新高考数学二轮专题重难点培优训练热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点培优训练热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（2份，原卷版+解析版），共8页。
椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。
【题型1 椭圆的定义及概念辨析】
【例1】（2021·高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【解析】因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，
当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当 时，，此时动点 的轨迹是线段．故选：C．
【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为,
所以四边形是平行四边形.所以.
由椭圆的定义得.
所以.故选：C
【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设.
因为椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，
所以，所以，
所以.故选：B
【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径；
因为，可知圆与圆内切于点，
显然圆心不能与点重合，设圆的半径为，
由题意可知：，则，
可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外），
且，可得，
所以点的轨迹方程为.故选：D.
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________．
【答案】
【解析】设椭圆右焦点为，连接
由已知得，则
因为N是中点，为的中点，
，
再根据椭圆定义得
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆，则，，，
如图，设椭圆的右焦点为，
则；
，
由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，，
当不在直线（与椭圆的交点）上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有，；
当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值，
的最小值为．故选：．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】依题意，设椭圆的左焦点为，
圆的圆心为，半径为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
而，
所以，
当四点共线，且在之间，
是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D
【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.
又,，，
故，
当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.故选：C.
【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义可得，，
则，
因为，
则当三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
故答案为：.
【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】由椭圆方程可得，，则，
如图，连接并延长，交椭圆于P，
则，
(当且仅当点三点共线时，且点位于第三象限时取等号)
此时取最大值为
【题型3 椭圆标准方程的求解】
【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且
故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C
【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
故实数的取值范围是.故选：A.
【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.故选：C.
【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，，；
所以，，
又，所以，可得
在椭圆中，，又，所以
即椭圆的标准方程为.故选：D.
【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得，，，则直线的方程为，
所以点A到直线的距离①．
由的周长为16，得，即a+c=8②，
联立①②，解得③．
因为，所以④．
联立②④，解得a=6，c=2，所以，
故椭圆E的标准方程为是.故选：B．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为
【答案】
【解析】椭圆中，，则，有，
是椭圆上的点，，，
在中，由余弦定理得：，
即，得 ，
所以.
【变式4-1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .
【答案】2
【解析】因椭圆方程为，则.
因，则.
又由椭圆定义，可得，
则
.
【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：不妨设，
根据椭圆定义可得，；
由余弦定理可知；
又因为，所以，又，
即可得，解得；
又，即；
所以可得；故选：C
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，短半轴长为，离心率为，直线交该椭圆于两点，且的周长是的周长的3倍，则的周长为（ ）
A．6 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】由题意可得，由离心率为，得，得，
易知的周长，
的周长，
由椭圆的定义得，，
则，
即，所以，故选：B．
【变式4-4】（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由可得，即，可得，
因此以为直径作圆与必有四个不同的交点，
因此中以的三角形有四个，
除此之外以为直角，为直角的各有两个，
所以存在使为直角三角形的点共有8个.故选：D
【题型5 求椭圆的离心率与范围】
【例5】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得到，
设，,
在中，由余弦定理得，
，解得，
为等边三角形，
则在中，，，
又，，
得，解得.故选：B.
【变式5-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）己知为椭圆上一点，分别为其左右焦点，为其右顶点，为坐标原点，点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且成等比数列，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，，，
过点作轴于点，过作于点，如图所示，
则，所以，即，
又因为，所以，即，
由椭圆定义得，，则，
又因为成等比数列，
所以，则，
所以，即，
所以
【变式5-2】（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
即，
所以，所以.
设，则，所以，
由得，
所以，所以，
在中，由，
得，所以.
【变式5-3】（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点，
可得，即，
因为为钝角三角形，则，可得，即，即，
又因为，可得，即，
即，且，解得，
即椭圆的离心率的取值范围为.故选：A.
【变式5-4】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，则，
.
由正弦定理可得，，
所以，.
根据椭圆的定义可知，，
所以有，
所以有
.
因为，，所以，
令，则，设，
则函数在上单调递增.
又，，
所以，，即.
【题型6 椭圆的中点弦问题】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且，点D为线段AB的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：由题意知，设，，
则，
同理可得．
因为，所以．
由，，两式相减得，
因为直线AB的斜率为2，所以，所以，
则，所以．
解法二：由题意知，设，，，
则，
同理可得，因为，所以．
设直线AB的方程为，与联立并整理得，
所以，
故，得，又，所以，
故，所以．
解法三：由题意知，设，，
则，
同理可得，因为，所以．
设，则，
又，所以，故，，故选：D．
【变式6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
【答案】
【解析】如图，取线段的中点为，连接，
则由题意可得，，又，所以．
因为直线的斜率之积为，所以．
设，则，
两式相减可得，
整理得，即，
所以，所以．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，若椭圆C上有不同的两点关于直线对称，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】设是椭圆C上关于直线l：对称的两个点，
是线段PQ的中点，则，两式相减，
得.
