新高考数学一轮复习模拟试卷（五）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习模拟试卷（五）（2份，原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，已知，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】∵，∴，则，
∴.
故选：B
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算从而求解.
【详解】由题意知：，则，
所以：.故A项正确.
故选：A.
3．过抛物线的焦点的直线的倾斜角为，则抛物线顶点到该直线的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由题意首先求得焦点坐标，然后确定直线方程，最后由点到直线距离公式可得距离.
【详解】抛物线的标准方程是，其顶点是，焦点是，
由直线的倾斜角得其斜率是，所以直线的方程是，
则抛物线的顶点到直线的距离为.
故选：.
4．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150B．200
C．300D．400
【答案】C
【分析】由已知求出进一步求出则可求出答案.
【详解】
此次数学考试成绩在分到分之间得人数约为.
故选:C.
5．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的边长约为32m，下底面正方形的边长约为34.5m，高的4倍比上底面的边长长4m，则光岳楼墩台的体积约为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得光岳楼墩台的高，结合台体的体积公式，即可求解.
【详解】由题意，设光岳楼墩台的高为h，则，
所以光岳楼墩台的体积约为.
故选：B.
6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务B必须排在前三位，且任务A、D必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )
A．240种B．188种C．156种D．120种
【答案】D
【分析】分任务B排在首位、第2位、第3位三种情况讨论即可．
【详解】若任务B排在首位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的3个任务全排列即可，此时共有种方案；
若任务B排在第2位，则第1位可排除A、D外的3项任务中的任意一项，有3种排法；将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的2个任务全排列即可，此时共有种方案；
若任务B排在第3位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体有3个位置可排，再将剩下的3个任务全排列安排在剩下的3个位置即可，此时共有种方案；
故总共有48+36+36=120种方案．
故选：D．
7．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算和对数函数的单调性得到，，，得到答案.
【详解】；
；
；
故.
故选：C.
8．已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数，
所以，则的图象关于对称，且，
当时，，
又因为函数，
所以的图象关于对称，
所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，
和的图象，如图所示：

由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，
所以5个交点的横坐标之和为，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位：)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是
A．众数为30
B．中位数是31
C．平均数小于中位数
D．后4天的方差小于前4天的方差
【答案】AD
【分析】根据折线图，由众数，中位数，平均数，方差等概念及公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；
中位数即是处在中间位置的数字，将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为，即B错；
由折线图可得，平均数为：，故C错；
前4天的平均数为：，后4天的平均数为
前4天方差为：，
后4天方差为：
，
所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题主要考查由折线图计算众数、中位数、平均数、方差等，属于基础题型.
10．已知圆上存在两个点到点的距离为，则m的可能的值为
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】根据题意，圆与圆相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.
【详解】由题知，圆与圆相交，
所以，，即，
解得，即的值可以为：或或.
故选：ACD.
【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.
11．已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】对于A，根据等比数列求和公式求出，可得A不正确；对于B，根据等差数列的通项公式可得B正确；对于C，计算出数列的前四项，结合单调性可得C正确；对于D，推出数列为周期函数，可得D不正确.
【详解】对于A，由，，可得，，
当为正奇数且趋近于无穷大时，也趋近于正无穷大，故不存在最大值，故A不正确；
对于B，由，得，又，所以，
当时，，当时，，当时，，
所以当或时，取得最大值，故B正确；
对于C，由，，得，，，
，又，递减，所以当时，取最大值，故C正确；
对于D，由，，得，，，，
所以数列的周期为，故不存在最大值，故D不正确.
故选：BC
12．正方体中，M是正方形的中心，P为线段上一动点，下列结论中正确的是（ ）
A．；
B．直线与直线所成角的余弦值为；
C．不存在点P使得平面；
D．三棱锥的体积为定值．
【答案】ABD
【分析】A选项，由三线合一证明出线线垂直；B选项，作出辅助线，找到异面直线的夹角，利用余弦定理求出答案；C选项，找到点P的位置，使得平面，C不正确；D选项，利用等体积法得到，由面积和为定值得到体积为定值.
【详解】设正方体的边长为.
A选项，在三角形中，，是的中点，
所以，所以A正确.
B选项，设是的中点，连接，则，

