新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点16导数的概念及其意义、导数的运算（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点16导数的概念及其意义、导数的运算（2份，原卷版+解析版），共8页。
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数
【知识点】
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|.
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)
【核心题型】
题型一 导数的运算
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
【例题1】（2024·重庆·模拟预测）（ ）
A．72B．12C．8D．4
【答案】B
【分析】令，根据导数的概念，可求解.
【详解】令，根据导数的概念，
，
，所以.
故选：B．
【变式1】（2024·广西·二模）记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据定义求解和，由曲率的定义求出曲率，利用导数判断单调性求出最大值.
【详解】函数的定义域为，，，
所以曲线的曲率，
，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，曲率取得最大值.
故选：C.
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）记函数的导函数为，已知，若数列，满足，则（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用给定定义结合等差数列定义判断A，排除法判断B，利用累加法求出，再用裂项相消法判断C，利用数列的性质判断单调性判断D即可.
【详解】若，则，
，，
故，易知，经检验，
故是以为首项，为公差的等差数列，故A正确，
而，又因为等比数列中不能有，则不可能为等比数列，故B错误，
易得，，故，
则，则，
故，故C正确，
令，且，
当时，令，，
故，故，即此时为单调递增数列，
故，即恒成立，故成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构造新数列，利用数列的性质判断单调性，然后求出端点值，得到所要证明的不等关系即可
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】B
【分析】求导，根据即可求解，代入即可求值.
【详解】由题意知,所以，解得，则，故．
故选：B
题型二 导数的几何意义
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
命题点1 求切线方程
【例题2】（多选）（2024·河南郑州·模拟预测）过点作直线l与函数的图象相切，则（ ）
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线垂直，则
C．若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条
D．若符合条件的l有3条，则
【答案】AD
【分析】设切点坐标，求出切线斜率满足的等量关系，依据在点处的切线方程的求法求出切线方程判断选项A；根据斜率求出切点的横坐标，分别讨论点是否在函数的图象上，可判断选项B；通过切线斜率求解切点个数可判断直线条数，从而判断选项C；符合条件的l有3条时，点不在图象上，通过斜率求切点与点坐标的关系可判断选项D.
【详解】设l与的图象切于点，当点与点不重合时，切线斜率，整理得：，当点与点重合时，切线斜率，
对于A，若P与原点重合，点在函数图象上，则，此时，，l即x轴，方程为，A正确；
对于B，若l与直线垂直，则，，
当点为切点时，或，
当点不为切点时，满足，整理得，
当时，，当时，，B错误；
对于C，当点P在的图象上时，，，则，即，所以或，故有两解，符合条件的直线有两条， C错误；
对于D，若符合条件的l有3条，则点不在图象上，设l与的图象切于点，则有，
设，，
由得或，符合条件的l有3条，有3个零点，
则，所以，，，D正确.
故选：AD
【变式1】（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 .
【答案】或
【分析】设切点，求导并写出切线方程，代入点求出值即可.
【详解】设切点为，而，
所以切线的斜率，故切线方程为，
因为切线过点，，
化简可得或，则切点为或，
则代入得切线方程为：或，
故答案为：或
【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解.
【详解】因为，所以，
所以在点处的切线方程为.
又切线过原点，则，所以.
故答案为：
【变式3】（2024·四川成都·二模）已知函数的图象在处的切线经过点．
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，求出切线方程，然后代点求出的值，进而利用导数求函数单调性即可；
（2）将不等式变形为，然后令，可得，利用的单调性得到，进而构造函数求导求最值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
则，则，又，
所以在点处的切线，
代入点得，解得；
则，设
则，令，得，令，得，
所以，即在上恒成立，
所以函数的单调增区间为，无单调减区间；
（2）由（1）得
在区间上恒成立，即，
令，则，即，
只需要，也就是在上恒成立，
令，则，
令得，令得，
故，所以，
即正实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是将不等式变形为，令，然后转化为，利用函数函数的单调性来解答，充分利用了函数单调性来解决问题.