∵，，
∴.
∵，∴，故，
联立，解得，∴.
∵点M应在椭圆C的内部，∴，解得.
∴实数m的取值范围是.
【变式6-3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】取中点，连接,由于,所以,进而 ,
设，设直线上任意一点，
由于是圆的切线，所以，
所以，
令 则，所以，
由中点坐标公式可得 ，
设,则，
两式相减可得，
所以 ,又，,
所以，解得，进而
故直线l的方程为，即.
【题型7 直线与椭圆相交弦长求解】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意得,
解得,，，
∴椭圆的方程为 .
由，设直线的方程为，，.
联立得，得 ，
又直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，解得，
∴，，
∴，
故当，即直线过原点时，最大，最大值为.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线l与椭圆.交于A，B两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线l的方程.
【答案】
【解析】显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得，
，
，
，
于是的面积为，解得，
所以直线的方程为，即.
【变式7-2】（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点，当时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）由题意，，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）易知直线的斜率不为0，
设，即，，
，消去y，得，
，
，
，
又，所以，解得，
所以直线l的方程为或.
【变式7-3】（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，
因为焦距为，，
又离心率，，
再由，
所以椭圆标准方程为：.
（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：
则，
，
由弦长公式,
到直线的距离,
．
【变式7-4】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点．已知，．
（1）求椭圆方程．
（2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点．若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，，，
解得，，，
所以椭圆方程为．
（2）设直线为，，，
由题意，以为直径的圆的方程为，
则圆心到直线的距离，即，
所以，
由，消去，整理得，
，解得，又，所以，
，，
，
因为，所以，解得，
又，所以，
所以直线的方程为：或．
【题型8 直线与椭圆综合问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程．
（2）已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点恒在定直线上
【解析】（1）设点的坐标为，圆的半径为．
由已知条件，得．
①当动圆与圆外切，与圆内切时，，
从而．
②当动圆与圆内切，与圆外切时，，
从而．
综上可知，圆心的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆．
易得圆与圆交于点与，
所以动圆圆心的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，．
联立直线与轨迹的方程，得
消去并整理，得．
所以，，
则有．
由已知条件，得直线的方程为，
直线的方程为，
则点的坐标满足．
又，
所以．
把代入上式，得．
故点恒在定直线上．
【变式8-1】（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，定值为
【解析】（1）依题意点、、三点共线，点、、三点共线，
则的周长为，
则的周长为，
所以，即，
椭圆的离心率为．
（2）解法一：设且，
则有，即，
由题由，
可得，则，
由题设直线，联立，
化简整理可得
显然成立，故，，
同理可得，
（定值）.
解法二：设且，则由，即有①，
由题，由，
可得，
则，，
点在椭圆上，则，则将上式代入整理得②，
②-①整理化简得，同理可得，
（定值）.
【变式8-2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.
（1）说明是什么曲线，并求的方程；
（2）设是上关于轴对称的不同两点，点在上，且异于两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）；（2）为定值，这个值为
【解析】（1）根据题意可知圆可化为，
所以可知圆心，半径，
易知和两点关于原点对称，且，
所以由椭圆定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
即，可得；
因此曲线的方程为.
（2）不妨设，，且，；则易知；
易知直线的斜率都存在，如下图所示：
所以直线的斜率为，其方程为，
可得直线交轴于点
直线的斜率为，其方程为，
可得直线交轴于点
所以，
可得；
由，可得，，；
所以；
因此为定值，.
