2025-2026学年湖南省衡阳市阳县第一中学等校高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年湖南省衡阳市阳县第一中学等校高二（下）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点A（2，-1，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. （2，1，3）B. （-2，1，-3）C. （2，-1，-3）D. （-2，-1，-3）
2.在等差数列{an}中，a1+a7=a2+a5+2，则{an}的公差为（ ）
A. -1B. -2C. 1D. 2
3.已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（1）=（ ）
A. B. C. D.
4.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M在C上，|MF|=3，则点M到直线x=-3的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A. 18
B. 24
C. 30
D. 42
6.已知随机事件A，B互相独立，满足，则=（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P在双曲线C的右支上，且|A1A2|，|PF2|，|F1F2|，|PF1|成等差数列，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数，若X的数学期望为，则p=（ ）
A. B. C. D. 或
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.以下能够判定空间中四点A，B，C，D共面的条件是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知圆，圆，则（ ）
A. C1的半径为4
B. 若C1，C2相切，则m=±4
C. 当m=2时，C1，C2相交弦所在直线的方程为2x-3y+5=0
D. 当m=2时，C1，C2相交弦的长度为
11.某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日到5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值班，每个人至少值1天班，则（ ）
A. 一共有243种安排方法
B. 若每个人最多值2天班，一共有90种安排方法
C. 若甲值2天班并且连续值2天，一共有48种安排方法
D. 若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有12种安排方法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式（2x+）5，则展开式中x3的系数为______．
13.等比数列{an}的各项均为正数，且a3•a13=4，则lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a15= ______.
14.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有成立，且f（1）=1，则不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是等差数列，且a4=10，S3=117.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：.
16.(本小题15分)
（1）某公司年会安排了5个表演节目：街舞，歌曲串烧，小品，古筝演奏，脱口秀，5个节目排定5个时段依次表演，已知古筝演奏不能安排在第一个和最后一个表演时段，则共有多少种方案？
（2）已知二项式（1+3x）n的展开式中前3项的二项式系数之和为56，记，求a1+a2+…+an的值.
17.(本小题15分)
为迎接2023年美国数学竞赛（AMC），选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为1、2、3三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级X的分布列如下：
现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为ξ.
（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望.
18.(本小题17分)
已知椭圆的右焦点为F，离心率为，圆O：x2+y2=r2（r＞0），过F的直线与C交于A，B两点，当直线AB垂直于x轴时，|AB|=3.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当r=1时，设D在圆O上，且D也在AB上，判断是否存在点D满足|AD|=|DB|，若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由；
（3）当时，直线AB交圆O于P，Q两点，求的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=-xex+1.
（1）证明：f（x）≤1；
（2）若直线y=a与函数f（x）图象有两个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2.
（i）若3x2-x1＜0，求实数a的取值范围；
（ii）证明：x1+2x2＜-2.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】BD
12.【答案】10
13.【答案】15
14.【答案】（4，+∞）
15.【答案】 已知，则{bn}是首项b1=2，公比q=2的等比数列，
∴，
∴，
令，
，
当n≥1时，，，
∴f（n+1）-f（n）＜0，函数单调递减，
∴，
∴，命题得证
16.【答案】72 410-1
17.【答案】解：（1）∵此选手连续两次成绩的等级相同的概率为：
0.32+0.52+0.22=0.38，
∴此选手两次成绩的等级不相同的概率为1-0.38=0.62．
（2）由题意可知，ξ=1、2、3，
又P（ξ=1）=0.3×0.3=0.09，
P（ξ=2）=0.5×0.3+0.3×0.5+0.5×0.5=0.55，
P（ξ=3）=0.2×（0.3+0.5）×2+0.2×0.2=0.36．
∴ξ的分布列为：
∴E（ξ）=1×0.09+2×0.55+3×0.36=2.27．
18.【答案】 x=1
19.【答案】因为f（x）=-xex+1，定义域为R，f′（x）=-ex+1（x+1），
令f′（x）=0，得x=-1，当x＜-1时，f′（x）＞0；当x＞-1时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减，
当x=-1时，函数f（x）取得最大值，且最大值为f（-1）=1，故f（x）≤1 （i）；（ii）因为f（x1）=f（x2），即，则，
令，则有，解得，
因为x1＜x2＜0，所以t＞1，
要证：x1+2x2＜-2，即证，因为t＞1，即证：，
令，则，
因为t2-2t+4=（t-1）2+3＞0，所以g′（t）＞0，则函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，
又因为t＞1，所以g（t）＞g（1）=0，即在t＞1时成立，所以x1+2x2＜-2成立 X
1
2
3
P
0.3
0.5
0.2
ξ
1
2
3
P
0.09
0.55
0.36