新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第30练 数列求和（精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第30练 数列求和（精练）（2份，原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
4．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
5．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
6．（2021·天津·统考高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
7．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
【综合训练】
一、解答题
1．已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；
（2）利用分组求和法求出答案即可.
【详解】（1）∵，
∴，，解得，∴；
（2）由题可知，∴，
∴，
2．设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分组求和即可求解.
【详解】（1）解：，解得，
；
（2）

.
3．在等差数列中，
(1)求的通项公式；
(2)若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和法即可得解.
【详解】（1）设公差为，则，解得，
则，所以，
所以；
（2），
因为是公比为2的等比数列，
所以，
所以，.
所以
.
4．在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式和前n项和；
(2)设，求数列的前n项和公式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出结果.
【详解】（1）公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，
所以，即，
解得，
则，
.
（2）由（1）可知，，
可得数列的前项和
.
5．设正项数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用、的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得，即可证明.
【详解】（1）因为，
当时，，又，则；
当时，，，两式相减，
整理可得，又为正项数列，即，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
所以，
所以.
6．已知数列，满足，且，数列是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列定义得，即，再由且求的通项公式，注意验证的情况；
（2）令，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求结果.
【详解】（1）由题设，又是公差为1的等差数列，
所以，故，
又且，则，
故，显然也满足，
综上，.
（2）令，
则，
所以
，
所以.
7．记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；
（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．
【详解】（1）设的公差为d，因为，
所以，解得，
又，所以．
所以．
（2）因为，
所以
，
由，解得，
所以．
8．已知递增数列满足．
(1)求；
(2)设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)；
(2)Sn=.
【分析】（1）由题可得，然后根据等差数列的概念即得；
（2）利用错位相减法即得.
【详解】（1）由，得，
即，
若，则，又，
所以数列为首项为7公差为4的等差数列；
若，由，得，（舍去）；
综上：；
（2）由（1）知，，所以数列的前n项和，
作差可得：
，
所以，
故的前n项和为Sn=.
9．已知在公差不为零的等差数列中，，是与的等比中项，数列的前n项和为，满足
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设出公差，根据等比中项列出方程，求出公差，得到通项公式，并根据得到为公比为2的等比数列，求出通项公式；
（2）在（1）的基础上，利用错位相减法求出和.
【详解】（1）由题意得，设公差为，
又，所以，解得或0，
因为公差不等于0，所以，
故；
①中，当得，解得，
当时，②，①－②得，即，
中，当时，，解得，满足，
故为公比为2的等比数列，故；
（2），
，故，
两式相减得
，
解得.
10．数列满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求的前项和为.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据对数的运算和等比数列的定义证明；
（2）利用分组求和以及错位相减法求和.
【详解】（1）
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，，所以，
设设其前项和为，
则①
②
减②得
所以
所以
11．设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，作差求出公比，即可得出答案；
（2）由（1）得，可得，利用分组求和法计算可得．
【详解】（1）设等比数列的公比为，
①，，
当时，有，
当时，②，
由①②得，即，
，，
，
；
（2）由（1）得，则，
，，
，
．
12．已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项的和．
【答案】(1)，
(2)210
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质计算即可；
（2）利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，又，所以．
因为是一个等比数列的前三项，所以．
即又，所以
所以数列的通项公式为，
（2）由（1）知数列的前项和
所以，数列的前20项的和为
13．设数列满足
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)数列满足，求的值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等比数列定义证明并求通项公式即可；
（2）求得，对用错位相减求和，即可求得答案.
【详解】（1）
，
数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，则.
（2）因为，所以，
令，且数列前项和为，
则①，
②，
由①-②得
，
则，
所以
14．从①；②；③三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列，满足，且，，______，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选①，选②，选③
【分析】先根据递推公式可得，进而得到.选①：化简可得，直接可得；选②：化简可得，再代入裂项求和即可；选③：，错位相减求和即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，所以，.
选①：，
所以，
选②：，
所以，
选③：，所以，
，
两式相减，可得
15．已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设，别是数列的，前项和，且，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得，运用等比数列的求和公式和裂项相消求和的方法，计算可得所求和.
【详解】（1）∵数列，都是等差数列，且，，
∴，即，解得
∴，.
综上，，
（2）由（1）得：
∴
16．设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，求得数列的通项公式，即可求出的通项公式；
（2）由题知，进而根据裂项求和法求解即可.
【详解】（1）因为，所以当时，，
所以，即，
则，
当时，，解得，则，
从而是首项为2，公比为2的等比数列，
故，即；
（2）由（1）知，
所以．
17．已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据与的关系即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）①，
当时，，解得.
当时，②，
①-②，得，所以，
又，符合上式，故.
（2）由（1）知，则，
所以，
则
.
18．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）由题意得：；
当时，，又，；
当且时，，
整理可得：，
，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（2）由（1）得：，
.
19．已知数列为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，，
因为，
所以，
又因为，
所以，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以
数列的前n项和为
，
由得，即证.