【变式8-3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为．
（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求的值；
（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．
【答案】（1）6；（2）证明见解析
【解析】（1）设，由于，
而，则，
所以（其中），
．
（2）设，则，即，
设过点R的圆O的切线斜率都存在时的方程：，
代入椭圆方程得：，
整理得：，
则，
即，
是上述关于k的方程的两个根，则，
即两条切线的斜率都存在时，有两条切线相互垂直；
而当过R的切线斜率不存在时，易知R点的坐标为，
此时显然两条切线相互垂直，
综上，过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，则两条切线相互垂直．
【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且的离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值．若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在定点，
【解析】（1）设，．
由对称性，不妨设，
则，所以，．
因为，，
所以，
所以当时，取得最小值，所以．
由；解得；
所以椭圆的方程为．
（2）设圆的半径为，．
由（1）不妨设，则的面积，
所以，
所以，．
由，，得直线的方程为，
则点到直线的距离为．
整理，得．
把代入上式，得，
即．
由题意得，，，
所以，则．
把，代入椭圆的方程，得，
所以点在椭圆上，
所以存在定点，，使为定值2．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·山东泰安·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得离心率为，又，所以，故选：A
2．（2023·上海虹口·高三上外附中校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线可知焦点在x轴上，
由题意可得：，解得.故选：C.
3．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）设椭圆，的离心率分别为，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】对于椭圆，有.
因为，所以，解得．故选：B
4．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆上有两点、，、分别为椭圆的左、右焦点，是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设边与轴交于点，且是以为中心的正三角形，
则，且为的重心，
由重心定理可得，，则，
在中，，则，
所以，由椭圆的定义可得，
，即，
化简可得，则.故选：C
5．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的两条弦，相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则，，，，
由题知，关于轴对称，，关于轴对称，
所以，，
即，，所以，，
因为，在椭圆上，所以，
即，解得.故选：D.
6．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）从椭圆上一点（在轴上方）向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，其中为坐标原点，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知点的横坐标为，设点，其中，
将点的坐标代入椭圆方程可得，
解得，即点，
由题意可知点、，
因为，则，即，整理可得，则，
所以，.故选：B.
7．（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）设，同时为椭圆：与双曲线：的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，焦距为2c，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，
当时，可得，即，
可得，则，所以，
由，可得，可得，即，
，
可设，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，可得，
所以．故选：D.
8．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，
设内切圆分别与轴相切于点，
则，，
，
，
又
∴，
易知，
，，
设，，
当且仅当时等号成立，故选：A
9．（2023·山西大同·高二统考期中）（多选）已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是椭圆且一焦点为
C．当时，是椭圆且焦距为
D．当时，是焦点在轴上的椭圆
【答案】AC
【解析】对于A项，当时，曲线C可化为是圆，A正确；
对于B项，当时，曲线C可化为是焦点在轴上的椭圆，B错误；
对于C项，当时，曲线是椭圆，且，所以，故C正确；
对于D项，当时，曲线不是椭圆，故D错误.故选：AC.
10．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（ ）
A．的最大值为3
B．的周长为4
C．若，则的面积为
D．若，则
【答案】ACD
【解析】由题意，椭圆离心率为，则，
则，代入，得，
所以，
对，由题意，故正确；
对的周长为，故B错误；
对，若，则由余弦定理得：
.
即，故，
故，故C正确；
对D，由余弦定理
，
即，解得，
故，故D正确，故选:ACD
11．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围
【答案】
【解析】因为方程表示椭圆，
所以，解得或，
即实数的取值范围为.
12．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据椭圆的定义：，
取得最小值时，即最小，
如图所示：，
当，，共线时取得最小值．
的最小值为：﹒
13．（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知椭圆的上、下焦点分别为，，O为坐标原点．
（1）若点P在椭圆C上，且，求的余弦值；
（2）若直线与椭圆C交于A，B两点，记M为线段的中点，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，，则，
而，
故；
（2）设，，则
两式相减可得，，
则，即，
即，
而直线的斜率，
故．
14．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，①
将代入椭圆方程得：，解得，所以，②
又，③
综合①②③解得：，，，
所以椭圆M的方程为．
（2）存在．设，，，直线，
联立方程：，得，
所以，，
，，
，
当，即时，为定值，
所以存在点，使得为定值．
15．（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设动圆P的半径为r，
因为动圆P与圆M外切，所以，
因为动圆P与圆N内切，所以，
则，
由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，
设椭圆方程为，
则，，故，
所以曲线C的方程为.
（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，
联立，
得，
设点，则，
，
所以，
即，得.
则，
因为，所以，即，
直线，
所以直线l过定点.
②当直线l斜率不存在时，设直线，且，
则点
，解得，
所以直线也过定点.
综上所述，直线l过定点.满分技巧
在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．
否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在．
满分技巧
利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
满分技巧
1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；
（2）定量：依据条件及确定的值；
（3）写出标准方程；
2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。
满分技巧
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（）
性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）
拓展：∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c
∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性质2：4c2=F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csθ（余弦定理）
满分技巧
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。
满分技巧
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：