第08练 函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精练）-【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·北京通州·统考模拟预测）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数在上递减，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为奇函数，
又函数在单调递增，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意；
对于D，函数，
因为，所以函数不是增函数，故D不符题意.
故选：B.
2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，函数都满足，又，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】通过分析得，则.
【详解】根据题意，，且，
则，，则，故，
所以函数的周期为6，所以．
故选：D．
3．（2023·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算和的值即可得到正确答案.
【详解】因为，
且函数定义域为，关于原点对称，所以是偶函数，其图象关于轴对称，排除C；
，排除B；，排除D.
故选：A.
4．（2023·高三课时练习）设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数为偶函数可将不等式化为，即可利用单调性求解.
【详解】是定义在上的偶函数，，
则不等式为，则，
在上是严格减函数，
，解得或，又定义域为，
故不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】本题考查利用偶函数的性质解不等式，将不等式化为利用单调性求解是解题的关键.
5．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减,再逐项分析即可.
【详解】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减.
A不满足②，B不满足①，
C不满足②,因为在单调递减，在单调递增.
对于D,满足①,当,单调递减,也满足②.
故选：D.
6．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】讨论与0、1的大小关系，写出的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.
【详解】因为.
①当时，.
②当时，.
③当时，.
综上所述：.
故选：D.
7．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设函数，则（ ）
A．关于对称B．关于对称
C．关于对称D．关于对称
【答案】D
【分析】根据函数对称性的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，因为，
所以不关于对称，故A错误.
对选项B，因为，
所以不关于对称，故B错误.
对选项C，因为，
，，
所以不关于对称，故C错误.
对选项D，因为，
所以关于对称，故D正确.
故选：D
8．（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
【答案】ABC
【分析】根据题意求得函数的周期为，结合函数的周期性和，逐项判定，即可求解.
【详解】由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
所以函数的周期为，所以A正确；
由，即，所以，且，
又由，
所以，所以B正确；
由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确；
由在上有，
所以函数在上有5个零点，所以D错误.
故选：ABC.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数B．周期为2
C．D．是奇函数
【答案】AD
【分析】由于的定义域为，且关于中心对称，可知是奇函数，又关于对称，由此即可求出函数的周期，根据函数的奇偶性及周期性判断各项的正误.
【详解】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；
因为关于直线对称，即，所以，
所以函数的周期，故B项错误；
，故C项错误；
，所以是奇函数，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题
11．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）设是定义在上的奇函数，且，又当时，，则的值为______.
【答案】1
【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以的周期为4，
因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以
，
故答案为：1
12．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________．
【答案】
【分析】由奇函数性质得，再根据奇函数求解析式即可.
【详解】解：因为为上的奇函数，当时，，
所以，解得．
所以当时，．
当时，．
所以．
所以．
所以，时，
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.
【答案】
【分析】首先根据题意得到函数是以4为周期的周期函数，再结合奇函数的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意，函数满足，
化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为为奇函数，
所以，
因为，即，
所以.
故答案为：
14．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________.
【答案】/
【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案.
【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，，
由，则.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】．
【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.
【详解】令
因为在区间上是增函数，
所以
因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．
故答案为：.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的函数图象特征，利用函数的奇偶性排除BC；利用的正负即可判断作答.
【详解】对于B，，，函数是偶函数，B不是；
对于C，，，函数是偶函数，C不是；
对于D，，，D不是；
对于A，，，函数是奇函数，
且，A符合题意.
故选：A
2．（2023·上海宝山·统考二模）已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．8
【答案】A
【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数为偶函数，则，
即，可得，
整理得，故，解得，
∴.
若正实数a、b满足，即，可得，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值为.
故选：A.
3．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故选：B.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（ ）
A．0B．1C．-1D．2
【答案】B
【分析】由函数的奇偶对称性推得是周期为4的函数，并求得，最后利用周期性求目标函数值.
【详解】由是偶函数，，则，又，
，
所以是周期函数，周期为4，
对于，令，得，则，
所以.
故选：B
5．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（ ）
A．10B．-10C．D．-
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得的值，最后利用周期性即可求得的值.
【详解】由为奇函数可得：，即①，则关于点对称，令，则；
由②，得的图象关于直线对称；
由①②可得：，即，所以，故，所以函数的周期；
所以，即，
联立，解得，故.所以.
故选：A.
二、多选题
6．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）
A．为奇函数B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数定义换算可得为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.
【详解】因为为奇函数，所以，故
又，所以，故，
所以，为偶函数，A错误；
为奇函数，所以，，
所以，B正确；
，又的图象关于点对称，所以，
所以，C正确；
又，所以是以4为周期的函数，
，D正确．
故选：BCD．
7．（2023·江苏·统考三模）已知函数及其导函数的定义域均为，，，且当时，，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】BC
【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.
