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新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题2.11 指数与指数函数（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题2.11 指数与指数函数（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习举一反三重难点题型精练专题211指数与指数函数原卷版doc、新高考数学一轮复习举一反三重难点题型精练专题211指数与指数函数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
1．分数指数幂
(1) SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)； SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0y轴.
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
【题型1 指数幂的运算】
指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加，运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【例1】（2022•稷山县校级开学）的化简结果为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式1-1】（2021秋•沈阳月考）下列运算结果中，正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝（﹣a3）2B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5D．
【变式1-2】（2022•茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021秋•惠阳区校级月考）（1）0﹣（1﹣0.5﹣2）的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 指数方程】
指数方程常见的类型有：(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 f(x)=g(x)；(2) SKIPIF 1 < 0 =0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例2】（2021秋•凉州区校级月考）解方程：
（1）9﹣x﹣2•31﹣x＝27；
（2）6x+4x＝9x．
【变式2-1】（2021秋•芜湖期末）解关于x的方程4x﹣2x+1﹣3＝0．
【变式2-2】解方程：x20．
【变式2-3】（2021秋•武汉校级期中）解方程：6•（9x+9﹣x）﹣25（3x﹣3﹣x）+12＝0．
【题型3 指数函数的图象及应用】
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例3】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2020秋•越秀区校级期中）已知m＞n＞1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式3-3】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．a＜b＜1＜d＜cD．1＜a＜b＜c＜d
【题型4 比较幂值的大小】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小；比较大小时，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
【例4】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【变式4-1】（2021秋•怀仁市期中）设a＝0.70.7，b＝0.71.5，c＝1.50.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【变式4-2】（2021秋•洛阳期中）若（）n＜（）m＜1，则（ ）
A．mn＜mm＜nmB．mm＜nm＜mnC．mm＜mn＜nmD．mn＜nm＜mm
【变式4-3】（2021秋•姜堰区校级期中）已知，，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（ ）
A．c，b，aB．b，a，cC．c，a，bD．b，c，a
【题型5 解指数不等式】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式，可借助函数y= SKIPIF 1 < 0 的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0(2)隐含性质法：解形如 SKIPIF 1 < 0 >b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的
单调性求解.
(3)图象法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例5】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣2，2）
【变式5-1】（2021秋•北京校级期中）不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）
C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【变式5-2】（2021秋•深州市校级期末）已知函数f（x）＝2x|2x﹣a|，若0≤x≤1时f（x）≤1，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．R
【题型6 与指数函数有关的复合函数问题】
【方法点拨】
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y=的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求y=和y=f()的值域的解法.
①求形如y=的函数的值域，要先令u=f(x)，求出u=f(x)的值域，再结合y=的单调性求出y=的值域.若a的值不确定，则需要对a进行分类讨论：当01时，y=为增函数.
②求形如y=f()的函数的值域，要先求出u=的值域，再结合y=f(u)的单调性确定y=f()的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性
形如y=的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=的单调增(减)区间；若03.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路
一般利用指数函数的单调性或最值进行转化，应注意对底数a进行分类讨论.
【例6】（2022春•增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值．
【变式6-1】（2021秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
【变式6-2】（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
【变式6-3】（2021秋•荆州区校级期中）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）．
（1）若y＝f（x）的图象过点（3，4），求a的值；
（2）试比较与的大小；
（3）若f（lga）＝100，求实数a的值．y＝ax
a>1
0图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0(5)当x>0时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
1．分数指数幂
(1) SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)； SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y= SKIPIF 1 < 0 (a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
【题型1 指数幂的运算】
指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加，运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【例1】（2022•稷山县校级开学）的化简结果为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式1-1】（2021秋•沈阳月考）下列运算结果中，正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝（﹣a3）2B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5D．
【变式1-2】（2022•茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021秋•惠阳区校级月考）（1）0﹣（1﹣0.5﹣2）的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 指数方程】
指数方程常见的类型有：(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 f(x)=g(x)；(2) SKIPIF 1 < 0 =0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例2】（2021秋•凉州区校级月考）解方程：
（1）9﹣x﹣2•31﹣x＝27；
（2）6x+4x＝9x．
【变式2-1】（2021秋•芜湖期末）解关于x的方程4x﹣2x+1﹣3＝0．
【变式2-2】解方程：x20．
【变式2-3】（2021秋•武汉校级期中）解方程：6•（9x+9﹣x）﹣25（3x﹣3﹣x）+12＝0．
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(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例3】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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A．B．C．D．
【变式3-2】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式3-3】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（ ）
A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．a＜b＜1＜d＜cD．1＜a＜b＜c＜d
【题型4 比较幂值的大小】
利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小；比较大小时，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
【例4】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【变式4-1】（2021秋•怀仁市期中）设a＝0.70.7，b＝0.71.5，c＝1.50.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【变式4-2】（2021秋•洛阳期中）若（）n＜（）m＜1，则（ ）
A．mn＜mm＜nmB．mm＜nm＜mnC．mm＜mn＜nmD．mn＜nm＜mm
【变式4-3】（2021秋•姜堰区校级期中）已知，，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（ ）
A．c，b，aB．b，a，cC．c，a，bD．b，c，a
【题型5 解指数不等式】
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式，可借助函数y= SKIPIF 1 < 0 的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与
0
单调性求解.
(3)图象法：解形如 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例5】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）D．（﹣2，2）
【变式5-1】（2021秋•北京校级期中）不等式4x﹣3×2x+1﹣16＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）
C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【变式5-2】（2021秋•深州市校级期末）已知函数f（x）＝2x|2x﹣a|，若0≤x≤1时f（x）≤1，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．R
【题型6 与指数函数有关的复合函数问题】
【方法点拨】
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y=的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求y=和y=f()的值域的解法.
①求形如y=的函数的值域，要先令u=f(x)，求出u=f(x)的值域，再结合y=的单调性求出y=的值域.若a的值不确定，则需要对a进行分类讨论：当0
②求形如y=f()的函数的值域，要先求出u=的值域，再结合y=f(u)的单调性确定y=f()的值域.
2.与指数函数有关的复合函数的单调性
形如y=的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=的单调增(减)区间；若0
一般利用指数函数的单调性或最值进行转化，应注意对底数a进行分类讨论.
【例6】（2022春•增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值．
【变式6-1】（2021秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0对任意x∈（﹣∞，2]成立，求实数c的取值范围．
【变式6-2】（2021秋•鼓楼区校级期中）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
【变式6-3】（2021秋•荆州区校级期中）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）．
（1）若y＝f（x）的图象过点（3，4），求a的值；
（2）试比较与的大小；
（3）若f（lga）＝100，求实数a的值．y＝ax
a>1
0
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
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