新高考数学二轮复习圆锥曲线突破练习专题01 直线与椭圆的位置关系（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习圆锥曲线突破练习专题01 直线与椭圆的位置关系（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．椭圆与直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【解析】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.
2．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（ ）
A．1B．3C．2D．
【解析】因为点，在椭圆上，所以，
因为直线，的斜率之积为，所以，
可得，化简得，
则.故选：A.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，则，，
，解得或（舍去），故选：C.
4．已知实数x，y满足：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．5
【解析】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则，即，
所以，可得，即，
要使在x轴上截距最大，即.故选：B.
5．已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设点，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为，
联立，消去得，
则，
即，两切线垂直故其斜率之积为-1，
则由根与系数关系知，即.
当切线斜率不存在或为0时，此时点坐标为，，，，满足方程，
故所求轨迹方程为.故选：A.
6．已知椭圆的右焦点为，离心率为，过坐标原点作直线交椭圆于两点，若，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由椭圆离心率为，知，
由题意可设，则，
由可得，即，
结合可得，故，则，
所以直线的方程为，故选：B
7．若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，圆的圆心为，半径为.
设直线方程为，直线到圆心的距离为，由弦长公式得，所以.
由点到直线的距离公式得，，即.
对于选项A，直线到该圆圆心的距离为，
取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当时，对于直线有，，，
联立椭圆方程得，所以必有公共点；
当时，联立直线与椭圆方程得，
，所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线与抛物线方程得，
若时，则，有解；
若时，，取，则，方程无解，此时无公共点，故C错误；
对于选项D，当时，对于直线有，，，
联立双曲线方程得，
取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除.
故选：B.
8．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】如下图所示：

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，
点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，
联立，消去整理可得，
，因为，解得，
所以，椭圆在点处的切线方程为，
因此，点到直线的距离的最大值为,联立，
可得点的坐标为.故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（ ）
A．恒过点
B．若恒过的焦点，则
C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则
D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点
【解析】方程可化为，所以直线恒过点，A正确；
设椭圆的半焦距为，则点的坐标可能为或，
若直线恒过点，则，故，矛盾，
直线恒过点，则，故，所以，B错误；
联立，消可得，，
由对任意实数，与总有两个互异公共点，
可得方程有个不相等的实数解，
所以，所以，所以，C正确；
因为，
所以时，则，即时，
可得，此时方程组有且只有一组解，故与有且只有一个公共点，D正确.
故选：ACD.
10．直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（ ）
A．
B．当时，四边形为正方形
C．四边形面积的最大值为
D．若四边形为菱形，则
【解析】A选项，可以看出，由椭圆的对称性知四边形是平行四边形，
设，，联立与得，，其中，解得，A正确.
B选项，由韦达定理得，，
，
平行四边形的高即为两平行线之间的距离，
当时，，，故，B错误.
C选项，，
设，，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确.
D选项，若四边形是菱形，则，即
故，解得，，D正确.
故选：ACD
11．为椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆交于A，B两点，则的内切圆半径的r值可以为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由已知可得，，，
如图，根据椭圆的定义可得，的周长为，
所以.设，，设，，
则.
由已知可得，直线与轴不重合，，设直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程可得，.
，且，
所以，.
令，则，当且仅当，即时等号成立，
所以，，所以，所以，，
所以，，解得.故选：BCD.
12．已知，是椭圆：的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与 交于，两点，，，，分别表示直线，，，的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．直线与的交点的轨迹方程是
【解析】对于A：设交点，因为在椭圆上，故，
所以.选项正确；
对于B：设，，直线：，联立，
消去，得，则①，②，
所以
，故选项B正确；
对于C：联立和，相除得，故选项C错误；
对于D：设直线方程：③，
直线方程：④，联立③④，消得，
，
结合选项B中①②得，
所以.D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若，则实数k的值为 .
【解析】依题意得椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为，.
如图，

设D，E，F三点的坐标分别为，，，其中，
由得，则满足方程，
故，由知，得，
由点D在直线AB上，知，即，
所以，化简得，解得或.
14．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，则直线的斜率的值为 ．
【解析】依题意，点位于轴上方且，则直线的斜率存在且不为，
设（），则，，
则可得，设直线l方程为，
联立直线与椭圆可得，显然，
，，，
，解得，则直线的斜率为.
15．已知椭圆C:，过右焦点的直线交椭圆于A，B，若原点O在以AB为直径的圆上，则a的取值范围为 ．
【解析】已知椭圆，则其右焦点坐标为，则，且，过右焦点的直线交椭圆于A，B，满足原点O在以AB为直径的圆上，所以，
则设直线AB方程为，
则，所以，
显然恒成立，所以，
则
整理得，所以，
又，在单调递增，所以，
所以，解得．故答案为：
16．已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
【解析】取中点，连接,由于,所以,进而 ,
设，设直线上任意一点，
由于是圆的切线，所以,所以，
令 则，所以，由中点坐标公式可得 ，
设,则，两式相减可得，
所以 ,又，,
所以，解得，进而
故直线l的方程为，即
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
【解析】（1）由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．

18．如图，在平面直角坐标系中，两点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且，椭圆上的点到直线的距离的最大值为6.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于另一点，交直线于点，且以为直径的圆经过原点，求直线的方程.
【解析】（1）由题意得，解得，故椭圆的标准方程为：.
（2）由题意得直线不垂直轴，设直线，
联立，可得，且.
设，则，则，易知.
联立，可得.以为直径的圆经过原点，
，解得.
直线方程为：或.

19．以椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，一个焦点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线：，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由
【解析】（1）椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，，
∴ ∴， ， ∴椭圆方程
（2）假设存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列，
（Ⅰ）当AB斜率k不存在时， ， ，，
，故当斜率不存在时成立.
（Ⅱ）当AB斜率k存在时，设AB直线方程，，,

联立，可得，
由韦达定理可知，,又,
,,
,
,
,
,,∴时，k，t任意值都成立,
∴存在直线成立,
综上，存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列.
20．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，

∵，且，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程，则，，∴，.
所以点的轨迹方程为：.
（2）设直线的方程为：，由，得
设，，则，.
所以，，
因为直线的方程为：，令，得，
所以，，同理可得，
以为直径的圆的方程为：，
即，
因为圆过点，所以，，
得，代入得，
化简得，，解得或（舍去），
所以直线经过定点，
当直线的斜率为0时，此时直线与轴重合，直线经过点，
综上所述，直线经过定点.
21．已知椭圆C：的离心率，短轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得，解得，，故椭圆C的方程为；
（2）当直线l的斜率不存在时，，，，,
则，，，，
此时，，；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为，
联立可得，设，，
联立可得，
则，，因为，，所以，，
所以，

22．已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为椭圆上两点，是以（斜率存在）为斜边的直角三角形（为坐标原点），求的最大值.
【解析】（1）由题意，可知，即，所以，
把点的坐标代入椭圆方程得，所以
所以椭圆方程为.
（2）设直线方程为，

与椭圆联立，得
则，
设，则，
是以为斜边的直角三角形，，即，
，
所以，即，满足，
，
，
（当且仅当时取等号），
，
综上，的最大值为3.