2025~2026学年江西九江市匡庐星瀚高级中学高一下册5月月考数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年江西九江市匡庐星瀚高级中学高一下册5月月考数学试题 [含答案]试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知，，则的周期为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案.
【详解】的最小正周期为.
故选：D.
2. 如图，在中，是上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解.
【详解】解：由图形可知.
故选：C.
3. 将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数解析式，进而可得对称中心.
【详解】将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，
可得，
令，，
解得，，
即对称中心为，，
当时，对称中心为，令得k均为整数解.
故选：D.
4. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】把已知等式两边平方，得到、的关系及，然后利用向量的数量积公式求出量与的夹角．
【详解】解：，
，
，
，
，
设与的夹角为，
．
，，
．
故选：D．
5. 已知抛物线的准线经过，则抛物线的焦点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵抛物线的准线经过点，即准线方程为，
∴，
∴该抛物线焦点坐标为．
6. 在等腰直角中，，，为内一点，，则直线与直线的夹角的余弦值为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】以为原点，建立直角坐标系，求得，由题意得到，推得，，进而求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为，以为原点，以分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，因为，且为等腰直角三角形，
可得，
又因为，可得，
所以，
所以，，所以，
所以，，，
所以点，
所以，
则，
所以直线与直线的夹角的余弦值为.
故选：D.

7. 已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据导数判断在和上各有1个零点，转化为当时，有2个零点，利用正弦型函数的性质建立不等式求解即可.
【详解】当时，，当时，单调递增；
当时，单调递减．
又，，，所以在和上各有1个零点．
又因为有4个根，所以当时，有2个零点，
因为，所以，即，
解得．
故选：B．
8. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
即，由余弦定理得，又，所以，
由知，
所以
，当且仅当即时等号成立，
所以线段长度的最小值为.
故选：D
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.
9. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. 是钝角B. 是第二象限角
C. D. 点在第四象限
【正确答案】BC
【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.
【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，B正确， A错误；
，C正确；
由，，则点在第二象限，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）．
A. 的一个对称中心
B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为
D. 的单调递减区间为
【正确答案】BCD
【分析】由题图可得，根据三角恒等变换可得，再由余弦函数的对称性、单调性、值域逐项判断即可．
【详解】由题图可得，，解得．
又，
可得，解得．
因为，所以，所以．
所以
．
对于A，当，，
所以不是的一个对称中心，故A错误；
对于B，令，可得，
故的对称轴方程为，故B正确；
对于C，时，，所以，
故在上的值域为，故C正确；
对于D，令，解得，
所以的单调递减区间为，故D正确．
故选：BCD．
11. 对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在单位向量，使得
B. 对任意、，恒成立
C. 若，则的最大值为
D. ，则
【正确答案】BCD
【分析】利用变换规则，结合向量模长公式可判断A；根据变换规则，结合数量积的坐标运算判断B; 根据变换规则，结合平面向量的坐标运算以及向量的模长公式判断C；先求出，再依次化简即可判断D.
【详解】设单位向量，则，，
而，，所以不存在单位向量，使得，A选项错误;
已知，，则，
又，，
计算，
所以恒成立，B选项正确;
由，则，，
，，
，，
设，的夹角为，对平方得
，
即当时，取得的最大值为，C选项正确;
已知，则，
即，
设，则，
所以，
所以，D选项正确
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12. 若函数的一个零点为，则A=______；=______.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】根据是函数的零点，代入即可求出的值，然后再将代入即可求解.
【详解】因为是函数的一个零点，
所以，解得：，
所以函数，
则有，
故；.
13. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形，其中为正八边形的中心，边长，则__________．
【正确答案】
【分析】连接，，根据正八边形可知，，以，为基底表示，，在中，由余弦定理可得，求数量积即可.
【详解】
如图所示，连接，，
由为正八边形可知，且，
则，
所以，即，
且，
所以，
则，
在中，由余弦定理，
解得，
所以，
故答案为.
14. 已知向量的夹角为120°，且，则为_______．
【正确答案】10
【分析】直接利用平面向量数量积的运算律求解即可.
【详解】因为向量的夹角为120°，且，
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）；
（2）.（为自然对数的底数）
【正确答案】（1）
（2）2
【分析】（1）根据诱导公式即可结合特殊角的三角函数值即可求解，
（2）根据对数的运算法则即可求解.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
16. 在边长为1的正三角形中，设，，点满足.
（1）试用表示；
（2）若（，且），求的最大值.
【正确答案】(1) ;(2) .
【详解】试题分析：(1)由向量加法的运算法则可得
即可得结果；（2），换元后，利用基本不等式即可得结果.
试题解析：（1）.
（2）

.
17. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记.
（1）若，求三角形的周长（结果精确到0.01）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积.
【正确答案】（1）22.45米．
（2）米时，活动室面积最大，最大面积为．
【分析】（1）由正弦定理求得后可得周长；
（2）由正弦定理求得（用表示），然后计算面积，结合两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简函数，利用正弦函数性质得最大值．
【小问1详解】
由正弦定理，即，，
，
由得，
三角形周长为
（米）．
所以三角形周长约为22.45米．
【小问2详解】
由得，
又，
得，
所以，
，
因为，所以，即时，，此时，
此时三角形取得最大面积．
18. 如图，在中，已知，，，，，AM，BN相交于点P.设，.
（1）用向量，表示；
（2）求，夹角的余弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量的线性运算求解；
（2）由题意可得，结合数量积的定义以及运算律运算求解.
【小问1详解】
由题意可得.
【小问2详解】
因为，
由题意可得：，
可得，
，
，
即，所以，
故，夹角的余弦值为.
19. 定义：对函数对于给定的正整数，若在定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”
（1）若函数为“2性质函数”，求；
（2）判断函数是否是“性质函数”？若是，请求出；若不是，请说明理由.
（3）若函数为“1性质函数”，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）不是，理由见解析；（3）
【分析】（1）解方程可得；
（2）判断方程有无实数解，即可得；
（3）由方程有解求的范围．
【详解】（1）由题意得：即
解得
（2）函数不是“性质函数”，理由如下：
假设存在且满足条件：
则，即：
∵，∴方程无实数根，与假设矛盾.
∴函数不是“性质函数
（3）∵且∴
由题意得：存在，使得
∴，即
整理得：
①当时，，满足题意
②当时，由得即
解得
综上所述
本题考查函数的新定义问题，解题关键是由新定义把问题转化为方程的解的问题．