浙江省91联考2025-2026学年高二下学期学考模拟数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省91联考2025-2026学年高二下学期学考模拟数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了 已知集合 ， ，则， 函数 的定义域为等内容，欢迎下载使用。
考⽣须知：
1 ．本卷满分 100 分，考试时间 80 分钟；
2 ．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3 ．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上⽆效，考试结束后，只需上交答题卷.
⼀、单项选择题（本⼤题共 12 ⼩题， 每⼩题 3 分， 共 36 分 ．每⼩题列出的四个备选项中只 有⼀个是符合题⽬要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】 C 【解析】
,
【详解】 ，
所以 .
2. 已知复数 满⾜ ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】 A 【解析】
【详解】 已知 ，移项得：
,
因此 虚部为 .
3. 函数 的定义域为( )
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】 D 【解析】
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【详解】要使函数
有意义，
且
.
需使，解得 且 ， 所以函数 的定义域为
4. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】 B 【解析】
【详解】由于零向量与任意⾮零向量共线，故 A 不合题意；
由于 ，⽽ ， 即向量 不共线，可以作为基底，故 B 符合题意； 由于 ，则 ，
所以向量 共线，不能作为基底，故 C 不合题意；
由于 ，则 ，
所以向量 共线，不能作为基底，故 D 不合题意.
5. 函数 的零点所在的⼤致区间为( )
D.
A. B. C.
【答案】 B 【解析】
【分析】利⽤零点存在定理逐个选项代⼊计算验证即可 .
【详解】因为零点存在定理：若函数 在区间
上连续，且
,则
在
内
存在零点.
因为函数 的定义域是
.函数 在
上单调递增.
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对于选项 A ， ，所以函数 在 上恒成⽴，故选项 A 不
正确.
对于选项 B ， ，所以 . 故在区间 存在零点.
对于选项 C ， ，所以 .
故选项 C 不正确.
对于选项 D ， ，所以
故选项 D 不正确.
6. 若不等式 对⼀切实数 都成⽴，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D. 或
【答案】 C 【解析】
【分析】根据⼀元⼆次不等式恒成⽴问题，分 ， ， 三种情况讨论即可.
【详解】当 时，显然有 成⽴，符合题意；
当 时， ⼆次函数 开⼝向上， 故总存在 ，使得 ，故 时不
合题意；
当 时，要使不等式 对⼀切实数 都成⽴，需使 ， 即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围为 .
7. 从 3 名男⽣和2 名⼥⽣中任选 2 ⼈参加演讲⽐赛，则选中的 2 ⼈中有男⽣的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 B 【解析】
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【分析】设事件 ：“选中的 2 ⼈中有男⽣”，求得 ，结合对⽴事件的概率公式，即可求解.
【详解】从 3 名男⽣和2 名⼥⽣中任选 2 ⼈参加演讲⽐赛，共有种不同的选法，
设事件 ：“选中的 2 ⼈中有男⽣”，则 ：“选中的 2 ⼈中全是⼥⽣”， 可得 ，所以 .
8. 已知圆锥的轴截⾯是正三角形，侧⾯积为 ，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】 C 【解析】
【分析】利⽤圆锥的轴截⾯求出圆锥的⾼，进⽽可以求出圆锥的体积. 【详解】因为圆锥的轴截⾯是等边三角形，所以 ， .
⼜因为侧⾯积为 ，所以 . 则 .
所以圆锥的体积为 .
9. 已知函数 在 上单调递增，且 为偶函数，则( )
A. B. C. D.
【答案】 D 【解析】
【分析】根据奇偶性和单调性逐⼀判断即可 .
【详解】因为 为偶函数，所以 ， 令 得 ，A 错误；
令 得 ，C 错误；
⼜函数 在 上单调递增， ，
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所以 ， ，B 错误，D 正确.
10. 在 中， ，BC 边上的⾼等于 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】 C 【解析】
【详解】试题分析：设
,故选 C.
考点：解三角形.