命题点2 求参数的值(范围)
【例题3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．3B．C．7D．
【答案】C
【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.
【详解】由，求导得，当时，，
由曲线在处的切线与直线垂直，得，
所以.
故选：C
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．－2C．－1D．0
【答案】C
【详解】根据直线与函数相切，可得以及，即可换元构造函数，利用导数求解函数的最值求解.
【分析】设切点坐标为．由已知，得，则，
解得．
又切点在切线与曲线上，
所以，所以．
令，则．
令，解得．当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以，即，所以，则的最小值为－1．
故选：C
【变式2】（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 .
【答案】
【分析】利用导数求出在处的切线方程为，函数在点处的切线方程为，，根据两切线重合求解，求出，进而求出.
【详解】函数在处的切线斜率为则切线方程为，
函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即，
由题意有①且②，故，，
从而，整理得，
所以，即.
代入式②，得，即.
故答案为：
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用转化的思想将原问题转化为函数有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理即可证明.
【详解】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为，
所以，解得；
（2）由可得，所以．
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，0，
所以，．
由零点存在定理可得使得，使得，
所以函数有两个零点
题型三 两曲线的公切线
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【例题4】（2023·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
因为曲线在点和处的切线互相平行或重合，
可得为偶函数，所以，解得.
故选：C.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围.
【详解】由题意知，因为切线与直线垂直，
所以曲线在点处的切线斜率都是，
即关于的方程有两个不相等的正实数根，
化简得，有两个不相等的正实数根，
则，解得.
故选：A.
【变式2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解.
【详解】，由题意可知，，
即，所以，得，，，
或，得，，，
所以，，,
所以的一个取值为.
故答案为：(答案不唯一)
【变式3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；
(2)当时，，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先设切点再分别求出切线，斜率和截距对应相等求解,再由单调性证明唯一性即可;
（2）把不等式化简构造函数，根据导函数求解最值即可求出参数范围.
【详解】（1）当时，
所以
所以曲线在点处的切线方程为
，即，
曲线在点（，）处的切线方程为
，
即
令得
消去，整理得
所以
设，则
所以h(x)在（0，+∞）上单调递增，
又，
所以h(x)在（0，+∞）上有唯一的零点，
所以方程有唯一的解
所以曲线与曲线有且仅有一条公切线．
（2）因为对恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令
，
则当时，G(x)单调递减，
当时，，G(x)单调递增，
当时，单调递减，
所以在处G(x)有极小值，在处G(x)有极大值．
①当，即时，由解得，舍去．
②当，即时，则，
所以，由 ，解得
因为，所以，所以
所以
所以
综上，a的取值范围为
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】代入法求得，以及利用导数的四则运算法则求得进一步求得即可得解.
【详解】由题意知，，
∴曲线在处的切线的斜率为，
∴曲线在处的切线方程为，且.
故选：C．
2．（2024·广东·二模）函数的定义域为，若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，解不等式即可得出答案.
【详解】构造函数，满足，，
则由可得，解得：.
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）若曲线（且）有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先设出切点，列出切线方程，再根据，构造函数，根据导数求得的单调性，即可得到关于参数的不等式，解不等式即可.
【详解】由，得．
设切点为，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程，得，
所以，即．
显然，所以．
设（且），则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在和上分别单调递增．
又当时，，当时，，且的极小值为，所以的大致图象如图．
由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点，结合图象可知，所以，所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数切线的含参问题，其中根据切线方程化简得到等式，从而构造函数是关键，再对求导，利用导数求单调性，从而得到的大致图象，结合图象可知求解.
4．（2024·四川·模拟预测）已知，则（ ）
A．48B．192C．128D．72
【答案】B
【分析】令，求导，然后令求解.
【详解】解：令，
则，
令，得．
故选：B．
5．（2024·湖南娄底·一模）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（ ）
A．2或B．C．D．或
【答案】D
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值.
【详解】设切点坐标为，对函数，求导得，
切线方程化成斜截式为，
由题设知，显然，即，
由，得，即，
即，
即，化简得，
令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或，
即或，解得或.
