新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第08讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第08讲 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）（2份，原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
1.函数的奇偶性
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
3.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【常用结论】
1.奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
4.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
二、题型分类精讲
真题刷刷刷
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
题型一 函数的奇偶性
策略方法 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型训练】
一、单选题
1．函数的奇偶性是（ ）
A．是奇函数，不是偶函数
B．是偶函数，不是奇函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．非奇非偶函数
2．已知奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
3．若函数为奇函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
5．函数为偶函数，当时，，则时，___________．
6．，若，则__________.
7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是__________.
三、解答题
8．已知函数
(1)求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并加以证明
9．已知函数．
(1)求的值；
(2)令，求证：为奇函数；
(3)若锐角满足，求的取值范围．
题型二 函数奇偶性的应用
策略方法 已知函数奇偶性可以解决的三个问题
【典例1】若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．5D．7
【典例2】若函数是偶函数，则、的值是（ ）
A．B．不能确定，
C．，不能确定D．
【典例3】偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，使的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数为上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．＋1D．
4．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数在上单调递增，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）
A．为奇函数B．C．D．
三、填空题
9．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.
12．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_________.
题型三 函数的周期性
策略方法 函数周期性的判断与应用
【典例1】若函数满足，则可以是（ ）
A．B． C． D．
【典例2】若定义域为的奇函数满足，且，则 （ ）
A．B．C．D．
【典例3】已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数是定义在R上奇函数，且，，则（ ）
A．0B．C．2D．1
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的图像关于y轴对称，且周期为3，又，则的值是（ ）
A．2023B．2022C．D．1
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．3C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数满足，下列说法正确的是（ ）
A．函数是以2为周期的周期函数
B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为偶函数
D．函数为偶函数
三、填空题
7．（2023·江西南昌·统考二模）是以2为周期的函数，若时，，则________．
8．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为的奇函数满足，且，则________．
9．（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为__________.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
题型四 函数的对称性
策略方法 函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】已知二次函数满足，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若的偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则与得大小关系是
A．B．C．D．不能确定
3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于坐标原点对称B．的图象关于轴对称
C．的最大值为1D．在定义域上单调递减
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）的定义域为R，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期B．
C．D．
三、填空题
6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）定义在R上的非常数函数满足：，且.请写出符合条件的一个函数的解析式______.
7．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则_________.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
四、解答题
9．（教材习题全解第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
题型五 函数性质的综合应用
【典例1】若的定义域为，且满足为偶函数，的图象关于成中心对称，则下列说法正确的个数是（ ）
①的一个周期为4
②
③图象的一条对称轴为
④
A．1B．2C．3D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（河南省豫南名校2023届高三下学期四月联考理科数学试题）已知定义在上的函数满足，，在区间内单调且，则（ ）
A．B．5055
C．D．1011
2．（湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）函数的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）定义在上的函数满足，，若，其中为正整数，则（ ）
A．2是的一个周期B．
C．的图象关于对称D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称
C．函数是以为周期的周期函数D．函数是以为周期的周期函数
三、填空题
7．（2020·北京·统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知R上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，给出下列判断：①；②在上是增函数；③的图象关与直线对称；④函数在处取得最小值；⑤函数没有最大值，其中判断正确的序号是______ ．
①函数的奇偶性
②函数奇偶性的应用
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称