2025-2026学年陕西省西安市高新区第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年陕西省西安市高新区第一中学高一（下）期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（ ）
A. （1，3）B. （-∞，-1）C. （-1，1）D. （-3，1）
2.已知，则=（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，在△ABC中，=3，=2，若=，=，则=（ ）
​​​​​​​
A. -B. -C. -D. -
4.使命题p：“∃x∈（1，2），m≤x2+1”为假命题的m的取值范围是（ ）
A. {m|m≥4}B. {m|m≥5}C. {m|m≤2}D. {m|m≤5}
5.已知l1，l2是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则使得l1⊥l2成立的是（ ）
A. l1⊥α，l2∥β，α⊥βB. l1∥α，l2⊥β，α∥β
C. l1⊥α，l2⊥β，α∥βD. l1∥α，l2∥β，α⊥β
6.已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）
A. ca＞cbB. C. bac＞abcD. lgac＞lgbc
7.求值：=（ ）
A. 1B. C. D.
8.Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数f（x）=|x2-6x+8|在下列区间（ ）上单调递减.
A. （-∞，2）B. （-∞，3）C. [3，4]D. （2，3）
10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，则（ ）
A. B. a=3
C. △ABC的外接圆的周长为D. △ABC为锐角三角形
11.正方形ABCD、ABEF的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点M、N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且.则（ ）
A. 直线AC与BF所成的角为60°
B. MN∥平面DAF
C. 当时，MN的长最小，且最小值为
D. 当MN的长最小时，点F到平面AMN的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面向量，，则在上的投影向量坐标为 .
13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，BC=3，AC=5，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为34π，则四面体DA1B1C的体积为 .
14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为△ABC），点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=cs4x-2sinxcsx-sin4x.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后得到y=g（x）的图象，当函数y=g（x）-k在上恰有一个零点时，求k的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
17.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC边BC上的中线AD的长度为，求△ABC面积的最大值.
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，AC与BM交于点E，，AD=6，K为PA上一点，.
（1）证明：KE∥MN；
（2）求证：平面PAC⊥平面BMNK；
（3）若，求BK与平面PAC所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
已知函数（c,b为常数）是定义在[-1，1]上的奇函数，且.
（1）若实数m满足f（2m-1）+f（m-1）＜0，求实数m的取值范围；
（2）若不等式2f（x）≤（1-2a）t+2对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围；
（3）设g（x）=ax+2f（-1）a-x是定义在R上的函数，其中a＞1，是否存在实数λ，使得g（cs2x）+g（2λsinx-5）＜0对任意恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】6
14.【答案】20
15.【答案】
16.【答案】解：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，如图所示，
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB．
因为OC∩OA1=O，OC，OA1平面OA1C，
所以AB⊥平面OA1C．
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；
（Ⅱ）由CA=CB，AB=AA1，AB=CB=2，∠BAA1=60°，
​​​​​​​易知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以．
又，则，故OA1⊥OC．
因为OC∩AB=O，OC平面ABC,AB平面ABC，
所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高．
又△ABC的面积，
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
17.【答案】解：（1）由正弦定理及，得，
因为sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
所以，
即，
又C∈（0，π），所以sinC＞0，所以，
而A∈（0，π），所以．
（2）因为D是BC中点，所以，
所以，
所以，即b2+c2+bc=24，
又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当时等号成立，
所以bc≤8，
所以，
即△ABC面积的最大值为．
18.【答案】证明：已知底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，
则，
在△ABE和△CME中，AB∥CM，则三个内角均对应相等，
故△ABE∽△CME，
相似比为，
所以，即，
因为，则，
由平行线分线段成比例定理可得KE∥PC，
又因为M，N分别为CD，PD的中点，
所以MN∥PC，
所以KE∥MN 证明：在矩形ABCD中，，
所以，
则，
，
则，
因为AE2+BE2=AB2，
所以AE⊥BE，即AC⊥BM，
因为PA⊥底面ABCD，BM⊂底面ABCD，故PA⊥BM，
因为PA∩AC=A，且PA，AC⊂平面PAC，
所以BM⊥平面PAC，
又因为BM⊂平面BMNK，
所以平面PAC⊥平面BMNK
19.【答案】 存在，（-∞，3）