20．已知是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)将，的项从小到大排序，组成一个新的数列，记的前项和为，若，求的值，并求出．
【答案】(1)，．
(2)，2726
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项的性质即可分别求出通项.
（2）由（1）知，，，若，则含前项，前项，然后利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，
因为，
所以，，，
故．
因为，
所以，即，，
故．
（2）因为与均为递增数列，
且，，，
所以当时，，故．
．
21．已知数列满足，.
(1)记，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求的前2n项和.
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；
（2）利用（1）中的结果求数列的通项公式，并结合并项求和运算求解.
【详解】（1）由题意可知：，
且，
所以数列是以首项，公比的等比数列，
可得.
（2）由（1）可知：，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上所述：.
可得当为奇数时，，
则
，
所以.
22．已知数列的首项.
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对两边加1，变形可得，从而可证得结论；
（2）由（1）可求出，则可求出，然后利用裂项相消法可求出，再利用放缩法可证得结论.
【详解】（1）
，
，
又
是以4为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
，
，
，
.
23．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；
（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】（1）因为，即，
则，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，所以.
所以
，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得；
综上所述：.
24．已知数列满足，数列为等比数列且公比，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，若，记数列满足求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的关系可得公比，再进而可得为等差数列即可；
（2）由得，，再根据分组求和方法求解即可.
【详解】（1）因为，
令得，又数列为等比数列，设公比为有，而，解得，则，
因此，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.
（2）由①知数列是公比为2的等比数列，
由得，，
解得，则，
因此，
即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶
数项是以4为首项4为公比的等比数列，所以
25．已知函数关于点对称，其中为实数.
(1)求实数的值；
(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；
（2）根据倒序相加法，可得答案.
【详解】（1）由题知，即，
整理得，解得 ；
（2）由题知，，且，
则，
又，
故，
即.
26．已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可；
（2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值.
【详解】（1），
当时，，
两式相除得；，
又符合上式，故；
（2），
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则
27．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用已知与2的等差中项等于与2的等比中项，推出 并由此得出，进而得的递推关系，从而推得数列的通项公式；
（2）要证，即证，将看作每项都减去1，故令，利用的通项公式求得，并利用裂项相消法求和，进而得证.
【详解】（1）由题意，有 ，整理得，
则，所以，
, ,
整理得 ，
由题意知 ，∴,
∴数列为等差数列，其中，公差,
∴，
即通项公式为；
（2）要证，
即证，
，令,
则，
故
，
∴.
【点睛】关键点点睛：令，并利用裂项相消法求和，是解决第二问的关键.
28．已知函数，对任意，都有．
(1)求的值．
(2)数列满足：，求数列前项和．
(3)若，证明：
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）依题意令，即可得解；
（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到，最后利用错位相减法计算可得；
（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为对任意，都有，
令，所以，所以.
（2）因为，
令，则，
①，
又②，
两式相加得：
，
所以．
，
所以③，
④，
③④可得，
，
所以；
（3）由（2）可知，
所以，
所以
，
所以.
29．已知各项都为正数的等比数列的前项和为，数列的通项公式，若，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用等比数列的通项公式及性质，由，，结合题设条件，即可求解；
（2）借助题设运用分类整合思想及错位相减法求解.
【详解】（1）∵数列的通项公式，
∴，
设各项都为正数的等比数列的公比为，则，
∵，∴，①
∵是和的等比中项，∴，解得，②
由①②得，解得或（舍去），
∴；
（2）
当为偶数时，
，
设，③
则，④
③减④，得，
∴，∴，
当为奇数，且时，
，
经检验，符合上式，
∴
30．函数，数则满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式；
（2）由（1）得，裂项相消求和得，求出的取值范围.
【详解】（1）证明：
，
则，
，
两式相加，得，即.
（2）由（1），，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，，
，
，
由题，，所以，
因为，
设，，
由对勾函数的性质，当时，最小，即，
所以当时，最大，即，
所以.
31．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的，都有．
（）写出数列的前项．
（）求数列的通项公式（写出推证过程）．
（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数的值．
【答案】（1），，（2）（3）的最小值是．
【详解】分析：（1）在中，令，求；令，求；令，可求；（2）根据与的固定关系，得，化简整理可得是首项为，公差为的等差数列，从而可得结果；（3）把（2）题中的递推关系式代入，根据裂项相消法求得，可得，解不等式即可得到对所有都成立的最小整数.
详解：（）时，∴；
时，∴；
时，∴．
（）∵，
∴，
两式相减得：即，
也即，
∵，
∴，
即是首项为，公差为的等差数列，
∴，
（3），
．
∵对所有都成立，
∴即．
故的最小值是．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
32．设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）见解析 ； （2）.
【分析】（1）利用数列的递推关系式，化简，变形为，即可得到，证得数列为等比数列，进而求得的通项公式；
（2）利用“乘公比错位相减法”，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解．
【详解】（1）由题意，数列满足，
当时，则，解得，
当时，则，整理得，
所以，即，即，
又由，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，解得，
即数列的通项公式为．
（2）由（1）可得，
设，
，
所以，
又由，
所以数列的前n项和为：
．
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.