11. 若存在实数 ，使得 成⽴，则实数 的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】 C 【解析】
【分析】由⽅程 得 ，构造函数 ，分别考虑两个
函数在区间上的单调性，求出各⾃的值域，最后取并集即为 的取值范围 .
【详解】由已知存在 ，使得 成⽴，
去掉绝对值，⽅程等价于 ，即 ，
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记
因为函数 与 在 上单调递增，故 在 上单调递增， 因为 ，所以 值域为 ；
因为 是对勾函数，如图，根据对勾函数单调性知 在 上单调递增，
因为 ，所以函数 值域为，
存在 使得等式成⽴，等价于 属于 或 的值域，
即 ，
故实数 的取值范围是 .
12. 斜三棱柱 中， 是边⻓为 2 的正三角形，侧棱 ， ,点为棱 上动点，则异⾯直线 与 所成角的最⼩值为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】 B 【解析】
【分析】先选择恰当的空间基底，⽤基底向量表⽰相关向量，再利⽤向量数量积公式计算异⾯直线所成角 的余弦值，将⼏何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最⼩值.
,则
,
【详解】设 ， ，
,
,
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,
.
因为点为棱 上动点，设 ， ， 则 ， ，
,
,则 ，
,
, ,
设异⾯直线 与 所成角为 ，则 ， 因为函数 在 上单调递增，
所以，当 时， 取得最⼤值 ，此时 ，所以 取得最⼩值为 ，
即异⾯直线 与 所成角的最⼩值为 .
⼆、多项选择题（本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分 ．每⼩题列出的四个备选项中有多 个是符合题⽬要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选、错选得 0 分）
13. ⼀组样本数据为 9 ，11 ，10 ，13 ，12 ，8 ，14 ，11，则这组数据的( )
A. 中位数为 11 B. ⽅差为 28 C. 平均数为 11 D. 60%分位数为 11 【答案】 ACD
【解析】
【分析】我们先对数据进⾏排序，再依次计算中位数、平均数、⽅差和分位数，判断各选项的正误. 【详解】首先将数据从⼩到⼤排序：
,共 个数据.
对于 A，中位数是第 、 个数的平均数： ，A 正确.
对于 C ， 平均数 ，C 正确.
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对于 B ， ⽅差
, B 错误.
对于 D ，60%分位数 ，向上取整为第 个数，即 ，D 正确.
14. 已知 ， ， 是不同的平⾯， ， 是不同的直线，则 的⼀个充分条件有( )
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】 AC 【解析】
【分析】根据空间中线⾯垂直、⾯⾯垂直的判定与性质，结合充分条件的定义逐⼀分析每个选项. 【详解】在 A 选项中，已知 ， ，根据线⾯垂直的性质可得：
,⼜已知 ，因此可得 ，可以推出结论，是充分条件, 在 B 选项中， ， 时， 和 可以平⾏，也可以相交，
若 与 相交， ⽆法推出 ，不是充分条件， 在 C 选项中，已知 ， ， ，
根据⾯⾯垂直的性质定理：这⾥ 和 相交于 ，且都垂直于 ， 因此可直接推出 ，是充分条件,
在 D 选项中， ， ， ， 当 在平⾯ 内时，可以推出 ，
但题⽬条件并未限定 在平⾯ 内（例如 也可能在平⾯ 内），故⽆法保证结论成⽴，不是充分条件 .
15. 已知实数 ， 满⾜ ，则 ， 可能的情况是( )
A. B. C. D.
【答案】 ABD 【解析】
【详解】由对数函数性质可知 ，
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所以当 时， ，所以 ，选项 A 正确；
当 时， ，所以 ，选项 B 正确； 当 时， ，所以 ，选项 C 错误；
当 时， ，所以 ，选项 D 正确.
三、填空题（本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 3 分，共 9 分）
16. 已知 ，则 .
【答案】
【解析】
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】依题意 ， 所以 .
故答案为：
17. 已知 ， ， ，则 与 的夹角⼤⼩为 . 【答案】 ##
【解析】
【详解】由 可知 ，即 ， 设 与 的夹角为 ，
得 ，即 ，解得 ，即 .
