2026年四川省自贡市中考数学真题（原卷版+解析版）

这是一份2026年四川省自贡市中考数学真题（原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如果无人机上升记作，那么下降记作（ ）
A. B. C. D.
2. 2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次．将95700用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（ ）
A. B. C. D.
4. 自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉．下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查
B. “经过两点有且只有一条直线”是必然事件
C. 任意一组数据的众数都只有一个
D. 甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定
6. 科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据：
则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 分解因式：_____．
12. 正五边形与等腰按如图摆放，则_____．
13. 每天适量饮水有利于身体健康．生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为：1，1.5，1.2，2.2，2（单位：）．这组数据的中位数为_____．
14. “剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____．
15. 如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____．
三、解答题（共9个题，共90分）
16. 计算：．
17. 解不等式组：．
18. 如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，．
求证：．
19. 为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共_____人参与，其中“乒乓球”所占百分比为_____，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．
20. 在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分．
（1）班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？
（2）班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．
21. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式及的值；
（2）请直接写出当时的取值范围；
（3）点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标．
22. 如图1，等边内接于，为中点，连接并延长交于点，作．
（1）求证：是的切线．
（2）如图2，点为射线上的动点，连接并延长与的优弧交于点（与点，不重合），连接，．
①在点运动过程中，请探究线段，，的数量关系并说明理由：
②连接，若，当点到的距离最大时，请直接写出的值．
23. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量．
（1）小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）．
（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，）
（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．
24. 平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
（1）求，的值．
（2）如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）．
①求线段长度的最小值；
②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
自贡市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学
本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．答卷时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如果无人机上升记作，那么下降记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知的上升的记法，即可推出下降的记法．
【详解】无人机上升记作，那么下降记作．
2. 2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次．将95700用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数．
【详解】解：∵将原数变形为符合要求的时，小数点向左移动了位，得到，满足，
∴，
因此用科学记数法表示为．
3. 下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义找出从正面，左面，上面看到的几何体的形状图都一样的几何体即可．
【详解】对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意；
对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意；
对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意；
对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意．
4. 自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉．下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可．
【详解】A. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C. 该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
D. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查
B. “经过两点有且只有一条直线”是必然事件
C. 任意一组数据的众数都只有一个
D. 甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定
【答案】B
【解析】
【分析】根据全面调查的、事件发生的可能性大小、众数的概念以及方差的意义进行分析判断．
【详解】A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A错误；
B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B正确；
C、一组数据的众数可以有多个，例如数据的众数为和，故C错误；
D、方差越小，成绩越稳定，，故乙的跳高成绩比甲更稳定，D错误．
6. 科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据：
则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式．
【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，，
∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设，
∴，
∴．
7. 如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标．
【详解】解：在中，，，
，
由旋转的性质得，，，，，轴，
，
，
中，，
在轴的负半轴，
的坐标为．
8. 我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到．
【详解】解：如图，取点，，
根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴．
9. 如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，确定，再结合含直角三角形性质得出，由等边对等角及外角性质求出，最后根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：在中，，，则，，
平分，
，
在中，，则，，
在中，，则是等边三角形，
，则，
平分，
，
在中，，，则，
在中，，，则，
，
，则，
是的一个外角，且，
，
．
10. 如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】过作于，可证得四边形为矩形，，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出关于的式子，代入到中，得到关系式，再结合函数图象求出，，的长，结合沿运动时候的函数图像求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：过作于，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴四边形为矩形，
∴，
当在上运动时，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题设，则，
∴，
∴，
由函数图象可知，当
时，​，
∴，即，
当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时，
由函数图象可知，当时，
∴，即，
∴，
把代入中得，
解得；
∴在中，，
当点开始沿运动，此时，
∴，
代入时，得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式．
【详解】解：．
12. 正五边形与等腰按如图摆放，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据正多边形的性质求出，再根据等腰直角三角形的性质结合三角形内角和定理得到，由即可得出结果．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，
∵是等腰直角三角形且，
∴，，
∴，
∴．
13. 每天适量饮水有利于身体健康．生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为：1，1.5，1.2，2.2，2（单位：）．这组数据的中位数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先将数据从小到大排序，根据数据个数为奇数，取中间位置的数即可得到中位数．
【详解】将这组数据从小到大排序为：，，，，，
本组数据共有个，个数为奇数，中位数为排序后第个数，即．
14. “剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____．
【答案】
##
【解析】
【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解．
