四川省广安市邻水县第五中学校2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份四川省广安市邻水县第五中学校2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 要使有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3、4、5B. 6、8、10C. 3 、2、 5D. 5、12、13
5. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A. 18B. 18C. 36D. 36
6. 直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（ ）
A. cmB. 13cmC. cmD. cm
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2,BC=3，则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 6B. 3C. 2D. 1
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 24
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 矩形的对角线相等
B. 菱形的对角线互相垂直
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 四个角都相等的四边形是正方形
10. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. D. 3
二、填空题（共4小题，每小题4分，计16分）
11. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____．
12. 如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________．
13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______．
14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____．
三、解答题（共5小题，计44分，解答应写出过程）
15. 计算：
（1）（2）
16. 化简求值：，，求的值．
17. 已知a、b、c满足（a﹣7.5）2++|c﹣8.5|=0．求：
（1）a、b、c的值；
（2）求以a、b、c为边构成的三角形面积．
18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
19. 如图，中，平分交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求菱形的面积．
B卷（50分）
四、填空题（每小题4分，计20分）
20. 代数式中，的取值范围是_____．
21. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示：

化简的结果为______．
22. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______.
23. 如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．
24. 如图，四边形ABCD是菱形，，，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为_________．
五、解答题（共3小题，计30分）
25. 在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC．
26. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
27. 如图，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）求的长；
（3）如图，动点，分别从，两点同时出发，沿和各边匀速运动一周后停止，即点沿运动，点沿运动，在运动过程中，已知点的速度为，点的速度为，运动时间为，当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
数学
一、选择题（共10小题，每小题4分，计40分）
1. 要使有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可．
解答过程：解：由题意得，
解不等式得．
2. 下列根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的判断，分母有理化，分别化简和计算出四个选项中式子的值，若被开方数是3则可以与合并，据此可得答案．
解答过程：解；A、能与合并，不符合题意；
B、能与合并，不符合题意；
C、不能与合并，符合题意；
D、能与合并，不符合题意；
故选：C．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：解：A、，计算正确；
B、，计算错误；
C、，计算错误；
D、，计算错误．
4. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3、4、5B. 6、8、10C. 3 、2、 5D. 5、12、13
答案：C
解析：
思路：判断是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
解答过程：A、32＋42＝52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、22＋32≠52，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、52＋122＝132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选C．
方法提示：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A. 18B. 18C. 36D. 36
答案：B
解析：
解答过程：过点A作AE⊥BC于E，如图，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，
∴AE=，
∴菱形ABCD的面积是=，
故选B．
6. 直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（ ）
A. cmB. 13cmC. cmD. cm
答案：D
解析：
思路：先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．
解答过程：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为＝13．
设h为斜边上的高．
∵S△ABC＝×5×12＝×13h，
∴h＝．
故选D．
方法提示：此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2,BC=3，则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 6B. 3C. 2D. 1
答案：B
解析：
思路：首先证△BOF≌△DOE，由此可得出S△BOF=S△DOE，由此可将阴影部分的面积转化为△ACD的面积．
解答过程：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，∠EDB=∠CBD，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△EOD≌△FOB，
∴S△BOF=S△DOE，
∴S阴影=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△AOE+S△EOD+S△COD=S△ACD，
∵S△ACD=AD•CD=3，
∴S阴影=3，
故选B．
方法提示：此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法．
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 24
答案：B
解析：
解答过程：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，
∴▱ABCD的周长=2×6=12，
故选B．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 矩形的对角线相等
B. 菱形的对角线互相垂直
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 四个角都相等的四边形是正方形
答案：D
解析：
思路：本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，根据相关性质定理逐一判断选项，找出错误说法即可.
解答过程：解：∵矩形的对角线相等是矩形的基本性质，∴A说法正确，不符合题意；
∵菱形的对角线互相垂直是菱形的基本性质，∴B说法正确，不符合题意；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴C说法正确，不符合题意；
∵四个角都相等的四边形，内角和为，可得每个内角为，该四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形，但不一定是正方形，则该命题错误，故D符合题意.
10. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. D. 3
答案：C
解析：
思路：本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论．
解答过程：连接，如图，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，当的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，
此时，
∴的最小值为，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题4分，计16分）
11. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____．
答案：
8
解析：
思路：任意多边形的外角和恒为，利用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数．
解答过程：解：根据多边形外角和定理可得，该多边形外角和为，
已知该多边形每一个外角都是，因此边数．
12. 如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________．
答案：
解析：
思路：根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积．
解答过程：解：
．
13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______．
答案：1.5
解析：
解答过程：解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF=AB=2.5．
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=4．
∴EF=DE-DF=1.5．
故答案为1.5．
方法提示：直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____．
答案：
解析：
思路：此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案．
解答过程：解：设与交于，
∵四边形是菱形，，，
∴，， ，
∴，，
∵，
∴ ．
故答案为：．
三、解答题（共5小题，计44分，解答应写出过程）
15. 计算：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：
；
（2）解：
．
16. 化简求值：，，求的值．
答案：.