【详解】因，则关于对称，又因，则关于对称，所以的周期为4，
A：因，所以，
当时，，所以，∴，故A错．
B：当时，∴在上单调递减， ，，
因，所以，即，
所以，故B正确.
C：关于对称且关于对称，所以关于对称，即为奇函数，为偶函数，故C正确.
D：因在上单调递减，关于对称，所以在上单调递减，因的周期为4，所以在上单调递减，所以，D错误.故选：BC.
三、填空题
8．（2023春·上海虹口·高三统考期中）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域.
【详解】因为为上的奇函数，
所以，所以，
又当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，，
因为为上的奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
9．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数满足以下三个条件：
①是偶函数；②；③的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数的性质，结合所学函数可得.
【详解】因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，
因为，所以，即
所以的图象关于点对称，所以4为的一个周期，
又的最大值为4，所以满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
10．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】利用导数判断当时，的单调性，结合偶函数解不等式.
【详解】当时，，，
则在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，则在上单调递减，
若，即，
可得，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围___________.
【答案】
【分析】构造函数，可得为奇函数，再利用导数判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由，得，
设，则，为奇函数，
又，在上是减函数，从而在上是减函数，
则，
等价于，
即，
，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·河北·高三学业考试）已知二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)若方程，时有唯一一个零点，且不是重根，求的取值范围；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，，得到，代入函数计算得到，得到解析式.
（2）令，只需，解不等式并验证得到答案.
（3）设，确定函数的单调性，计算最值得到答案.
【详解】（1）设，则由，．
，即， ，即，
的解析式为．
（2）令，则，，
由在上有唯一零点且不是重根，
只需，，解得，
经检验时，方程在上有唯一解；
时，方程在上有唯一解，
故实数的取值范围为．
（3）在上恒成立，即在上恒成立．
设，其图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减．
故只需，即，解得，
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
【答案】B
【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.
【详解】在上满足，，
关于直线和直线对称，
，，
，
，所以的周期为6，
又在闭区间上只有，则，，
且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，
则在闭区间上只有，
同理可推得在也只有两个零点，
因为，则在共有个零点，
因为，且在的图象与的图象相同，
则在上有个零点，
则方程在闭区间上的根的个数为1347个.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
2．（2023·新疆·统考二模）设是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性分析可得，则函数关于直线对称，据此可得在上递增，且，，则进而分析可得答案．
【详解】根据题意，为周期为2的偶函数，
则且，
则有，
则函数关于直线对称，
又由在区间上单调递减，且，，
因为周期为2得，，
又关于直线对称，则，
则在上递增，且，，
则，即不等式组的解集为.
故选：D．
3．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将变形为，从而可构造函数，判断其单调性以及奇偶性，由此代入数值，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】当时，有，即，
令，则，
即在上单调递增，
又为偶函数，则，即为偶函数，
故，即，
即，故A错误，C正确；
由，即，即，B错误；
而，故，则不一定成立，D错误，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据已知不等式的结构特征，进行变形，从而构造出函数，进而判断其单调性，即可解决问题.
二、多选题
4．（2023·江苏·统考二模）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，也是周期函数B．的最大值为
C．的图像关于直线对称D．在上单调递增
【答案】BD
【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，求导得到，从而得到其极值，即可判断B，根据对称性的定义即可判断C，由在的正负性即可判断D.
【详解】因为，定义域为，关于原点对称，
且，
则是奇函数，故A错误；
因为，
令，则或，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，故B正确；
因为，，
所以不关于对称，故C错误；
因为，当时，，
则，所以在上单调递增，故D正确.
故选:BD
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,
【答案】
【分析】构造，得到其奇偶性和单调性，对不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数的性质得到不等式组，求出a的取值范围.
【详解】令，则，故为R上的偶函数，
当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
等价于，
即在上恒成立．
所以，平方后化简得到．
由一次函数性质可得，
解得，即，
故a的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，若，则构造，
若，则构造，若，则构造.
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数和奇函数满足.
(1)求函数和的解析式：
(2)若函数|的最小值为，求实数m的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，解出即可.
（2）首先分类讨论去绝对值，得到，通过整体换元令，则得到，再次分类讨论，分，和讨论即可.
【详解】（1）由可得，
又是偶函数和是奇函数，故.
由解得.
（2）
令，易得在R上是增函数，且，则.
令
若，则此时，不合题意，舍去
若，则，则
若，则，则
∴.
【点睛】方法点睛：（1）常见的求解函数解析式的方法：①换元法；②配方法；③方程组法；④待定系数法；
（2）对于带有绝对值的函数首先要去绝对值分类讨论，若此时边界值依旧含参数，需要再次进行分类讨论；
（3）遇到题目中一个较长代数式含有多组，我们通常利用换元法令，并要注意的范围