新高考数学二轮专题重难点培优训练热点5-2 等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点培优训练热点5-2 等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）（2份，原卷版+解析版），共8页。
主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。
【题型1 等比数列的基本量计算】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·辽宁·高三统考期中）已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【变式1-3】（2023·四川雅安·统考一模）在等比数列中，若，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 等比数列性质的应用】
【例2】（2023·湖南永州·高三校考阶段练习）在等比数列中，若，则（ ）
A．1 B．2 C．10 D．100
【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ．
【变式2-3】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
【变式2-4】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，， ．
【题型3 等比数列单调性及应用】
【例3】（2023·福建厦门·高三厦门第二中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（ ）
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【变式3-1】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
【变式3-3】（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最小项 D．当时，的最小值为4045
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【题型4 等比数列前n项和性质应用】
【例4】（2023·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知各项均为实数的等比数列的前项和为，若，，则 （ ）
A．150 B．140 C．130 D．120
【变式4-1】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A．27 B．39 C．81 D．120
【变式4-2】（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．9 C．16 D．17
【变式4-3】（2023·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）（多选）已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在和，使得．
B．若为的前项和，则，，，成等差数列
C．若为的前项和，则，，，成等比数列
D．当时，存在实数A、使得
【变式4-4】（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）记为等比数列的前n项和，．
（1）若，求的值；
（2）若，求证：．
【题型5 等比数列的判定与证明】
【例5】（2022·新疆·统考一模）在数列中，，，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【变式5-1】（2023·上海·高三校考期中）已知数列的前n项和为，且为正整数.
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前n项和.
【变式5-2】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若成立，求的最小值.
【变式5-3】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设是数列的前项和，已知
（1）求，并证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数.
【变式5-4】（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列满足，且．
（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【题型6 等比数列的实际应用】
【例6】（2023·山东青岛·青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【变式6-1】（2023·广东广州·统考三模）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
【变式6-3】（2023·安徽·高三马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）0.618是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023·山东·统考一模）假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求：
（1）截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？
（2）哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？
（建议用时：60分钟）
1．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在正项等比数列中，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人第4天与第5天共走的里程数为（ ）
A．24 B．36 C．42 D．60
4．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A．48 B．72 C．96 D．112
5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈三中校考期末）若数列满足（且），则与的比值为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（ ）
A．13 B．12 C．6 D．3
7．（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设等比数列的公比为，且，设甲：；乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】等比数列的公比为，且，当时，，因此；
当时，有，即，而，则，
又，，于是，即，又，因此，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）（多选）已知数列的前n项和为，，，若，（是常数），则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C． D．
10．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）（多选）已知正项等比数列的前n项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2023·广东汕头·高三黄图盛中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的通项公式 .
12．（2023·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知数列满足，，若为数列前项和，则 .
13．（2023·高三课时练习）已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则 .
14．（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）在数列中，且满足（且）．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
15．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，记.
（1）证明：是等比数列；
（2）记，证明；数列的前项和.满分技巧
等比数列的运算技巧
1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；
2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。
满分技巧
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
满分技巧
等比数列前n项和的函数特征
1、与的关系
（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，
它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。
2、与的关系
当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为
设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。
满分技巧
等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
（2）对，有；
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）
满分技巧
1、定义法：为常数且数列是等比数列．
2、等比中项法：数列是等比数列．
3、通项公式法：数列是等比数列．
4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.