故选：D.
二、多选题
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
【答案】ABD
【分析】由函数解析式可直接判断A，利用导数研究曲线的切线方程，可用含的式子表示出切点的坐标，再将其代入直线，即可判断B，设，，利用，并结合斜率的计算公式，可得判断C，若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，再结合选项B中所得，求出和的值判断D．
【详解】选项A，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故A正确；
选项B，当时，：，：，
对于：，有，
因为直线：为曲线的切线，
所以，即，此时，
所以切点坐标为，将其代入切线方程中，
有，整理得，可得，即B正确；
选项C，当时，公切线为，
设，，则，，
所以，，解得，，故C错误；
选项D，当时，，，则，，
若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，
由选项B可知，，即，
所以，，即，，符合题意，
故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确．
故选：ABD．
7．（2023·全国·模拟预测）若过点最多可作条直线与函数的图象相切，则（ ）
A．当时，切线方程为
B．当时，
C．当时，λ的值不唯一
D．的值一定小于3
【答案】ABD
【分析】设切点，求导得切线方程，进而将问题转化为直线与函数的图象的交点情况，结合选项即可逐一求解.
【详解】不妨设切点为，
因为，则过点的切线方程为，
即，整理得．
令，则．
当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，，
当时，，
当时，．
综上，的大致图象如图．
当时，切点为，切线方程为，故A正确．此时成立．
当时，直线与函数的图象只有一个交点，由图象可知：，故B正确．此时满足．
当时，当，此时直线与函数的图象有两个交点，故C错误．此时成立．
当时，，所以．
综上，，故D正确．
故选：ABD
三、填空题
8．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为，求导由斜率可得的值，从而代入曲线方程与切线方程可得，即可得的值.
【详解】设切点坐标为，对函数求导得，
则切线斜率，得，
所以，且，
则，即．
故答案为：2.
9．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线和曲线上的点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由题意的最小值为到直线上距离的最小值，再设，则当处的切线与平行时取得最小值.
【详解】由题意的最小值为曲线上点到直线距离的最小值，
设，则为增函数，
令则，故当时，单调递减；当时，单调递增.
故，即在曲线下方.
则当处的切线与平行时取得最小值.
设，对求导有，由可得.
故当时取最小值.
故答案为：
四、解答题
10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l:2x垂直，
，
解得.
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值;
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
11．（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．
(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数，利用导数研究函数的单调性从而求出最小值大于0，可得证.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以．
则曲线在点处的切线斜率为．
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得，．
（2）设函数，，
则，
设，则，
所以，当时，，单调递增．
又因为，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，
所以，当时，
综合提升练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】求出的导函数，设切点坐标为，写出切线方程，把代入，得到关于的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数．
【详解】解法一 由，得．设切点坐标为，
则切线方程为，
把代入可得，即，
因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由，得，令，得．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，且，则点在曲线的下方，
数形结合可知，过点可作曲线的2条切线．
故选：B
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
【详解】由，得，
所以，又，
故曲线在点处的切线的方程为，即.
故选：A.
3．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．3B．C．0D．1
【答案】C
【分析】根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.
【详解】因为，则，
由题意可得：，解得，所以.
故选：C.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出导函数，然后利用导数几何意义求出切线斜率，代入点斜式方程即可求解.
【详解】对求导，
得，
∴的图象在处的切线斜率为，又，
∴的图象在处的切线方程为，
即.
故选：C
5．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为B．在上单调递减
C．的最小值为D．的图象在处的切线方程为
【答案】C
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐一判断即可.
【详解】A：，因此本选项不正确；
B：由上可知：，
当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；
D：由上可知，因为，
所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，
故选：C
6．（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由导数几何意义可得，，所以，令，对求导，得到的单调性和最值，即可得出答案.
