新高考数学二轮复习圆锥曲线突破练习专题23 圆锥曲线与内心问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线突破练习专题23 圆锥曲线与内心问题（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知点，分别是椭圆：的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点G到各边的距离为，由，得，

即，由椭圆定义知，，
于是，所以椭圆E的离心率.故选：B
2．已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由椭圆的方程可得，，，
设内切圆的半径为，则，可得，
而，所以，所以，
所以，因为，
所以，即．故选：C．
3．若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（ ）
A．2B．C．4D．
【解析】
如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则
设△内切圆的半径为，则，
，
∴，不妨设，则，
∴，因为椭圆的离心率为，
∴，故选：A.
4．已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（ ）
A．B．C．2D．
【解析】因为，所以，即，
所以，所以离心率，设的内切圆半径为，
则，又，
所以，即，
所以，所以.故选：B.
5．已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如下图示，延长到且，延长到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的内心，则，
由，则，故，即.故选：D
6．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，
在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2，
∴，解得：，∴
∴双曲线的方程为.

记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，横坐标相等，，，
由，即，
得，即，记的横坐标为，则，
于是，得，同理内心的横坐标也为，故轴.
设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），
在中，，
由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
∴，即，∴的范围是.故选：D.
7．设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（ ）
A．是定值B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值D．非定值，且不存在最值
【解析】连接并延长交轴于，
则由内角平分线定理可得：，，；
设，，，则，，
，则，又，则．
，则，，，
则，
直线和直线的斜率之积是定值．故选：A．
8．已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】
由双曲线方程得：，，则，设内切圆与三边相切于点，
，，，，
又，，，
设，则，解得：，即；
同理可知：内切圆与轴相切于点；
分别为的角平分线，，
又，∽，则，设内切圆半径分别为，
，，即，
，
双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角，
，则，
，解得：，
又在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
，.故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（ ）
A．点M在直线PQ上B．点M在直线PQ的左侧
C．D．
【解析】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为.
过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心，
设圆P与的切点分别为，则，
则，解之得
则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合，
则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M，
同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.则直线的方程为，
双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上.
则选项A判断正确；选项B判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：由直线的方程为，可得.判断正确.
故选：ACD
10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率是
C．的最小值为D．的值为
【解析】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，，
因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，
所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，，
因为四边形是菱形，所以的中点是的中点，
所以由中点坐标公式得，则，
将代入抛物线方程得，，
所以，则，所以，故A正确；
对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得，
化简得，则，故，所以，故B错误；
对于C，由选项B得，所以，则，
所以，不妨设，则，且，
所以，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，连接和，如图，
因为的内心为，所以为的平分线，则有，
同理：，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得，从而求得的值，由此得解.
11．已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．D．
【解析】
因为为正三角形，所以，所以，
所以，故A正确
将点坐标代入双曲线方程可得，
即，即，
即，即，设（），则，
解之得：或（舍），
所以，所以，故B正确，
，故C错误，
，
设的内切圆半径为，则，，，
，，
所以，即，故D正确
故选：ABD
12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（ ）
A．若C的离心率，则的取值范围是
B．若且，则C的离心率
C．若C的离心率，则
D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则
【解析】对于选项A，当时，双曲线的渐近线方程为，其倾斜角分别为，，因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，所以的取值范围是，故A错误．
对于选项B，由双曲线的定义可知，又，故，，由，得，所以，连接 ，则，由得，在中，由余弦定理得，
得，故，故B正确．
对于选项C，因为C的离心率，所以，设的内切圆I的半径为r，
则，故C正确．
对于选项D，设，因为，AP为的平分线，所以为等腰三角形，，，则，在中，OP为中位线，所以．设的内切圆I与，，相切的切点分别为D，N，M，则，
又所以，，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点在双曲线的右支上，点到直线的距离为1．当时， 的内心恰好是点，则双曲线的方程 ．
【解析】当时，，
由于点到直线的距离为，所以直线的斜率，
因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点，
所以轴，不妨设直线交轴于点，则，所以点的坐标为，
所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得，
所以两点的坐标分别为：，
设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到，
所以双曲线方程为：.
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，点B为的内心，直线PB交x轴于点A，且，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【解析】如图所示，设内切圆与的三边分别相切于三点，
过P作轴于M点，因为，，，
又由双曲线定义得，即，由，故，即点横坐标为，因为直线的斜率为，所以，，
又因为，所以，故直线的方程为，令，可得，即，
因为，且，所以，故，
可得，，
在中，由余弦定理得，
即，化简得，
即，解得，或（舍去），所以，
故双曲线C的渐近线方程为或．
故答案为：或．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ．
【解析】如图，连接MG，MI并延长，与分别交于点O，D，
设双曲线C的焦距为2c，由题意，得，
因为，且G为重心，则，所以，
因为I为的内心，所以MD为的平分线，
所以，所以，
又，所以，，
设的内切圆半径为r，则M到x轴的距离为3r，
因为，，
所以，所以，所以双曲线C的离心率．
16．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点为的内心，若，则的面积为 ．
【解析】延长交轴于点，设，则，
，因此，，得，因此．