18. 已知 ，且 ，则 的最⼩值为____ .
【答案】
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【解析】
【分析】通过对已知条件变形，凑出乘积为定值的形式，再⽤基本不等式求解.
【详解】由 ，得： ，即 ，则 ， 由 且 ，可知 、 ，因此 、 .
所以
当且仅当 ，即 ，结合 ， 解得 ，时取等号.
因此，的最⼩值为 .
四、解答题（本⼤题共 3 ⼩题，共 37 分 ．第 19 题 12 分、第 20 题 12 分、第 21 题 13 分）
19. 如图，在三棱锥 中， ， 是等边三角形 .
（1）求证： ；
（2）若 为直角三角形，求直线 与平⾯ 所成角的⼤⼩ . 【答案】（1）证明：如图所⽰，取 中点 ，连 和 ，
因 为 是 等 边 三 角 形 ， 则 ， 且 ， 为 公 共 边 ， 所 以
,
所以 ，且 中点 ，所以 ， ⼜因为 是等边三角形，所以 ，
因为 且 平⾯ ，所以 ⾯ ， ⼜因为 ⾯ ，所以 .
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（2） .
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，分别证得 和 ，利⽤线⾯垂直的判定定理，证得 ⾯
,进⽽证得 ；
（2） 设 ，利⽤勾股定理， 分别证得 和 ，利⽤线⾯垂直的判定定理， 证得
⾯ ，得到 即为直线与平⾯ 所成角，在直角 中，即可求解.
【⼩问 1 详解】 略
【⼩问 2 详解】
解：如图所⽰，设 ，因为 为直角三角形，可得， ⼜因为 是等边三角形，所以 ，且 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，可得 ，
即 ，解得，所以 ，所以 ， 同理可得： ，所以 ，
因为 ，且 平⾯ ，所以 ⾯ ，
所以 即为直线 与平⾯ 所成角， 即直线 与平⾯ 所成角的⼤⼩为 .
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20. 已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）先将函数 图象的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移 单位，得到 的图象，求函 数 在 上的值域.
【答案】（1） ( ) . （2）
【解析】
【分析】（1）先通过三角恒等变换化简得 ，再利⽤正弦型函数的单调性求解单调
区间；
（2）结合三角函数图象的伸缩、平移变换得到 ，再通过换元法转化为⼆次函数，求指定区间上的值 域.
【⼩问 1 详解】
,
由 得， ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ， .
【⼩问 2 详解】
依题意，可得 ， 所以 ，
因为，
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所以， ，
令 ， ，则 ，令 ，则 ， 则 可转化为 ， ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
,⽽ ，
,因为 ，所以 ， 所以 的值域为，即 的值域为 .
21. 已知函数 ，
（1） 当 时，求 在 上的值域；
（2）若对于定义域内的任意实数 ，都有 恒成⽴，求实数 的取值范围；
（3）若函数在区间 内单调递减，求实数 的取值范围. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先化简 ，利⽤对勾函数的性质求其值域.
（2）将 化为分段函数后分类讨论，分别分离参数 求解.
（3）先根据函数 的性质缩⼩ 的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【⼩问 1 详解】
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当 时， .
当 时， ，
则 ，当 ，即 时等号成⽴， 即 在 上的值域为 .
【⼩问 2 详解】
.
当 时，由 ，得 ，
.
因为 ，所以 ，所以 ，所以 当 时，由，
法⼀：当 时，由，
得 令
,
,
,
则 ， 由对勾函数的性质，可知 ，
,即 .
综上所述，实数 的取值范围 .
,
法⼆：令 ， ，则不等式化为
由上述分析可知，只需考虑 时的情况：
当 时，有 在 上恒成⽴；
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当 时，则
,故
在
时恒成⽴ .
综上所述，实数 的取值范围 . 【⼩问 3 详解】
当 时，，因为当 时， ，
所以 在区间 内必须恒⼤于等于 0 ，且单调递减， 所以 ，解得 .
当 时， . 令 ， ，则 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 故只需 ，即 .
故实数 的取值范围为 .
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