【详解】因为，所以，∴．
又∵切点在直线上，
∴，解得．∴．
令，则，，
令，解得：；令，解得：；
可得在上单调递增，在上单调递减，
时，，时，，
当趋近负无穷时，趋近，；，
故的取值范围为．
故选：B．
7．（2024·陕西西安·三模）已知函数在点处的切线均经过坐标原点，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出导函数，根据导数的几何意义表示出切线方程，从而得到，即可求出，再代入计算可得.
【详解】，则，
故函数点处的切线为，
又切线均经过坐标原点，则，化简整理可得，
又，，所以，
则，，，，，
又，，，
，，
所以．
故选：B．
8．（2024·宁夏银川·一模）已知函数与（且）的图象只有一个交点，给出四个值：①；②；③；④，则的可能取值为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数确定其零点个数判断①；通过特殊点判断②；对③④：在，由两个函数图象只有一个交点，则它们与直线相切，设切点为，利用公切线求出值进行判断．
【详解】对于①：令，
则，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
所以单调递增，且，，
所以有唯一零点，从而与的图像只有一个交点，故①正确；
对于②：若，可知和是与的图像的两个交点，故②错误；
对于③④：因为，因为与互为反函数，
若两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线相切，
设切点为，则，，所以，
且，所以，解得，
所以，故③正确，④错误；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：对于③④：分析可知两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线相切，结合导数的几何意义分析求解.
二、多选题
9．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数的导函数为，若，均有，则（ ）
A．B．（为的二阶导数）
C．D．是函数的极大值点
【答案】AB
【分析】由，令，即可判断A；由已知得，即得函数，确定，从而可得，求导数，即可判断B；令，判断其单调性，即可判断C；根据极值点与导数的关系可判断D.
【详解】由，，令，则，A正确；
当时，由得，故，
即，则（c为常数），则，
满足该式，故，则，
将代入中，得，
即，而，故，
则，，，
故，B正确；
令，，故在上单调递增，
故，即，C错误；
由于，令，即得，
令，即得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极小值点，D错误，
故选：AB
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点B．若，则
C．恰有2个异号零点D．若，则
【答案】BD
【分析】利用函数导数的符号可判断AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程有三解，转化为利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.
【详解】因为，所以在上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为过原点，所以，
化简得，即方程有3个不等实数根，
令，则，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以极大值，极小值为，如图，
所以与相交有三个交点需满足，故B正确；
同理，当时，可知极大值，极小值为，如图，

可得时，与相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
11．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】ABC
【分析】设该直线与相切于点，求出切线方程为，设该直线与相切于点，求出切线方程为，联立方程组，得到，令，讨论的单调性，从而得到最值，则可得到，解出的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.
【详解】设该直线与相切于点，因为，所以，
所以该切线方程为，即.
设该直线与相切于点，因为，所以，
所以该切线方程为，即，
所以，
所以，
令，
所以当时，0；当时，；
在和上单调递减；在和上单调递增；
又，所以，
所以，解得，所以的取值范围为，
所以A正确；
对于B，，所以，所以B正确；
对于C， 因为，所以C正确；
对于D， 因为，所以D不正确.
故选：ABC
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义 ，即可求得答案.
【详解】由题意得，且，
时，，所以曲线在处的切线方程为，
即，
故答案为：
13．（2024·全国·模拟预测）设直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【分析】设出切点，由导数的意义可得，与直线斜率相等，从而解出，求出斜率即可.
【详解】设切点为，
因为，所以切线的斜率，
又因为，
从而，解得，
所以．
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的图象的对称轴，为的零点.若使得的图象在处的切线与轴平行，则的最小值为 ；若在上单调，则的最大值为 ．
【答案】 3 9
【分析】根据已知对称性推得.进而结合已知可知，即可得出的最小值；根据函数的单调性，得出，解得．逐个检验以及，结合函数的零点解出的值，检验单调性，即可得出答案.
【详解】设的周期为，
因为为图象的对称轴，为的零点，
所以，所以有，所以，
所以，即为正奇数．
又因为使得的图象在处的切线与轴平行，
则是的图象的对称轴.
所以，，，满足条件.
