新高考数学二轮专题重难点培优训练热点3-1 同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点培优训练热点3-1 同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换（2份，原卷版+解析版），共8页。
基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考中的一个必考内容。一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下；但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。
【题型1 正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2024·四川攀枝花·统考二模）若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据的终边经过点，则，
则故选：A
【变式1-1】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
满分技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cs α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cs α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，
所以，且，
故，即，
所以.故选：B
【变式1-3】（2023·西藏林芝·高三统考期末）若，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，，
所以
.
【变式1-4】（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以
.
【题型2 sina±csa与sina·csa关系】
【例2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知是三角形的一个内角，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，两边平方得，
即，可得，
因为是三角形的一个内角，且，所以，
所以，得，
又因为，，
联立解得：，，故有：，
从而有．故选：B．
【变式2-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知，且，则下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
满分技巧
对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cs α＝t(t∈[－，])，则sin αcs α＝，sin α－cs α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
【解析】因为，所以，故A错误；
因为，
又，所以，所以，故B正确；
，
又，所以所以，故C错误；
联立解得，
所以，故D错误；故选：B.
【变式2-2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）已知，A为第四象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
可得，
.
.
又 A为第四象限角，
又，所以，，所以.故选：C.
【变式2-3】（2023·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）函数y＝sin x＋cs x－sin xcs x的值域为 ．
【答案】[－，1]
【解析】，
令，则，，
因为函数在上单调递增，上单调递减，
所以当时取得最大值，，
当时取得最小值，，
所以函数的值域为.
【变式2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知得①，②，
将①两边同时平方得，
则，所以；
（2）∵，，，
∴，，∴，
.
【题型3 诱导公式化简求值】
满分技巧
利用诱导公式化简求值的解题策略
1、条件求值问题的策略
（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【例3】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，
所以.故选：B
【变式3-1】（2023·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，由诱导公式得，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.故选：B.
【变式3-2】（2023·安徽·高三校联考期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
【答案】D
【解析】因为，得到，
所以，故选：D.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
从而
.故选：A.
【变式3-4】（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）若，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以.
【题型4 同角关系与诱导公式综合应用】
【例4】（2023·重庆永川·高三永川北山中学校校考期中）已知，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由，即，
又，解得，
.故选：B.
【变式4-1】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知，则等于（ ）
A．1 B．－ C． D．－
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，故选:D.
【变式4-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，则，
所以，，
联立，解得，
因此，，故选：B.
【变式4-3】（2024·山西运城·高三校考期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
因为角的终边经过点，则，则，故选：C.
【变式4-4】（2023·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知，且为第三象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，且为第三象限角，
结合可知.
（2）由诱导公式可知，，，
，
因此由题意有
.
【题型5 三角恒等变换之给角求值】
满分技巧
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解。
【例5】（2022·江苏常州·高三校联考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确．
对于选项C：，故C错误．
对于选项D：，故D错误.故选：AB．
【变式5-1】（2024·湖北·校联考模拟预测）在中，已知，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，
得到，
整理得，所以，故选：A.
【变式5-2】（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】原式
，故选：C.
【变式5-3】（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
.故选：B.
【变式5-4】（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）求值：（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
，
．故选：D．
【题型6 三角恒等变换之给值求值】
【例6】（2024下·福建·高三校联考开学考试）已知，，则（ ）
满分技巧
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
等.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
有．故选：B．
【变式6-1】（2022·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，
而，
故，故选：B
【变式6-2】（2023·河北邯郸·高三校考阶段练习）已知，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，则，又，
则，得.
因，则.
又，则，
结合，则，得，
则.
又注意到，
则
.故选：B
【变式6-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【解析】已知，
则，
，
，，
则，，
则.
故选：A.
【变式6-4】（2023·广西·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故，又，
故，，
.故选：D.