所以是异面直线与直线所成角（或其补角），
在三角形中，，
所以，
所以异面直线与直线所成角的余弦值为，B正确.
C选项，根据正方体的性质可知，
由于平面，平面，
所以平面，
同理可证得平面，
由于平面，
所以平面平面，
当时，平面，
所以平面.
即存在点P使得平面，C不正确.
D选项，，
其中和为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若，，且，则与的夹角为 ；
【答案】
【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得，然后即可求出，进而得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
又，所以.
故答案为：.
14．双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为 ．
【答案】.
【分析】由直线平行则斜率相等，求得之间的等量关系，再求离心率即可.
【详解】因为渐近线与直线平行，
故可得，根据双曲线离心率的计算公式可得：
.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.
15．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
16．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【答案】
【分析】根据导数几何意义可分别用表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可.
【详解】，，切线斜率，
切线方程可记为：或，
，，
则，易得，，
.
故答案为：.
三、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换对原式化简，结合三角形的内角和为，即可求解；
（2）根据面积公式求得，再利用余弦定理以及基本不等式可得出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）由题意知，原式可化为，
即.
整理可得：，即.
又因为，则，
所以，故.
（2）因为，所以，
由余弦定理和基本不等式可得：
，
当且仅当时，等号成立，
所以，故的最小值为.
18．已知等比数列，等差数列的公差，且，，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设数列对任意，均有成立，求的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知列出关系式，求解得出，进而得出的通项公式.然后求出的项，进而得出，即可得出的通项公式；
（2）根据前n项和公式以及通项之间的关系，即可得出，从而得出，得出的表达式，然后求出的值，检验即可得出答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意，，，，
所以，即，
解得，或（舍去），
所以.
所以，，
所以，，
所以．
（2）由题意，，①
，②
②①得，
所以，
所以.
当时，由可得不满足上式.
所以．
19．如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.

(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，,根据中位线结合已知得出四边形与四边形是平行四边形，即可得出，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，得出相应各点坐标，得出相应向量，即可根据平面法向量求法得出平面与平面的法向量，即可根据二面角的向量求法得出答案.
【详解】（1）取的中点，连接，.
因为为的中点，为的中点，且，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又因为，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，.
所以，，
所以，，，四点共面.
（2）因为平面平面，平面平面，
且，所以平面.
如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，令，得，所以.
设平面的一个法向量为，因为，，
所以，令，得，，所以.
设平面与平面夹角为，
所以.
20．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
【答案】(1)更适宜
(2)
(3)选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，，
所以，
则，
所以z关于x的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为；
（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设出点的坐标，根据点在椭圆上以及，的斜率之积为，列出方程，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程以及，点的坐标，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理得出与的值，再根据列出方程，即可解出直线的斜率，从而利用弦长公式求得.
【详解】解：（1）设，
由题意知：，，
，
，
解得：，
椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，设，，直线，
由，
消去并整理得：，
则，
即，，
，，




，
又，
由，得：，
解得：，
，，
故.
22．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)最小值为，最大值为．
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值；
（2）求出函数的导函数，分、、、、五种情况讨论，结合函数的单调性与零点存在性定理判断即可.
【详解】（1）当时，，，
则，
设，则，
易知在上单调递增，，
故即在上单调递增，，
故在上单调递增，
在上的最小值为，最大值为．
（2）由可得．
①当时，，又，，恰有1个零点；
②当时，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值，
又，当时，，故有2个零点；
③当时，由得或，由得，
在上单调递增，在上单调递减，的极小值，
极大值，
又当时，，有1个零点；
④当时，由可得或，由可得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值，极小值，
又当时，，有1个零点；
⑤当时，，，
单调递增，，有1个零点．
综上可知，当时，有2个零点；当时，有1个零点．
参考数据（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6