所以，的最小值为3；
因为在上单调，则有，即，解得．
检验当时，由为的零点可知，．
因为，所以，此时．
当时，，
结合正弦函数的性质可知，此时在上不单调，不符合题意；
检验当时，由为的零点可知，．
因为，所以，此时．
当时，，此时在上单调，符合题意.
所以的最大值为9，此时．
故答案为：3；9.
四、解答题
15．（2024·广西·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间与极值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极值.
【详解】（1）由，可知，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即；
（2），的定义域为，
由，得，或，
当或时，，在上均单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为，
故函数在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为.
16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）求出的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2），可得在为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得的定义域为，，
因为．所以，解得.
（2）因为，的定义域为，
，
令，得，
与在区间上的情况如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）证明：由（2）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，
所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以，
当时，，
综上，.
17．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知函数，．
(1)证明：对于，，都有．
(2)当时，直线：与曲线和均相切，求直线的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得，根据转化为证明，构造函数后利用导函数证不等式.
（2）先设的切线方程为，结合其和也相切，联立后根据二次方程有唯一解可得，利用的性质，求出即可.
【详解】（1）因为，所以，即．
当时,，
欲证，，只需证在上恒成立．
令，，
当时，当且仅当即时等号成立，
故，
所以函数在区间上单调递增，所以，所以．
综上所述，对于，，都有．
（2）当时，，设直线与曲线的切点为，
因为，所以曲线在点的切线方程为，
联立方程，得，
由，得，即．
由（1）知，函数在上单调递增，且，
所以方程有且只有一个实根，
所以，即，
代入得，
所以直线的方程为．
18．（2024·全国·模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求的值．
(2)判断的单调性，并求极值．
【答案】(1)
(2)函数在，上单调递减，在上单调递增，极小值为，极大值为．
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义可得，即可得解；
（2）先求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可.
【详解】（1）由题意得，则，
又因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，则，定义域为，
所以，
令，解得或，令，解得，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，极大值为．
19．（2024·天津·二模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，证明：，；
(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对于，求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）将问题化为证明恒成立，构造函数，利用导数即可得证.
（3）构造函数，将问题转化为恒成立，利用导数分类讨论与两种情况，从而得解.
【详解】（1）由，可知，
因为在处的切线斜率为2，
所以，所以，．
（2）证明：当时，，要证，
即证，两边取对数得，，
即证，
令，只需证即可．
．
所以，在上单调递减．
所以，成立，
所以，.
（3）若在区间上恒成立，
即在区间上恒成立．
令．则，
令，，因为，
所以，所以，
所以在时单调递增．
可知．
当时，，即，所以在时单调递增．
所以成立．
当时，，
当时，，
所以使得．
当时，，即，所以此时单调递减；
当时，，即，所以此时单调递增；
所以，不成立，舍去．
综上，．
【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式（，为参数）恒成立问题中参数范围的步骤：
1.将参数与变量分离，不等式化为或的形式；
2.求在时的最大值或者最小值；
3.解不等式或，得到的取值范围.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察，构造函数，利用导数的四则运算得到，代入即可得解.
【详解】设，
则，故，
所以
.
故选：C.
3．（2024·四川德阳·三模）已知函数，且 ，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，利用给定等式求出，再利用二倍角的正切计算即得.
【详解】函数，求导得，
由，得，解得，
所以.
故选：B
4．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
5．（2024·重庆·模拟预测）设点(异于原点)在曲线上，已知过的直线垂直于曲线过点的切线，若直线的纵截距的取值范围是，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】设，求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而表示出直线的方程，即可得到直线的纵截距，再令，当时利用均值不等式计算可得，当时推出矛盾.
【详解】设，由曲线，则，
所以，
由直线垂直于曲线过点的切线，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
令，则，即直线的纵截距为，
设函数，
若，则，当且仅当，即时取等号，
因为直线的纵截距的取值范围为，则，解得；
若，，当且仅当，即时取等号，不合题意；
综上可得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数的几何意义及两直线垂直斜率的关系得到直线的斜率，从而得到直线的方程，再表示出纵截距.
