREF _Tc174917269 \h 4
\l "_Tc174917270" 题型二：定义法求线面角 PAGEREF _Tc174917270 \h 5
\l "_Tc174917271" 题型三：等体积法法求线面角 PAGEREF _Tc174917271 \h 7
\l "_Tc174917272" 题型四：定义法求二面角 PAGEREF _Tc174917272 \h 9
\l "_Tc174917273" 题型五：三垂线法求二面角 PAGEREF _Tc174917273 \h 11
\l "_Tc174917274" 题型六：射影面积法求二面角 PAGEREF _Tc174917274 \h 13
\l "_Tc174917275" 题型七：垂面法求二面角 PAGEREF _Tc174917275 \h 15
\l "_Tc174917276" 题型八：补棱法求二面角 PAGEREF _Tc174917276 \h 16
\l "_Tc174917277" 题型九：距离问题 PAGEREF _Tc174917277 \h 18
\l "_Tc174917278" 03过关测试 PAGEREF _Tc174917278 \h 20
技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
题型一：平移法求异面直线所成角
【典例1-1】在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-1】在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
题型二：定义法求线面角
【典例2-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直的概率为.
(1)证明：平面；
(2)若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【典例2-2】如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求和平面所成角的正弦值.
【变式2-1】如图，已知平面，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【变式2-2】如图，在四棱锥，底面，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
题型三：等体积法法求线面角
【典例3-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.
(1)求证:平面MCD;
(2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
【典例3-2】如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线BE与平面所成角的正弦值．
【变式3-1】正方体的棱长为，是线段上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)与平面所成的角的余弦值为，求的长．
【变式3-2】在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点．
(1)证明：平面；
(2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值．
题型四：定义法求二面角
【典例4-1】如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．
(1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角大小的余弦值．
【典例4-2】如图为三棱锥的高，点在三角形内，为中点（图中未画），，平面.
(1)求直线与平面所成角；
(2)若，且，求二面角的大小.
【变式4-1】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点.
(1)求证：平面；
(2)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.
【变式4-2】五面体中，，，，均为正三角形.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，.
求二面角的余弦值；
题型五：三垂线法求二面角
【典例5-1】如图，在三棱锥中，是等边三角形，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【典例5-2】如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值．
【变式5-2】如图，已知四棱锥中，平面，且.

(1)证明：平面；
(2)已知锐二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.
题型六：射影面积法求二面角
【典例6-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．
【典例6-2】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
(1)证明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．
【变式6-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．
【变式6-2】类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，则.
(1)如图2，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值；
(2)当时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，记二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.
题型七：垂面法求二面角
【典例7-1】（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形.
(1)证明：.
(2)若，求二面角的余弦值.
【典例7-2】已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________.
【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.

(1)求点C到平面的距离.
(2)求二面角的余弦值.
【变式7-2】在三棱台中，，，且平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
题型八：补棱法求二面角
【典例8-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在三棱台中，为正三角形，，，点为的中点，平面平面．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若，记平面与平面的交线为，求二面角的余弦值．
【典例8-2】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．
【变式8-1】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
题型九：距离问题
【典例9-1】（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
【典例9-2】如图，在四棱锥中，，．
(1)若点为中点，求证：平面；
(2)若二面角的平面角为，求点到平面的距离．
【变式9-1】多面体中，，平面平面，平面底面ABC，，，，，且．
(1)求与平面所成角；
(2)求平面与平面所成二面角的大小；
(3)求侧棱到侧面的距离．
【变式9-2】如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至.
(1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离.
1．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为 .
2．在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为 .
3．菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为 ．
4．在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．
5．如图，在三棱台中，与都垂直，已知．
(1)求证：平面平面．
(2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？
6．如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．
(1)求证：；
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值．
7．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
8．如图，在长方形中，，，，将沿折起至，使平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长；
(3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明：.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
9．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面.
(1)求证：四棱锥是“阳马”；
(2)点M在正方形内（包括边界）．平面PAM⊥平面且，
（i）求M点轨迹长度；
（ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．
10．如图（1）梯形中，，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面，与和交于O，点P在上，且，R是的中点，过O、P、R三点的平面交于Q．在图（2）中：
(1)证明：Q是的中点；
(2)M是上一点，已知二面角的正切值为，求的值．
11．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
12．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线到平面的距离．
13．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
14．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.
(1)证明：平面；
(2)求点到面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
15．如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥.
(1)若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值；
(2)若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离.
16．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，AA1=23，，且点在底面内的射影为的中点．
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．
17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱AD，PC的中点．
(1)若，，求异面直线EF与AB的夹角的大小；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的大小为．
①求二面角的余弦值；
②求点F到平面PAB的距离．
18．如图，在六面体中，为等边三角形，平面平面，，，，，
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
19．在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较和的大小；
(3)如图3，已知，M为平面PBC内一点，且，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值．