解析：
思路：本题需先对要求的式子和已知条件进行化简，再把所得的结果代入即可求出答案.
解答过程：，
=
=，
∵；
，
∴．
方法提示：本题主要考查了二次根式的化简求值，在解题时能对要求的式子和已知条件进行化简是解本题的关键.
17. 已知a、b、c满足（a﹣7.5）2++|c﹣8.5|=0．求：
（1）a、b、c的值；
（2）求以a、b、c为边构成的三角形面积．
答案：（1）a=7.5，b=4，c=8.5；（2）S△=15.
解析：
思路：(1)根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；
(2)根据勾股定理的逆定理得出以a、b、c为边的三角形是直角三角形，再根据面积公式求解即可．
解答过程：解：(1)∵a、b、c满足（a﹣7.5）2++|c﹣8.5|=0，
∴a﹣7.5=0，b﹣4=0，c﹣8.5=0，
解得：a=7.5，b=4，c=8.5；
(2)∵a=7.5，b=4，c=8.5，
∴a2+b2=7.52+42=72.25=8.52=c2，
∴此三角形是直角三角形，
∴S△=×7.5×4=15.
故答案为(1)a=7.5，b=4，c=8.5；(2)S△=15.
方法提示：本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质.本题要特别注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．
18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．
解析：
思路：（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
解答过程：详解：证明：（1），
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图所示：
由（1）知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
方法提示：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19. 如图，中，平分交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求菱形的面积．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：（1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证；
（2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作，
∵四边形是菱形；
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
B卷（50分）
四、填空题（每小题4分，计20分）
20. 代数式中，的取值范围是_____．
答案：且
解析：
思路：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解后取公共范围，即可得到的取值范围．
解答过程：解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且．
21. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示：

化简的结果为______．
答案：
解析：
思路：本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出的符号是解题的关键．利用数轴确定出，，的符号，再利用二次根式和绝对值的意义化简运算即可．
解答过程：解：由数轴可得：，，
故答案为：．
22. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______.
答案：20
解析：
思路：先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长．
解答过程：解：，
，
，，
，
点和点分别是和的中点，
，，是的中位线，
，
．
故答案为：20．
方法提示：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．
23. 如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．
答案：
解析：
解答过程：∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．
∴．
24. 如图，四边形ABCD是菱形，，，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为_________．
答案：
解析：
思路：由菱形的性质得AC⊥BD，AD=CD，推出四边形OGEF是矩形，连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，GF的值最小，勾股定理求出OC，由，求出OE即可得到FG的最小值．
解答过程：解： ∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AD=CD，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴四边形OGEF是矩形，
连接OE，则OE=GF，
当OE⊥DC时，GF的值最小，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
方法提示：此题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质正确引出辅助线是解题的关键．
五、解答题（共3小题，计30分）
25. 在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF=DC．
答案：见解析
解析：
思路：根据矩形的性质和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90°，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题．
解答过程：连接DE．
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE．
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠C=90°．
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠C=90°．
∵DE=DE，
∴△DFE≌△DCE．
∴DF=DC．
方法提示：考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
26. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
答案：（1）
（2）解析：
思路：本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
（1）根据范例，利用完全平方公式求解即可；
（2）根据范例，把每个二次根式里面的式子化为完全平方的形式，再开方并计算求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
27. 如图，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）求的长；
（3）如图，动点，分别从，两点同时出发，沿和各边匀速运动一周后停止，即点沿运动，点沿运动，在运动过程中，已知点的速度为，点的速度为，运动时间为，当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
答案：（1）见解析 （2）
（3）解析：
思路：（1）结合矩形性质及垂直平分线定义证明后，根据全等三角形性质即可证明四边形为菱形；
（2）根据矩形性质、菱形性质推得、，设，利用勾股定理即可求得；
（3）根据平行四边形性质得到，再根据勾股定理得到，用分别表示和，列方程即可求解．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，，，
，，
四边形是菱形，
，
设，
则，
中，，
，
解得：，
即．
（3）解：显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或者在，在时不构成平行四边形，
只有当点在上，点在上时，以、、、四点为顶点的四边形才是平行四边形，此时，
，即，
由（2）得，
，，
，
解得：，
故当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，．
方法提示：本题考查的知识点是矩形性质、垂直平分线定义、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程，解题关键是熟练掌握菱形的判定、勾股定理的应用及分类讨论．