【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为，
如图所示，
根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E，
∴，则，
∴，，，4个空白半圆的面积为，
∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：，
∴在中，弓形的面积为，
同理，大圆内4个花瓣的面积和为，
∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ．
15. 如图，正方形中，点为的中点，作，交于点．点，分别在等腰的直角边和斜边上，且，与交于点．连接，若，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，四边形是正方形，设边长为，如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，则，有勾股定理列式求解得到，再证明，结合角度的计算得到点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，得到，如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，设边长为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，
∴，
∴，则，且，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，
∵圆周角，，
∴ 是等腰直角三角形 ，
∴，
如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
∴，
∵在直线上，且在正方形内部（），
∴ 圆心在的上方，且到的距离为，
∵ 的中点坐标为 ，
∴ 圆心的坐标为，连接，交圆弧于点，此时取得最小值 ，
∴ ．
三、解答题（共9个题，共90分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减法．任意非零数的零指数幂等于1．
【详解】解：
．
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【详解】解：，
解不等式得，
解不等式，，
，
，
解得，
不等式组的解集为．
18. 如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴
∴
∵，点，分别为边，上的点，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴．
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，，结合已知可得，进而得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证．
【详解】略
19. 为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛．从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目．投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共_____人参与，其中“乒乓球”所占百分比为_____，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢乒乓球且又具实力的有4名同学（两男两女），从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率．
【答案】（1）500，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据占比求人数，由此得到“乒乓球”的人数和占比，即可补全图形；
（2）运用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再根据概率求解即可．
【小问1详解】
解：羽毛球有150人，占比为，
∴，
∴本次投票共有500人，
∴“乒乓球”有（人），
∴“乒乓球”所占百分比为，
补全图形：略；
【小问2详解】
解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，
∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，
∴所抽取的两人为“一男一女”的概率．
20. 在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分．
（1）班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？
（2）班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．
【答案】（1）
场
（2）
①胜平负；
②胜平负；
③胜平负；
④胜平负；
⑤胜平负；
⑥胜平负．（任意两种正确结果即可）
【解析】
【分析】（1）设班胜了场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得到胜场数；
（2）设班胜场，平场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的胜、平、负场次组合．
【小问1详解】
解：设班胜了场，
∵一共场比赛，负了场，
∴平的场数为场，
根据总积分为分列方程：，
化简得，
解得，
答：班胜了场；
【小问2详解】
解：设班胜场，平场（为非负整数，且），
∵总积分为分，
∴，即
取非负整数解即可：
①，则；即负场，即胜平负；
②，则负场，即胜平负；
③，则负场，即胜平负；
④，则负场，即胜平负；
⑤，则负场，即胜平负；
⑥，则负场，即胜平负（任选两种写出即可）．
21. 如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式及的值；
（2）请直接写出当时的取值范围；
（3）点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标．
【答案】（1），；
（2）或；
（3）点的坐标为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立求得点的坐标为，根据函数图象即可求解；
（3）先求得直线与坐标轴的交点坐标，证明是等腰直角三角形，得到点是的中点，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵一次函数的图象经过点，
∴，解得；
【小问2详解】
解：由（1）知一次函数的解析式为，
联立得，
解得或，
∴点的坐标为，
∴当时的取值范围为或；
【小问3详解】
解：设直线与坐标轴的交点分别为和，
令，则，令，则，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴点是的中点，
∴点的坐标为．
22. 如图1，等边内接于，为中点，连接并延长交于点，作．
（1）求证：是的切线．
（2）如图2，点为射线上的动点，连接并延长与的优弧交于点（与点，不重合），连接，．
①在点运动过程中，请探究线段，，的数量关系并说明理由：
②连接，若，当点到的距离最大时，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵为中点，在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线；
（2）或，理由如下：
当点在上时，如图，在上取点使得，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；即，
当点在上时，如图所示，在的延长线上取，
同理可得，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即；
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得，根据得出，即可得证；
（2）分情况讨论，当点在上时，在上取点使得，，证明，得出，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；当点在上时，如图所示，在的延长线上取，证明，进而根据线段的和差关系，即可得出结论；
②根据题意得出当点到的距离最大时，，设的交点为，连接，，解直角三角形，分别求得，，的长，再求比值，即可求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
①略
②∵点在优弧上，
∴当点到的距离最大时，，如图所示，设的交点为，连接，，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴， ，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
由（1）可得在上，，
∴，
如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量．
（1）小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）．
（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，）
（3）两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．
【答案】（1）， 和 ，
（2） m
（3）不一致．
原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．
【解析】
【分析】（1）由题意，，和，利用两次相似对应边成比例，列方程，解得，代入求，进而求树高．
（2）在中，得等腰直角三角形，故，在中，利用，代入解得，进而求出树高．
（3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
，
图中两组相似三角形是 和 ，
由题意可得，，，，，则．
第一次测量：，
，即，
第二次测量：，
，即，
，解得，
，解得，
此树的高度为．
【小问2详解】
解：由题意可得，，，，，
在中，，
为等腰直角三角形，,
，
在中，，即，
，
，解得，
此树的高度为．
【小问3详解】
略．
24. 平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
（1）求，的值．
（2）如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）．
①求线段长度的最小值；
②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）①线段长度的最小值为；②．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可；
②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过和两点，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：①由（1）得，
∴抛物线的解析式为，
设，
∴，
令，，
∴，
∴当时，线段长度的最小值为；
②设，，
设直线的解析式为，
∴，
则直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
∵，，
则直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴；
∵，，
∴，
∴，的底边相同，
∴，
∴，
∴（舍去正值），
∴
∴直线的解析式为．
（单位：）
1
2
4
8
（单位：）
80
40
20
10
（单位：）
1
2
4
8
（单位：）
80
40
20
10