新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第30讲 数列求和（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第30讲 数列求和（精讲）（2份，原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了知识点梳理，几种数列求和的常用方法，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、公式法
（1）等差数列的前n项和
（2）等比数列的前n项和
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二、几种数列求和的常用方法
（1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
【常用结论】
裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
⑤阶乘
（1）
二、题型分类精讲
题型一 裂项相消法
策略方法
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【典例1】正项的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，求证．
【典例2】已知数列的各项均为正数，其前项和满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南·校联考模拟预测）设数列的通项公式为，数列的前项和为，那么等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列，四边形数组成数列，记，则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广东广州·统考一模）若数列满足，则的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）数列满足，其前项和为若恒成立，则的最小值为 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，总有，，成等差数列，又记，数列的前项和 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，则的前n项和 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）数列中，且，则 .
三、解答题
11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
12．（2023·河北张家口·统考三模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．
15．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．（2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知等差数列，其前项和满足为常数.
(1)求及的通项公式；
(2)记数列 ，求前项和的.
19．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)证明：．
(2)设为数列的前n项和，证明：．
21．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
22．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
23．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
24．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列的前项和.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①；②；③.
题型二 错位相减法
策略方法 错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
【典例1】在数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2023·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn﹣2Sn﹣1﹣2＝0（n≥2），则数列{nan}的前n项和Tn＝ ．
5．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，，，则数列的前n项和为 .
6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知数列和数列，，.设，则数列的前项和 .
三、解答题
7．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
8．（2023春·河南·高三阶段练习）在等比数列中，，且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
10．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列的通项公式；
(2)设数列，求出数列的前项和．
11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）设数列的前项和为，且，，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
12．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列满足，，
(1)若数列是等比数列，求及的通项公式；
(2)若数列满足：，数列的前项和为，求证：.
13．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模） 已知数列是正项等比数列，且.
(1)求的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
14．（2023秋·广东河源·高三校联考开学考试）正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
15．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列的首项为1，前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足条件①；②，请从条件①②中选一个，求出数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型三 分组（并项）求和法
策略方法 分组转化法求和的常见类型
【典例1】已知数列的前项和，且；
(1)求它的通项
(2)若，求数的前项和.
【典例2】在等差数列中，，．
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）若数列的首项为1，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)求的前n项和．
3．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）设数列的前项和满足，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列满足，．
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
5．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足，
(1)记，求证：为等比数列；
(2)若，求.
6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知正项数列的前n项和其中A，B，q为常数．
(1)若，求证：数列是等比数列；
(2)在（1）的条件下，若，求数列的前10项和．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知首项为3的数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
8．（2023·广东东莞·校考三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求.
11．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和，其中，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
12．（2023·云南曲靖·校考三模）已知数列满足.记.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前项和为，求数列的前20项的和.
13．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
14．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
17．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）设数列的前项和为，，点在直线上．
(1)求及；
(2)记，求数列的前20项和．
18．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前2n项的和.
题型四 倒序相加法
策略方法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【典例1】设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
4．（2023·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝ (x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.
6．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．
（1）计算的值．
（2）求数列的通项公式．
（3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
7．（2023·全国·高三专题练习）设奇函数对任意都有
求和的值；
数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；
8．（2023·全国·高三专题练习）设，是函数的图像上的任意两点.
（1）当时，求的值；
（2）设，其中，求；
（3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前n项的和，求证.
9．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
题型五 数列求和的其他方法
【典例1】已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，当时，，则等于（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
2．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知为数列的前项和，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其前项和为，则满足的的最小值为（ ）
A．30B．31C．32D．33
4．（2023·全国·高三专题练习）对于实数，表示不超过的最大整数．已知数列的通项公式，前项和为，则（ ）．
A．155B．167C．173D．179
5．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，且满足，，则（ ）.
A．0B．4C．74D．80
二、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为 .
三、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，公差，是和的等比中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2） 求数列的前n项和.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
12．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项之积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.
14．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
①裂项相消法
②错位相减法
③分组（并项）求和法
④倒序相加法
⑤数列求和的其他方法