二、多选题
6．（2023·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为
C．的方程为D．的方程为
【答案】BCD
【分析】对函数求导，表示出在点的切线斜率即可.
【详解】因为，所以的斜率的最小值为.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为，即.
故选：BCD.
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数在处的曲率半径为1
C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2
D．若曲线在处的弯曲程度相同，则
【答案】ABD
【分析】直接根据倒数的性质即知A正确；直接根据曲率半径的定义计算函数在处的曲率，再取倒数得到曲率半径即可判断B正确；使用三元均值不等式可以证明函数的曲率圆的半径一定大于2，从而C错误；设，，然后将条件转化为关于的等式，再使用基本不等式进行处理，即可证明D正确.
【详解】对于A，若曲线在各点处的曲率均不为0，显然，由知，
由于曲线在处的曲率为，曲率圆的半径为，
所以曲率圆的半径等于曲率的倒数. 而曲率大于0，所以曲率越大，曲率圆越小，A正确；
对于B，若，直接计算知，所以，
从而函数在处的曲率为1，从而函数在处的曲率半径为1的倒数，即1，B正确；
对于C，若，直接计算知，这里.
所以处的曲率圆半径，
从而我们有，
所以圆的半径一定大于2，不可能以2为最小值，C错误；
对于D，若，在C选项的过程中已经计算得知，
现在如果曲线在处的弯曲程度相同，则，故，
所以，即.
设，，则，，，将两边展开，
得到，从而.
故，而，
故，这意味着，从而.
定义函数，则，由于，函数在上递增，
故，所以，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：在适当的时候使用均值不等式是解决本题C，D选项的关键.
三、填空题
8．（2024·上海闵行·二模）函数在处的切线方程为 .
【答案】
【分析】切线的斜率是在处的导数，切线过，由直线的点斜式方程可以求出切线方程.
【详解】，，所以，
所以在处的切线方程为，即，
故答案为：.
9．（2024·全国·模拟预测）曲线与的公切线方程为 .
【答案】
【分析】设出两曲线的切点和，由导数的意义可得，再由点斜式得出公切线方程，把点代入直线方程可得，构造函数，求导分析单调性得到，进而得出，最后得到直线方程.
【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为.
因为，
则公切线的斜率，所以.
因为公切线的方程为，即，
将代入公切线方程得，
由，得.
令，则，
当时，；当时，0，
故函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以，
故公切线方程为，即.
故答案为：.
四、解答题
10．（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴．
(1)求的值；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)，
(2)单调递减区间为，单调递增区间为
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得且，即可得到方程组，解得即可；
（2）求出函数的导函数，再利用导数说明的单调性，即可求出的单调区间.
【详解】（1）因为，所以，
依题意且，
所以，解得.
（2）由（1）可得函数的定义域为，
又，
令，则，所以（）在定义域上单调递增，
又，所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
11．（2023·贵州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)当时，求曲线与的公切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入，然后求出，进而可得单调性求出最值；
（2）代入，设出切点，求出切线方程，利用方程为同一直线，列方程组求解即可.
【详解】（1）当时,
，
，
令，得，令，得，
求函数在上单调递增，在上单调递减，
；
（2）当时，，
设函数上一点为，
又，，
函数上过点的切线方程为：，
即，
设函数上一点为，
又，
过点的切线方程为：，
即，
若与为同一直线，
则，解得,
公切线的方程为：.
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)求曲线与的公切线的条数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)2条
(2)
【分析】（1）设切点，求导，分别求解的切线方程，根据公切线可得，即可求解或，从而得解，
（2）将问题转化为对于恒成立，根据可得，进而构造函数证明，即可先求解，构造函数，求导，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）设的切点分别为，
则，
故在切点处的切线方程分别为，
则需满足；
,故，
解得或，
因此曲线与有两条不同的公切线，
（2）由可得，
即对于恒成立，
，结合解得
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，故在上单调递减，
所以，
所以，由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于 ，所以，
故在单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
x
0
-
0
+
递减
极小
递增