陕西省西安中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 满分100分）
一､选择题：（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数z满足，则在复平面内复数z对应的点Z位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】设出，a，，利用复数相等求出实部与虚部，得到所在象限.
【详解】设，其中a，，则，则，，
即，，故，
此时z在复平面内对应的点为，位于第四象限，
故选：D.
2. 已知向量=（k，1），=（3，2），=（1，3），且（），则实数k的值等于（ ）
A. B. C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先计算的坐标，转化为，利用数量积的坐标表示，即得解
【详解】由已知，因为，所以，即.
故选：C.
3. =（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的正弦可求三角函数式的值.
【详解】,
故选：D.
4. 已知单位向量，满足，若向量，则〈，〉=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用数量积表示模长，再用向量夹角公式计算即可.
【详解】由已知知，，
则
故选：C.
5. 如图，在△ABC中，，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加法法则，即可求解.
【详解】解：由题意得：，
故选：D.
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 若直线，则平行于经过任何平面
B. 若直线，和平面，，满足，，，则
C. 若直线，和平面满足，，则
D. 若直线和平面满足，则与内任何直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本事实及线面关系判断A，根据直线与平面平行的判定定理和性质定理判断B，直线与直线，直线与平面的位置关系判断C、D.
【详解】对于A：若直线，则直线与直线唯一确定一个平面，
不妨设为平面，则，故A错误；
对于B：过作平面，使得，作平面，使得，
因为，所以，因为，所以，
所以，又，，所以，
又因为，，所以，所以，故B正确.

对于C：若，，则与平行或相交或异面，故C错误；
对于D：若，则与内任何直线不相交，即平行或异面，故D错误.
故选：B
7. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可.
【详解】依题意，中，，，即，
解得.
在中，，即.
故选：A.
8. 在平行四边形中，为的中点.若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设的长为，又，，根据数量积的运算律及定义得到方程，解得即可.
【详解】设的长为，因为，，
所以
，解得或（舍去）．

故选：A
二､多选题：（本题共4小题，每小题3.5分，共14分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3.5分，部分选对的得1.5分，有选错的得0分）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若互为共轭复数，则为实数
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D. 若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，为纯虚数，所以，C正确.
D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.
故选：ACD
10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A. B. C. D. 外接圆的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出和即得解.
【详解】解：设的外接圆的半径为,
因为，所以，
所以，则外接圆的面积为.
因，所以
所以，所以. 所以ABD正确，C错误.
故选：ABD
11. 如图是底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕顶点逆时针滚动，当这个圆锥转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的母线长为12B. 圆锥的侧面积为
C. 圆锥侧面展开图扇形圆心角为D. 圆锥的体积为
【答案】BC
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为，由侧面积公式结合题意，求出母线，即可判断选项，由扇形面积公式即可判断选项，求出底面周长，然后利用弧长公式求出圆心角，即可判断选项，利用圆锥的体积公式，即可判断选项．
【详解】解：设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
所以，
解得，
所以圆锥的母线长为6，
故选项错误；
圆锥的侧面积，
故选项正确；
因为圆锥的底面周长为，
设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，则，
解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，
故选项正确；
圆锥的高，
所以圆锥的体积为，
故选项错误．
故选：．
12. 已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点，则（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】可证明，结合平面向量线性运算法则可判断A；由结合平面向量数量积的定义可判断B；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C；由投影的计算公式可判断D.
【详解】因为是边长为2的等边三角形，，
所以为中点，且，以为原点如图建立直角坐标系，
则，，，，
由可得，则，
取的中点，连接，易得且，
所以≌，，则，，
对于A，，故A正确；
对于B，由可得，故B正确；
对于C，，，，，
所以，所以，故C错误；
对于D，，，
所以在方向上的投影为，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：（本题共4小题，每题3.5分，共14分）
13. 一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形周长为______.
【答案】
【解析】
【分析】把直观图换元为平面图形，根据斜二测法求出相应的线段长，即可求出原平面四边形的周长.
【详解】把直观图还原为平面图形，如图所示，
依题意，，
所以，，
则，
所以原平面四边形周长为.
故答案为：
14. 已知．若向量___________．
【答案】
【解析】
【分析】由求出，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以，
故答案为：.
15. 在中，角、、的对边分别是、、，且，，，则的面积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由正弦定理将角化边得到，利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又为的内角，所以，则，即，
又 ，所以，
因为，由正弦定理可知，
又，由余弦定理，即，解得（负值舍去 ），
故的面积．
故答案为：．
16. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）
【答案】
【解析】
【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.
【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，
由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，
由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，
故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，
相应圆台的体积为，
所以，解得，
故答案为：
四､解答题：（本题共5小题，17，18，19每题8分，20，21每题10分，共44分）
17. 已知复数满足，的实部大于，的虚部为，的共轭复数为.
（1）求复数；
（2）设复数，，在复平面上对应的点分别为，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，根据复数的运算结合复数的概念列出方程组，求出复数；
（2）由得出，，的坐标，再由向量的坐标运算得出答案.
【详解】（1）设，则
由题意知，解得
即
（2）由（1）可知，则
，
即
18. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共线可得，根据可求的值.
（2）根据可得，根据夹角公式可求夹角的余弦值.
小问1详解】
因为，故存在实数，使得，
因为，故，故，
故.
【小问2详解】
因为，故即即，
而，故.
19. 如图，在中， ， ，点在边上，且， .
（1）求；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）7.
【解析】
【详解】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．
试题解析：（I）在中，∵，∴
∴
（II）在中，由正弦定理得：
在中，由余弦定理得：
∴
考点：正弦定理与余弦定理．
20. 如图所示，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，求几何体的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接交于，连接，证明后得证线面平行；
（2）由直三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得．
【小问1详解】
连接交于，连接，如图，则是中点，又是中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
因为，，所以，所以，，
．
21. 已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求B的大小；
（2）若，且BD=2，求S的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理和三角形的面积公式化简可得，即可求出B；
(2)在、和中，根据余弦定理可得、
，进而可得，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
，，
又，
所以，
即，所以，
又，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
在和中，由余弦定理得，
，
，
又，所以，
整理，得，即，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
得，则，
当且仅当即时等号成立，
所以，
故S的最大值为.