【题型7 三角恒等变换之给值求角】
【例7】（2023·贵州铜仁·高三思南中学校考阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】∵和均为钝角，
∴，．
∴．
由和均为钝角，得，∴．故选：D
【变式7-1】（2024·山西太原·高三统考期末）已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，
满分技巧
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
，∴．故选：C．
【变式7-2】（2023·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】方程中，，则，
于是，显然，
又，则有，，所以.故选：B
【变式7-3】（2022·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，因为，则，可得，
因为，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.故选：A.
【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）已知，均为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：因为，所以，
所以，
则，整理得，
所以，
又，均为锐角，所以，所以.
法二：因为，所以，
所以，
所以，
即，
即，所以，
又，均为锐角，所以，所以，故选：D．
【题型8 三角函数化简求值综合】
【例8】（2023·河南·高三阶段练习）已知．
（1）求的值；
满分技巧
三角函数式的化简遵循“三看”原则
一看式中各角：通过把三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二次式配方”等。
（2）已知，求.
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）原式
，
（2）由可知即；
.
【变式8-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）设，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为.
.
.
（2）因为：，.
所以：.
设，则，且，
所以：，
当时，.
所以的最小值为.
【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由题意知
．
故函数的最小正周期．
令．解得．
所以的单调递增区间为，
（2）因为．
又．所以，
所以，
所以．
【变式8-3】（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知.
（1）若，求的值；
（2）若且，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可得：，
由已知，得，
所以.
（2）由，可知，
则.
因为，则，
且，可得，
则，所以.
【变式8-4】（2023·山西太原·高三统考期中）已知函数.
（1）求的单调递增区间和对称中心；
（2）当时，，求的值.
【答案】（1）递增区间为（），对称中心为（）；（2）
【解析】（1），
由（）得，
所以的单调递增区间为（）；
由（）得，
所以的对称中心为（）；
（2）由（1）可得，所以，
因为，所以，所以，
所以.
（建议用时：60分钟）
1．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
.故选：A
2．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.故选：B
3．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B
4．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，则，则，
又，则，即，
又，，则．故选：C．
5．（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，即，
整理可得，解得，且有
因此，.故选：A.
6．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
，故选：B.
7．（2022·河南·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，即，解得或（舍去），
又，得，故．
（另解：由已知得，解得或（舍去），
又，则，故．）故选：D．
8．（2024·河北·高三校联考期末）设，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，故，
因为，所以，
故，解得，故选：C．
9．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
对于A：若，则，故A错误；
对于B：因为，，故B错误；
对于C：因为，故C错误；
对于D：因为，故D正确.故选：D.
10．（2024·全国·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，得，．
又，
所以．
所以．
所以．故选：C．
11．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）（多选）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由得，，则，
因为，，
所以，所以，
由，解得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
，即，
解得或（舍去），故C正确；
对于D，，故D错误，故选：BC．
12．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，
所以，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，设，
因为，
所以，
因为，
所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：BCD．
13．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）（多选）已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，所以为第一象限角或第三象限角．
当为第一象限角时，，；
当为第三象限角时，，，所以，故A项正确；
；故B项错误；
，故C项正确；
，
当为第一象限角时，原式；
当为第三象限角时，原式，故D项错误．故选：AC
14．（2023·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）（多选）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；故选：AB.
15．（2023·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）已知，则
【答案】
【解析】由诱导公式得，故，
由两角正切的和差公式得
16．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知，，，，则 .
【答案】
【解析】解法一 ：因为，，所以，
，得，
因为，所以，得.
解法二：因为，，所以，，
，得，
得.
17．（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）若，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以.
18．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为
，
所以的最小正周期.
（2）将函数图象向右平移个单位长度得到
，
则，所以，
因为，所以，所以，
所以.
19．（2023·天津·高三校联考期中）已知函数，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由
，
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，
所以，可得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由，可得，
因为，可得，所以，
所以.
20．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知是方程的根.
（1）求的值；
（2）若是第四象限角，，求的值.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）因为是方程的根，所以或（舍），
则原式
，
由，所以是第三象限或第四象限角，
若是第三象限角，则，此时；
若是第四象限角，则，此时.
故所求式子的值为或.
（2）由（1）知，当是第四象限角时，，
由，得，
所以.