新高考数学二轮复习热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。
【题型1 椭圆的定义及概念辨析】
【例1】（2021·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个定点，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是正常数），动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是椭圆；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形.所以 SKIPIF 1 < 0 .
由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 .
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，则动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意可知：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
显然圆心 SKIPIF 1 < 0 不能与点 SKIPIF 1 < 0 重合，设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可知点M的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆（点 SKIPIF 1 < 0 除外），
且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是 SKIPIF 1 < 0 中点，且ON长度是4，则 SKIPIF 1 < 0 的长度是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设椭圆右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为N是 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
再根据椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一动点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
如图，设椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
由图形知，当 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 （与椭圆的交点）上时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不在直线 SKIPIF 1 < 0 （与椭圆的交点）上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线（与椭圆的交点）上时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间时等号成立.
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 四点共线，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 之间，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的延长线与圆 SKIPIF 1 < 0 的交点时等号成立.故选：D
【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，点M、N分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ,半径分别为 SKIPIF 1 < 0 .
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时取等号.
此时 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义可得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，取值最大或最小.
由已知得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 点位于图中 SKIPIF 1 < 0 时，根据三角形三边关系取值最大.
SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 点位于图中 SKIPIF 1 < 0 时，根据三角形三边关系取值最大.
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在椭圆C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【解析】由椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交椭圆于P，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
(当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，且点 SKIPIF 1 < 0 位于第三象限时取等号)
此时 SKIPIF 1 < 0 取最大值为 SKIPIF 1 < 0
【题型3 椭圆标准方程的求解】
【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆，则有： SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C
【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线 SKIPIF 1 < 0 经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上.
设椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，其上下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】根据题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
在椭圆中， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
即椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交椭圆E于点P．若点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ①．
由 SKIPIF 1 < 0 的周长为16，得 SKIPIF 1 < 0 ，即a+c=8②，
联立①②，解得 SKIPIF 1 < 0 ③．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ④．
联立②④，解得a=6，c=2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆E的标准方程为是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆的左、右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】2
【解析】因椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又由椭圆定义，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如下图所示：不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
根据椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由余弦定理可知 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
即可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ；故选：C
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交该椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长是 SKIPIF 1 < 0 的周长的3倍，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A．6 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
【变式4-4】（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形的点 SKIPIF 1 < 0 有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此以 SKIPIF 1 < 0 为直径作圆与 SKIPIF 1 < 0 必有四个不同的交点，
因此 SKIPIF 1 < 0 中以 SKIPIF 1 < 0 的三角形有四个，
除此之外以 SKIPIF 1 < 0 为直角， SKIPIF 1 < 0 为直角的 SKIPIF 1 < 0 各有两个，
所以存在使 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形的点 SKIPIF 1 < 0 共有8个.故选：D
【题型5 求椭圆的离心率与范围】
【例5】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若满足 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式5-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）己知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 分别为其左右焦点， SKIPIF 1 < 0 为其右顶点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
【变式5-2】（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，经过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式5-3】（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，则离心率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式5-4】（2023·重庆·统考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
根据椭圆的定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【题型6 椭圆的中点弦问题】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，点D为线段AB的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】解法一：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线AB的斜率为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
解法三：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
【变式6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 外的一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆C上有不同的两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则实数m的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C上关于直线l： SKIPIF 1 < 0 对称的两个点，
SKIPIF 1 < 0 是线段PQ的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，
得 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵点M应在椭圆C的内部，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式6-3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，圆O： SKIPIF 1 < 0 ，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ,由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,进而 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ，设直线上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 是圆的切线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0
故直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【题型7 直线与椭圆相交弦长求解】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
联立得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 过原点时， SKIPIF 1 < 0 最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 .交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点），求直线l的方程.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】显然直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直于y轴，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-2】（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，
设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，消去y，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-3】（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于A， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为焦距为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
再由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知：左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由弦长公式 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ．
【变式7-4】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆方程．
（2）若斜率为1的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于A，B两点，与以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆交于C，D两点．若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型8 直线与椭圆综合问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 均相切，且一个内切、一个外切．
（1）求动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ．试问：点 SKIPIF 1 < 0 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）点 SKIPIF 1 < 0 恒在定直线 SKIPIF 1 < 0 上
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
由已知条件，得 SKIPIF 1 < 0 ．
①当动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，与圆 SKIPIF 1 < 0 内切时， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
②当动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，与圆 SKIPIF 1 < 0 外切时， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
综上可知，圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，6为长轴长的椭圆．
易得圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程，得 SKIPIF 1 < 0
消去 SKIPIF 1 < 0 并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ．
由已知条件，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ．
故点 SKIPIF 1 < 0 恒在定直线 SKIPIF 1 < 0 上．
【变式8-1】（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上三个不同的动点（点 SKIPIF 1 < 0 不在 SKIPIF 1 < 0 轴上），满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的周长的比值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）是定值，定值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）依题意点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线，
则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解法一：设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
化简整理可得 SKIPIF 1 < 0
显然 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （定值）.