设，，则内切圆的半径．
又，所以，即．
因为，所以，（椭圆的定义的应用）
由，可得，即，所以，故，（角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例）
因此，，由余弦定理得，
因此，
所以，故的面积为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率是，为椭圆上异于长轴端点的一点，，设的内心为，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线过定点，若椭圆上存在两点关于直线对称，求直线斜率的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为的内心为，且，所以，又因为，
所以，即椭圆的方程为.
（Ⅱ）（ⅰ）由题意当时，显然合题意；
（ⅱ）当时，设直线，
中点是，
由，得，
由得， ①
由，得，
所以在直线上，
即，所以 ②
①②得，所以且．
综合（ⅰ）（ⅱ）即直线斜率的取值范围是．
18．已知椭圆C：，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，的重心为G，内心为I，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点，求实数k的取值范围．
【解析】（1）设，则，设，则由，可得，
∵，∴
∴，即，
∵直线y与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切
∴，∴，∴椭圆的方程为；
（2）设，则直线方程代入椭圆方程可得，
由，可得，即，
∵，∴，
∴线段AB的中点R的坐标为，
∵线段AB的垂直平分线的方程为，R在直线上，
∴，∴m，∴，
∴，∴或．
19．已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
【解析】（1）圆的圆心为，半径，
因为，所以，又因为，所以，
所以，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为，则，.
所以，，
又不可能在轴上，所以曲线的方程为.

（2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上.
证明如下：由条件可设：.代入，
得，设，，则
，得，
所以
所以，取，
则
又，都在轴上方，所以的平分线为定直线，
所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上.
20．已知椭圆，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，为其左右焦点，为椭圆上的任意一点，的重心为，内心为，且,
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆上的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于两点，若的斜率满足，求直线的方程．
【解析】
（Ⅰ）设，，则
又，，，
，故．
又直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，，
，．．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；
则直线的斜率存在．
设直线为，直线和椭圆交于，．
将代入中得到：
,
依题意：,
由韦达定理可知：
又
而
从而
求得,故所求直线的方程为：，即
21．已知点是双曲线的左、右焦点，是右支上一点，的周长为，为的内心，且满足.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的右支交于两点，与轴交于点，满足（其中），求的取值范围.
【解析】（1）设内切圆半径为，
由题意.
所以，因为的周长为，
所以，所以，
所以，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题知，直线斜率存在且不为，可设其方程为，
，联立，整理得
因为直线与双曲线右支交于两点，则有，
解得，所以，
因为，所以，
所以，即，同理，
所以，①
②
两式相除得.
因为，
当与渐近线平行时，，此时，
因为与双曲线右支交于两点，所以，.所以，所以，
即的取值范围为.
22．已知椭圆的右焦点为，点A，B在椭圆C上，点到直线的距离为，且的内心恰好是点D．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆的左焦点为，则，
故点到直线的距离等于，因为的内心恰好是点D，
所以点到直线的距离相等且为，则即为点到直线的距离，
所以，即轴，由，令，则，
不妨取，则，故直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，即，
又，所以，所以椭圆C的标准方程为；

（2）设，则，
因为M，N为椭圆上不重合两点，
则有，两式相减得，
则，即，
设直线的方程为，
联立，消得，
，解得，
所以，，
则，
原点到直线的距离，，
故，
当且仅当，即时，取等号，所以面积的最大值为．