解法二：设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ①，
由题 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，则将上式代入整理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
②-①整理化简得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （定值）.
【变式8-2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知平面上动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 与到圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于该圆的半径.记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）说明 SKIPIF 1 < 0 是什么曲线，并求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的不同两点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 异于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为原点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，试问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 为定值，这个值为 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）根据题意可知圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可知圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两点关于原点对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由椭圆定义可知 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，长轴长为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
因此曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；则易知 SKIPIF 1 < 0 ；
易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率都存在，如下图所示：
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因此 SKIPIF 1 < 0 为定值， SKIPIF 1 < 0 .
【变式8-3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆C的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．
【答案】（1）6；（2）证明见解析
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点R的圆O的切线斜率都存在时的方程： SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是上述关于k的方程的两个根，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即两条切线的斜率都存在时，有两条切线相互垂直；
而当过R的切线斜率不存在时，易知R点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时显然两条切线相互垂直，
综上，过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，则两条切线相互垂直．
【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于左、右顶点的动点， SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，且 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）若圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的三边都相切，判断是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值．若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由对称性，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ；解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 代入上式，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值2．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·山东泰安·高三统考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
2．（2023·上海虹口·高三上外附中校考期中）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，则实数a为（ ）
A．1 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 可知焦点在x轴上，
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
3．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1 B．2 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】对于椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B
4．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆 SKIPIF 1 < 0 上有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为中心的正三角形，则椭圆离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 边与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为中心的正三角形，
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，
由重心定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆的定义可得，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
5．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限），且 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
6．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）从椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方）向 SKIPIF 1 < 0 轴作垂线，垂足恰好为左焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】易知点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
7．（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内交于点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦距为2c，
由椭圆定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
8．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的任意一点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，点 SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设内切圆分别与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故选：A
9．（2023·山西大同·高二统考期中）（多选）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是圆
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是椭圆且一焦点为 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是椭圆且焦距为 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆
【答案】AC
【解析】对于A项，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C可化为 SKIPIF 1 < 0 是圆，A正确；
对于B项，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线C可化为 SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，B错误；
对于C项，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D项，当 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 不是椭圆，故D错误.故选：AC.
10．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）（多选）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为3
B． SKIPIF 1 < 0 的周长为4
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】由题意，椭圆离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对D，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，故选:ACD
11．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据椭圆的定义： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，即 SKIPIF 1 < 0 最小，
如图所示： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线时取得最小值．
SKIPIF 1 < 0 的最小值为： SKIPIF 1 < 0 ﹒
13．（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点．
（1）若点P在椭圆C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，记M为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
两式相减可得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
而直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，①
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
又 SKIPIF 1 < 0 ，③
综合①②③解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆M的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）存在．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
15．（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）设动圆P的半径为r，
因为动圆P与圆M外切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为动圆P与圆N内切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可知，曲线C是以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，
设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①当直线l斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 .
②当直线l斜率不存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 也过定点 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 .满分技巧
在椭圆的定义中条件 SKIPIF 1 < 0 不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．
否则：①当 SKIPIF 1 < 0 时，其轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ； ②当 SKIPIF 1 < 0 时，其轨迹不存在．
满分技巧
利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
满分技巧
1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；
（2）定量：依据条件及 SKIPIF 1 < 0 确定 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）写出标准方程；
2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点的坐标代入，解方程组求得系数。
满分技巧
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（ SKIPIF 1 < 0 ）
性质1：，.（两个定义）
拓展：的周长为
的周长为
性质2：（余弦定理）
满分技巧
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。
满分技巧
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：